2021届江西省重点中学盟校高三第一次联考数学（文）试题（含解析）

2021届江西省重点中学盟校高三第一次联考数学（文）试题

一、单选题

1．已知集合，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】先求，再求交集即可.

【详解】合，，

，

所以

2．已知i是虚数单位，则复数的虚部是（    ）

A．－1 B．1 C． D．i

【答案】A

【分析】将复数分母实数化，即可求解.

【详解】解：，所以的虚部为.

故选A.

3．已知，，且，则（    ）

A．6 B．8 C．3 D．-3

【答案】A

【分析】利用数量积的运算性质将展开，然后把已知代入即可．

【详解】解：因为，，且

所以

．

故选：．

4．甲乙俩人投篮相互独立，且各投篮一次命中的概率分别是0.4和0.3，则甲乙俩人各投篮一次，至少有一人命中的概率为（    ）

A．0.7 B．0.58 C．0.12 D．0.46

【答案】B

【分析】先计算都没有命中的概率，再由对立事件求解即可.

【详解】两个人各投篮一次命中的概率分别是0.4和0.3，

所以都没有命中的概率为，

所以至少有一人命中的概率为.

故选：B.

5．如图所示，在三棱锥中，已知，平面，.若其正视图、俯视图如图所示，则其侧视图的周长为（    ）

A． B． C．6 D．

【答案】B

【分析】三棱锥的一条侧棱与底面垂直，且长度为，得到侧视图是一个直角三角形，根据底面是一个等腰直角三角形，求出侧视图的另一条直角边，即可求解.

【详解】解：平面，，

故其侧视图是一个直角三角形，且一条直角边为，

又，，

即是一个等腰直角三角形，

故侧视图的另一条直角边为，

侧视图的斜边为，

侧视图的周长为：.

故选：B.

6．算法流程图表示如图，若输入，，，则输出的结果为（    ）

A．， B．， C．， D．，

【答案】C

【分析】按照流程图中箭头的指向进行计算即可.

【详解】解：根据流程图输入，，，

，，

，

，

，

，输出：.

故选：C.

7．已知的内角A、B、C的对边分别是a，b，c，若，，，则的面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用正弦定理化角为边可得，再利用余弦定理可求得，求出，即可求得面积.

【详解】，则，

则由正弦定理可得，即，

由余弦定理得，

即，解得，则，

，

.

故选：C.

8．若直线l平行于平面，则（    ）

A．内所有直线与l平行 B．在内不存在直线与l垂直

C．内存在唯一的直线与l平行 D．内存在无数条直线与l成60°角

【答案】D

【分析】举特例正方体，通过举反例说明ABC不正确，只要找到一个成60°角的直线，平移即可得无数条，可判断D.

【详解】

如图，不妨设为l，平面为平面，显然有平面，

但是有不与平行，，，，

所以ABC不正确.

易知过点作直线与成60°角的直线也与成60°角，在平面上平移该直线可以得无数条，D正确.

故选：D.

9．北师大版高中数学教材《选修1—1》第二章引言中有：过一个圆锥的侧面一点（不是母线的端点）作圆锥的截面.则截面与该圆锥侧面的交线可以是图形①圆②椭圆③抛物线的一部分④双曲线的一部分中的（    ）

A．①②③④ B．①③④ C．①② D．①②④

【答案】A

【分析】由截面与圆锥位置关系的不同，进行分析即可求解.

【详解】解：根据截面与圆锥的位置关系，所得的图形如图所示：

故截面与该圆锥侧面的交线可以是图形①圆②椭圆③抛物线的一部分④双曲线的一部分.

故选：A.

10．设函数的最小正周期为T，则在上的零点之和为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先对进行化简，再求出在上的零点即可求解.

【详解】解：

，

，

，

令，

解得：，

当时，，

当时，，

当时，，

故在上的零点之和为：.

故选：B.

11．已知点在动直线上的射影为点，若点，那么的最大值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】分析可知，点在圆上，求出点到圆心的距离，加上半径即可得出的最大值.

【详解】动直线的方程可变形为，所以，该直线过定点，

又因为点在动直线的射影点为，所以，，

设线段的中点为点，则，

由直角三角形的基本性质可得，

所以点在以线段为直径的圆上，即点在圆上，

又因为点，故，

因此，.

故选：C.

12．已知定义在R上的函数的导函数为，且恒成立，e为自然常数.则下列选项中正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】令，求出函数的导数，根据函数的单调性得到，整理求出答案即可．

【详解】解：令，

则，

故在上单调递增，

故，

即，

故，

因为即，所以，

因为即，所以，

故选：．

二、填空题

13．若变量x，y满足，则的最小值为

______.

【答案】

【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，令，则表示直线在轴上的截距，只需求出在可行域上，直线在轴上的截距最小值即可．

【详解】解：由约束条件画出可行域如图所示：

令，变形为，

由图可知：当直线过点时，取得最小值，

由，解得：，

故，

即的最小值为.

故答案为：.

14．定义在R上的函数满足.当时，，则______.

【答案】

【分析】根据奇函数可得，得，可由得解

【详解】由，所以为定义在R上的奇函数，可得，

所以，可得，

所以时，，

所以，

所以.

故答案为：

15．将连续正偶数有规律地排列如下：

2

4，6，8

10，12，14，16，18

20，22，24，26，28，30，32

……………

则在此表中第15行第14列出现的数字是___________.

【答案】420

【分析】根据每行的偶数个数形成以1为首项，2为公差的等差数列可求得前14行的偶数个数，得出第15行的第一个数，即可求得第14列出现的数字.

【详解】由图可知，每行的偶数个数形成以1为首项，2为公差的等差数列，

所以前14行的偶数个数为，

则第15行的第一个数为，

则可得第15行形成以394为首项，2为公差的等差数列，

所以第15行第14列出现的数字是.

故答案为：420.

16．已知抛物线C：，焦点为F，过F的直线l交C于A，B两点，分别作抛物线C在A，B处的切线，且两切线交于点P，则点P的轨迹方程为：___________．

【答案】

【分析】设出直线的方程，联立直线与抛物线方程，表示出的坐标，进而表示出两条切线方程，求出点的坐标即可.

【详解】解：，

，

由题意知：直线的斜率存在，

设直线的方程为：，，

联立：，得：，

，

又，

过的切线的斜率分别为：，

故过点和点的切线方程为：，

联立：，

解得：，，

故点P的轨迹方程为：.

故答案为：.

三、解答题

17．已知数列的前n项和为，且．

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）若，求数列的前n项和.

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【分析】（Ⅰ）根据时，可得，再根据等比数列的通项公式可求出结果；

（Ⅱ）由（Ⅰ）得，进而利用错位相减法求和即可.

【详解】（Ⅰ）当时，，

由，可得

当时，，

，

，

数列是以首项，公比的等比数列，

.，

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以

则，

，

两式相减得：

，

所以.

18．如图，在四棱锥中，四边形为直角梯形，，，平面平面，Q、M分别为、的中点，，，.

（1）求证：

（2）求三棱锥的体积.

【答案】（1）证明见解析；（2）1.

【分析】（1）推导出，，得到平面，由此能证明．

（2）推导出平面，，得到，再由平面，，是中点，得到到平面的距离,由此能求出三棱锥的体积．

【详解】解：（1）证明：四边形为直角梯形，,，

平面平面，、分别为、的中点，，，．

，，

，、平面，

平面，

平面，．

（2）平面平面，平面平面，，

平面，

又平面，，

，

平面，，是中点，

到平面的距离,

三棱锥的体积．

19．为了比较两种治疗新冠病毒的临床试验阶段药（分别称为甲药，乙药）的疗效，某医疗团队随机地选取了服用甲药的患者和服用乙药的患者进行研究，从服用甲药的治愈患者和服用乙药的治愈患者中，分别抽取了10名，记录他们的治疗时间（单位：天），统计并绘制了茎叶图：

（1）医院从这10名服用乙药的治疗时间为10天到30天之间的治愈患者中随机的抽取2名患者回访，求恰好抽到一名治愈患者治疗时间超过20天的概率；

（2）标准差s除了可以用来刻画一组数据的离散程度外，还可以刻画每个数据偏离平均水平的程度，如果出现了治疗时间在之外的患者，就认为该药应该暂缓投放市场，若某服用甲药的患者已经治疗了28天还未痊愈，请结合甲药的数据，判断甲药是否可以投放市场？

参考公式：，参考数据：，

【答案】（1）；（2）甲药应该暂缓投放市场

【分析】从茎叶图，设服用乙药治愈患者中治疗时间在10到20天之间的患者为、、、治疗时间在20到30天之间的患者为、，由列举法求古典概型概率；
分别求出，s，然后代入公式即可求解，作出判断即可．

【详解】解：设服用乙药治愈患者中治疗时间在10到20天之间的患者为、、、，
治疗时间在20到30天之间的患者为、，
从中随机的抽取两名，共有、、、、、、、、、、、、、、种可能，
其中恰有一名治愈患者治疗时间超过20天的有、、、、、、、种可能，
所以概率
从茎叶图甲药数据可以计算出甲药患者的治疗时间的平均值和标准差：
，
，
所以，，
由于，所以甲药应该暂缓投放市场．

20．已知椭圆C：（）过点，离心率为.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）若为椭圆C的左顶点，直线l过右焦点与椭圆C交于M，N两点（M，N与不重合），l不与x轴垂直，若，求.

【答案】（1）；（2）

【分析】（1）由题意可得关于的方程组，求解的值，即可求得椭圆C的标准方程；

（2）根据题意设，直线：，联立直线方程与椭圆方程，化为关于的一元二次方程，利用根与系数的关系结合，求出的值，再根据弦长公式即可求得.

【详解】解：（1）由题意可得：，

解得：，

椭圆C的标准方程为：；

（2），

由题意可设：直线：，，

联立： 得：，

则，

，

，

又，

，

解得：，

故，

.

21．已知函数.

（1）当时，设，求（）的最小值；

（2）求证：当，时，.

【答案】（1）0；（2）见解析.

【分析】（1）先求和，得在上单调递增，得，进而得的单调性和最值；

（2）先构造，分析单调性可得，结合条件将问题转化为证明，进而构造，从而得证.

【详解】（1），所以，

则，，

所以在上单调递增，则有，

所以在上单调递增，

则有，

所以（）的最小值为0；

（2）令，则在上恒成立，

所以在上单调递减，所以，

所以，即，

由（1）知，在上恒成立，

即，即，

当时，

因为，所以，

故，

令，则在上恒成立，

所以在上单调递增，所以，

即，

所以，

故：.

【点睛】关键点点睛：本题的解题关键有两个：一个是变换主元，将用上实现减元，得到一元不等式，二是合理利用不等关系进行放缩，采用第一问的结论得，及的不等关系放缩证明，属于难题.

22．在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为（t为参数，为倾斜角），以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为.

（1）若，用斜率k表示直线l的普通方程及求曲线C的直角坐标方程；

（2）已知点，若直线l与曲线C相交于不同的两点A，B，求的值.

【答案】（1）直线l的普通方程为，曲线C的直角坐标方程为；（2）1.

【分析】（1）由点斜式可得直线的普通方程，对两边乘以，结合可得曲线的直角坐标方程．

（2）显然，点在直线上，联立直线的参数方程及曲线C的直角坐标方程可得：，即可求得： ，，再利用参数的几何意义可得：，整理可得解．

【详解】（1）当时，直线l的参数方程为（t为参数，为倾斜角），

过点，斜率，

直线l的普通方程

由得，得，

∴曲线的直角坐标方程为.

（2）显然，点在直线上，

联立得：，

设A，B对应的参数为，，

则 ，，

∴

，

23．已知实数a，b，，函数.

（1）若，，，求不等式的解集；

（2）若的最小值为2，求的最小值.

【答案】（1）；（2）

【分析】（1）将，，代入，可得分段函数，再由，分段求解即可；

（2）利用绝对值三角不等式可得，从而可得，再由柯西不等式即可求解.

【详解】解：（1）当，，时，，

，

即或或，

解得：或或，

即 ，

故原不等式的解集为：；

（2），

，

由柯西不等式可得：，

即，

即，

当且仅当，即时取等号，

故的最小值为.