2022届陕西省西安市长安区第一中学高三下学期六模数学（理）试题含解析

2022届陕西省西安市长安区第一中学高三下学期六模数学（理）试题

一、单选题

1．设集合，，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据给定条件，求出函数的值域，再利用交集的定义计算作答.

【详解】函数的值域是，即，而，

所以.

故选：D

2．已知是虚数单位，复数满足，则的最小值为（       ）

A． B． C． D．1

【答案】A

【分析】因为复数满足，所以复平面内复数对应的点在圆上，所以在复平面内的几何意义是圆上的点与的距离，即可求出结果．

【详解】解：复数满足，设，，则，即，

复平面内复数对应的点在圆上，

在复平面内的几何意义是圆上的点与的距离，

则的最小值为：，

故选：A．

3．已知，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用指数函数、对数函数的单调性，将a，b，c分别与1和0比较，得到结论.

【详解】因为

所以

故选：C

【点睛】本题主要考查指数函数、对数函数的单调性的应用，还考查了转化化归的思想和理解辨析的能力，属于基础题.

4．为了了解某校今年准备报考飞行员的学生的体重情况，将所得的数据整理后，画

出了频率分布直方图（如图），已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1∶2∶3，第1小组的频数为6，则报考飞行员的学生人数是（    ）

A．36 B．40 C．48 D．50

【答案】C

【详解】

解得p1=0.125，p2=0.25，p3=0.375．

5．已知函数，则的最小值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用二倍角公式余弦公式将函数化成二次型函数，再根据二次函数的性质计算可得；

【详解】解：因为

所以当时取得最小值；

故选：C

6．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交椭圆于A、B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为（    ）

A．＋＝1 B．＋＝1

C．＋＝1 D．＋＝1

【答案】D

【详解】设、，所以，运用点差法，所以直线的斜率为，设直线方程为，联立直线与椭圆的方程，所以；又因为，解得.

【考点定位】本题考查直线与圆锥曲线的关系，考查学生的化归与转化能力.

7．将函数（其中）的图像向右平移个单位长度，所得图像关于直线对称，则的最小值是（       ）

A． B．2 C． D．

【答案】D

【分析】由条件根据函数的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性可得，，即可求出，由此求得的最小值．

【详解】解：将函数的图象向右平移个单位长度，

得，

的图象关于直线对称，

，，

，，

，的最小值为，

故选：D．

8．李生素数猜想是数学家希尔伯特在1900年提出的23个问题中的第8个：存在无穷多个素数p，使得是素数，素数对称为孪生素数.2013年华人数学家张益唐发表的论文《素数间的有界距离》第一次证明了存在无穷多组间距小于定值的素数对，那么在不超过16的素数中任意取出不同的两个，则不能组成孪生素数的概率为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】求出不超过16的素数，用列举法求出所有素数对及不能组成孪生素数的个数即可计算作答.

【详解】不超过16的素数有2，3，5，7，11，13，任取两个素数组成不同素数对有：

，，

共有15对，它们等可能，其中是孪生素数，因此不能组成孪生素数的个数是12，

所以不能组成孪生素数的概率为.

故选：C

9．已知在中，三个内角，，的对边分别为，，，若函数无极值点，则角B的最大值是（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】求出函数的导函数，依题意无变号零点，等价为判别式，从而得到再利用余弦定理求出的范围，即可得解；

【详解】解：因为，

所以，

若无极值点，即无变号零点，又二次函数开口向上，

所以恒成立，等价为判别式，

即，得，

所以，因为，

，所以的最大值为；

故选：C．

10．如图，设点P在内且为的外心，若，△BPC，△APC，△APB的面积分别为，x，y，则xy的最大值是（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据给定条件，求出外接圆半径，令，用表示出x，y，再结合三角变换求解作答.

【详解】因，点P是的外心，令外接圆半径为r，则有，解得，

令，点P在内，则，且，

，显然，

因此，当，即时，取最小值-1，，

所以xy的最大值是.

故选：B

11．如图所示，在三棱锥A-BCD中，平面ACD⊥平面BCD，△ACD是以CD为斜边的等腰直角三角形，，，则该三棱锥的外接球的表面积为（       ）

A．40π B．20π C．32π D．80π

【答案】A

【分析】设中点为，连接，过点作，进而根据已知条件证明三棱锥的外接球的球心在上，再设外接球的半径为，球心为，中点为，连接，再根据几何关系得，进而代入数据计算即可得答案

【详解】设中点为，连接，

因为是以为斜边的等腰直角三角形，

所以，，

过点作，

因为平面平面，平面平面

所以平面，平面，

所以三棱锥的外接球的球心在上，设外接球的半径为，

则由得，由得，

又因为，

所以为等腰直角三角形，

设球心为，中点为，连接，

则，

所以，

即，解得，

所以三棱锥的外接球的表面积为.

故选：A

12．若对任意，恒有，则实数的最小值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】不等式两边同时乘以，等价变形为，利用，，将不等式变形为，构造函数，不等式变形为，利用导数判断函数在上单调递增，从而确定在恒成立，即在恒成立.构造新函数，利用导数求函数的最大值，确定的取值范围，即可.

【详解】由题意可知，不等式变形为.

设，

则

.

当时，即在上单调递减.

当时，即在上单调递增.

则在上有且只有一个极值点，该极值点就是的最小值点.

所以，即在上单调递增.

若使得对任意，恒有成立.

则需对任意，恒有成立.

即对任意，恒有成立，则在恒成立.

设则.

当时，，函数在上单调递增

当时，，函数在上单调递减

则在上有且只有一个极值点，该极值点就是的最大值点.

所以，即，则实数的最小值为.

故选：D

【点睛】本题考查利用导数研究不等式恒成立，求参数取值，属于难题.

二、填空题

13．的展开式中的系数为___________.(用数字填写答案)

【答案】

【分析】先求展开式的通项公式，进而得当时和当时的项，再根据乘法原则计算即可得答案.

【详解】解：由二项式定理得展开式的通项公式为：，

故当时，，

当时，,

所以的展开式中的项为：，

故的展开式中的系数为：.

故答案为：

【点睛】本题考查二项式定理的运用、求指定项的系数，考查逻辑推理能力、运算求解能力.本题解题的关键在于根本就通项公式求得当时，，当时，,再结合乘法运算即可.

14．设等差数列的前n项和为，若，，，则当满足成立时，n的最小值为___________.

【答案】31

【分析】根据给定条件，分析等差数列的单调性，结合前n项和公式即可求出的n的最小值.

【详解】等差数列的前n项和为，，由得：，

即，数列的公差，因此，数列是首项为正的递减数列，

又，则当时，，而，因此，当时，，

所以当满足成立时，n的最小值为31.

故答案为：31

15．在中，，，，，则___________.

【答案】

【分析】利用表示，再利用数量积运算律计算作答.

【详解】在中，因，，则，

，又，，

所以.

故答案为：

16．已知抛物线C：的焦点为F，点，过点F的直线与此抛物线交于A，B两点，若．且，则p＝______．

【答案】3

【分析】设直线的方程，与抛物线联立求出两根和之及两根之积，求出直线，的斜率之和，可得斜率之和为0，可得直线，关于轴对称，过作轴，准线的垂线，由题意可得，可得直线的参数，再由弦长公式求出的值．

【详解】解：设直线，设，，

联立，整理可得：，可得，，

所以

，

所以可得，所以，又为锐角，

解得，

设，如图作轴交于，

由题意可得在抛物线的准线上，作准线，作，垂足为，

则，

所以，

所以，

所以，

所以．

故答案为：3．

三、解答题

17．设.

（Ⅰ）求的单调区间；

（Ⅱ）在锐角中，角的对边分别为,若,求面积的最大值.

【答案】（Ⅰ）单调递增区间是；

单调递减区间是

（Ⅱ） 面积的最大值为

【详解】试题分析：（Ⅰ）首先利用二倍角公式化简函数 的解析式，再利用正弦函数的单调性求其单调区间；

（Ⅱ）首先由 结合（Ⅰ）的结果，确定角A的值，然后结合余弦定理求出三角形面积的最大值.

试题解析：

解：（Ⅰ）由题意知

由 可得

由 可得

所以函数 的单调递增区间是 ；

单调递减区间是

（Ⅱ）由 得

由题意知为锐角，所以

由余弦定理：

可得：

即： 当且仅当时等号成立.

因此

所以面积的最大值为

【解析】1、诱导公式；2、三角函数的二倍角公式；3、余弦定理；4、基本不等式.

18．如图，在三棱柱中，侧面是矩形，，，，，E，F分别为棱，BC的中点，G为线段CF的中点．

(1)证明：平面；

(2)求二面角的余弦值．

【答案】(1)证明见解析；

(2)

【分析】（1）作图，由对应比例证明，即可证明平面；（2）建立空间直角坐标系，写出对应点的坐标，从而得对应平面向量的坐标，求解出法向量，利用向量夹角计算公式代入计算.

【详解】(1)连接，交于点，连接，由题意，四边形为平行四边形，所以，因为E为中点，∴，∴，且相似比为，∴，又∵，为，中点，∴，∴，又平面，平面，∴平面.

(2)连接，因为，，所以，，建立如图所示的空间直角坐标系，则，则，设平面和平面的法向量分别为，则，，所以，因为二面角的平面角为锐角，所以二面角的余弦值为.

【点睛】对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.

19．2022年北京冬奥会即第24届冬季奥林匹克运动会将在2022年2月4日至2月20日在北京和张家口举行．某研究机构为了解大学生对冰壶运动是否有兴趣，从某大学随机抽取了600人进行调查，经统计男生与女生的人数之比是11∶13，对冰壶运动有兴趣的人数占总数的，女生中有75人对冰壶运动没有兴趣．

(1)完成下面列联表，并判断是否有99.9％的把握认为对冰壶运动是否有兴趣与性别有关？

(2)按性别用分层抽样的方法从对冰壶运动有兴趣的学生中抽取8人，若从这8人中随机选出3人作为冰壶运动的宣传员，设X表示选出的3人中女生的人数，求X的分布列和数学期望．

附：

【答案】(1)表格见解析，有

(2)分布列见解析，

【分析】（1）根据题目所给的数据填写列联表，计算,依据题目中的表格，得出结论;

（2）根据分层抽样的定义求出抽取的8人中男生和女生的人数，再确定出X的所有可能取值为0，1，2，3，并分别求出其相应的概率，利用期望公式即可求解.

【详解】(1)根据题意得男生有275人，女生有325人；对冰壶运动有兴趣的人数为400人，对冰壶运动无兴趣的人数为200人，对冰壶运动无兴趣的男生为200-75=125人，对冰壶运动有兴趣的男生为275-125=150人，对冰壶运动有兴趣的女生为325-75=250人，

得到如下列联表：

所以，

则有99.9％的把握认为对冰壶运动是否有兴趣与性别有关．

(2)对冰壶运动有兴趣的一共有400人，

从中抽取8人，抽到的男生人数为（人），

女生人数分别为（人）．

X的所有可能取值为0，1，2，3．

，，

，，

所以X的分布列是：

则．

20．已知椭圆C：的左焦点为，离心率为，过的直线与椭圆交于M，N两点，当MN⊥x轴时，.

(1)求椭圆C的方程；

(2)设经过点H（0，-1）的直线l与椭圆C相交于P，Q两点，点P关于y轴的对称点为F，直线FQ与y轴交于点G，求△PQG面积的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据点的坐标结合离心率，列出等式即可求解；

（2）设直线PQ方程，代入椭圆结合韦达定理，表示出点G坐标，根据面积公式结合函数关系即可得解.

【详解】(1)设，，，，

，，得，

所以椭圆C的方程；

(2)由题可得直线PQ斜率一定存在，设其直线方程，

，整理得：，，

直线FQ的方程，设

，

，

△PQG面积

，

令

，，，

，，

所以△PQG面积的取值范围.

21．已知函数，是的导函数，且有两个零点.

（1）讨论的单调性；

（2）若，求证：.

【答案】（1）在单调递减，在单调递增；（2）证明见解析.

【分析】（1）函数的定义域为，令，故，由于，进而得函数，的解集，进一步得函数的单调区间；

（2）由（1）得，进而，再结合不等式即可证得.

【详解】解：（1）函数的定义域为，，

设，，由于

所以当时，，单调递减，

当时，，单调递增，

所以在单调递减，在单调递增.

（2）证明：因为是函数有两个零点，

所以，

所以，

所以

所以

下面先证：，

只需证：，只需证：，

设，故只需证：，只需证

故设，，

所以在上单调递增，故，

所以成立，故成立，

所以

因为，所以，所以，

所以.

【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调区间，证明不等式等，考查运算求解能力，是难题.本题第二问解题的关键在于利用不等式进行放缩求解.

22．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（α为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线的极坐标方程为．

（1）写出曲线的极坐标方程和的直角坐标方程；

（2）设点M的极坐标为，射线分别交，于A，B两点（异于极点），当时，求．

【答案】（1），；（2）2.

【分析】（1）消去参数求出曲线的普通方程，利用极坐标与普通方程的互化，求解极坐标方程即可；

（2）设，，通过联立方程组可得和，说明，通过，转化求解即可.

【详解】（1）（α为参数），

∴曲线C1的普通方程为，即，

，

∴曲线的极坐标方程为，

∵曲线的极坐标方程为，

∴曲线的直角坐标方程为．

（2）依题意设，

∴由，可得，由，得．

，

，

∵OM是圆的直径，．

∴在直角中，，

∵在直角中，，

，即，

．

23．已知函数，．

（1）解不等式：；

（2）记的最小值为，若实数满足，试证明：．

【答案】（1）；（2）证明见解析．

【分析】（1）先将函数解析式写成分段函数的形式，分，，三种情况，求解不等式，即可得出结果；

（2）根据函数单调性，确定的最小值，得到，再由展开后利用基本不等式即可求出最小值，从而可得结论成立.

【详解】（1）易知，

因为，所以，或，或

所以，或，或，所以，

所以不等式的解集为

（2）由（1）知，

所以在上单调递减，在上单调递增，

∴的最小值为，所以，

所以

，

当且仅当，即，时取等号．

【点睛】易错点睛：

利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：

（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；

（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；

（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.