第24讲 以平面向量为背景的取值范围问题专题练习

这是一份第24讲 以平面向量为背景的取值范围问题专题练习，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
  第24讲以平面向量为背景的取值范围问题专题一、选择题1．已知在平面四边形中， ，，,，，点为边上的动点，则的最小值为A．     B．     C．     D． 【答案】C【解析】如图所示，以为原点，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，过点作轴，过点作轴，∵，，，，，∴，，∴，∴，∴，∴，∴，，，设，∴，，，∴，当时，取得最小值为，故选C.2．已知平面向量满足，则最大值为(    )A．     B．       C．     D． 【答案】D【解析】设， 与所成夹角为，则：，则向量的夹角为60°，设，则，故：，设O到BC的距离为，则，由可知点A落在以O位圆心，4为半径的圆上，A到BC的距离的最大值为，则△ABC的面积的最大值为： 故最大值为本题选择D选项.3．已知为原点，点的坐标分别是和其中常数，点在线段上，且，则的最大值为（    ）A．     B．     C．     D． 【答案】A【解析】因为点的坐标分别是和所以又由点P在线段AB上，且所以则⋅，当t=0时候取最大为.故选A.4．设为单位向量，非零向量.若的夹角为，则的最大值等于（   ）A． 4    B． 3    C． 2    D． 1【答案】C【解析】||= 只考虑x>0，则===⩽2，当且仅当=−时取等号。∴的最大值等于2.故答案为：2.5．若向量，且，则的最大值是A． 1    B．     C．     D． 3【答案】D【解析】 ,选D.6．已知在三角形中， ，边的长分别为方程的两个实数根，若斜边上有异于端点的两点，且，则的取值范围为 （   ）A．     B．     C．     D． 【答案】C【解析】有题可知.建立如图所示的坐标系，有点.设，则.所以.因为点到边的距离，所以的面积为定值.所以，故，故选C.7．已知是单位向量，.若向量满足则的取值范围是（    ）A．     B．       C．     D． 【答案】A【解析】设，，，则. 设 ，则，故，故选A.8．已知非零向量满足，且关于的方程有实根，则向量与夹角的取值范围是（   ）A．     B．     C．     D． 【答案】B【解析】设与的夹角为θ，因为，所以， 本题选择B选项.9．设是单位圆上三点，若，则的最大值为（   ）A． 3    B．     C．     D． 【答案】C【解析】∵是半径为1的圆上三点， ，
∴根据余弦定理可知边所对的圆心角为60°则∠=30°
在中，根据正弦定理可知.
∴的最大值为，故选C.10．已知向量与的夹角为， ， ， ， ， 在时取最小值，当时， 的取值范围为（    ）A．     B．     C．     D． 【答案】D【解析】解：建立如图所示的平面直角坐标系，则由题意有： ，由向量关系可得： ，则： ，整理可得： ，满足题意时： ，据此可得三角不等式： ，解得： ，即 的取值范围是 .本题选择D选项.11．已知平面向量， ， ， ，且.若为平面单位向量， 的最大值为（    ）A．     B． 6    C．     D． 7【答案】C【解析】，其几何意义为在上的投影的绝对值与在上投影的绝对值的和，当与共线时，取得最大值，∴，则的最大值为，故选C.12．如图在中， 为边上一点（含端点）， ，则的最大值为（   ）A． 2    B． 3    C． 4    D． 5【答案】D【解析】 , , ，因为，所以，即的最大值为 .13．已知点是边长为2的正方形的内切圆内（含边界）一动点，则的取值范围是（ ）A．     B．     C．     D． 【答案】C【解析】建立坐标系如图所示，设，其中， ，易知，而，若设，则，由于，所以的取值范围是，故选C.14．已知为单位向量，且，向量满足，则的取值范围为（   ）A．     B．     C．     D． 【答案】D【解析】法一：由得，即，所以，则有，又因为，所以，由于，所以有，解得： ，故选则D. 法二：设向量，设向量，则，所以有，即，所以点的轨迹是以为圆心，3为半径的圆，如下图，因为，可以看作圆上动点到原点距离的最大值、最小值，先求圆心到原点的距离为，所以， ，所以，故选择D.15．如图，扇形中，，是中点，是弧上的动点，是线段上的动点，则的最小值为A．         B．         C．         D． 【答案】D【解析】 建立如图所示平面直角坐标系，设，则，故，因为，所以；又因为，所以（当且仅当取等号），应选答案D。二、填空题16．， 分别为的中点，设以为圆心， 为半径的圆弧上的动点为 (如图所示)，则的取值范围是 ______________.【答案】【解析】
 以A 为原点，以AB为x轴，以AD 为y轴建立平面直角坐标系，设，则， ， ， ， ，（其中 ），当时， 取得最大值，当在点位置时 ， 取最小值 ，则的取值范围.17．定义域为的函数的图象的两个端点为A，B，是图象上的任意一点，其中，向量，其中O是坐标原点若不等式恒成立，则称函数在上“k阶线性近似”若在上“k阶线性近似”，则实数k的取值范围是______．【答案】【解析】由题意知，，，；直线AB的方程为；，；，N两点的横坐标相同，且点N在直线AB上；，，时取“”；又，；要使恒成立，k的取值范围是．故答案为：．18．在中，是的中点，是的中点，过点作一直线分别与边　交于，若，，则的最小值是________．【答案】【解析】中，为边的中点，为的中点，且，，，同理，，又与共线，存在实数，使，即，，解得，，当且仅当时， “=”成立，故答案为.19．设向量， ，且与夹角为锐角，则实数的取值范围是__________．【答案】【解析】由题知，又夹角为锐角即，由数量积运算可得即．当时，夹角为，舍去．故本题应填．20．已知梯形中， 是边上一点，且.当在边上运动时， 的最大值是________________．【答案】【解析】设，则 ，故．21．已知点，O为原点，对于圆O：上的任意一点P，直线l：上总存在点Q满足条件，则实数k的取值范围是______．【答案】【解析】根据题意，是圆 上任意一点，可设，若点满足条件，则是的中点，则的坐标为，若在直线上，则，变形可得，即表示单位圆上的点与点连线的斜率，设过点的直线与圆相切，则有，解可得或，则有，即的取值范围为,故答案为22．如图，向量，，，P是以O为圆心、为半径的圆弧上的动点，若，则mn的最大值是______．【答案】【解析】因为，，，所以,因为为圆上，所以，，，，，，，故答案为1．23．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若（2a﹣c）•=c•且|﹣|=2，则△ABC面积的最大值为_____【答案】【解析】∵（（2a﹣c）•=c•，可化为：  即：（2a-c）cacosB=cabcosC，∴（ 2a-c）cosB=bcosC，
根据正弦定理有（2sinA-sinC）cosB=sinBcosC，∴2sinAcosB=sin（C+B），即 2sinAcosB=sinA，
∵sinA＞0，∴ ，即 ；
∵ ，即b2=4，根据余弦定理b2=a2+c2-2accosB，
可得4=a2+c2-ac，由基本不等式可知4=a2+c2-ac≥2ac-ac=ac，即ac≤4，
∴△ABC的面积 ，即当a=c=2时，△ABC的面积的最大值为．故答案为：.24．已知点和圆上的动点，则的取值范围是_________.【答案】【解析】设已知圆的圆心为C,由已知可得，∴,又由中点公式得，所以：又因为，点P在圆(x−3)2+(y−4)2=4上，所以,且，所以，即,故，所以|PA|2+|PB|2的最大值为100，最小值为20.的取值范围是.25．如图，在梯形中，，，，.是线段上一点，（可与，重合），若，则的取值范围是__________．【答案】【解析】设，， ，，故答案为.26．在△ABC中，D为AB的中点，若，则的最小值是_______．【答案】．【解析】根据D为AB的中点，若，得到，化简整理得，即，根据正弦定理可得，进一步求得，所以 ，求导可得当时，式子取得最小值，代入求得其结果为，故答案为.27．已知与相交于点，线段是圆的一条动弦，且，则的最小值是___________．【答案】【解析】∵l1：mx﹣y﹣3m+1=0与l2：x+my﹣3m﹣1=0，∴l1⊥l2，l1过定点（3，1），l2过定点（1，3），∴点P的轨迹方程为圆（x﹣2）2+（y﹣2）2=2，作垂直线段CD⊥AB，CD==1，所以点D的轨迹为,则，因为圆P和圆D的圆心距为，所以两圆外离，所以|PD|最小值为，所以的最小值为4﹣2.故答案为：4﹣2.28．如图，已知扇形的弧长为，半径为，点在弧上运动，且点不与点重合，则四边形面积的最大值为___________．【答案】【解析】已知扇形的弧长为，半径为，所以。由三角形的面积公式可知，，所以四边形面积为，因为，所以，由此四边形面积为，，，所以最大值为，当时取等号。29．若中，，为所在平面内一点且满足，则长度的最小值为_____．【答案】【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，由题意，，设，所以， 所以，即，令，则，所以，所以 ，当且仅当时，取得最小值.30．如图，棱形的边长为2，,M为DC的中点，若N为菱形内任意一点（含边界），则的最大值为_______．【答案】9【解析】如图，以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立如图所示的直角坐标系，由于菱形ABCD的边长为2，，M为DC的中点，故点，则，设，N为菱形内（包括边界）一动点，对应的平面区域即为菱形ABCD及其内部区域.因为，则，令，则，由图像可得当目标函数过点时，取得最大值，此时，故答案为9.31．在中，，点是所在平面内一点，则当取得最小值时，__________．【答案】24.【解析】由，得，，，即，以为坐标原点建立如图所示的坐标系，则，设，则 ，当时取得最小值，此时，则，故答案为.32．在中,为的中点,,的面积为6,且交于点,将沿翻折,翻折过程中，与所成角的余弦值取值范围是__．【答案】.【解析】：如图所示，根据题意，过作的垂线，垂足为过作的垂线，垂足为由题,的面积为6， ，设 的夹角为，故与所成角的余弦值取值范围是.即答案为.33．如图，在边长为1的正方形ABCD中，E为AB的中点，P为以A为圆心，AB为半径的圆弧（在正方形内，包括边界点）上的任意一点，则的取值范围是________； 若向量，则的最小值为_________. 【答案】 【解析】如图，以A为原点，以AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，结合题意，可知，所以 ，因为，所以，所以，所以的范围是；根据，可得，即，从而可以求得，所以，因为，所以，所以当取得最大值1时，同时取得最小值0，这时取得最小值为，所以的最小值是.34．已知，是两个单位向量，而，，，，则对于任意实数，的最小值是__________．【答案】【解析】当且仅当时取等号，即的最小值是3.35．如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，P为以A为圆心，AB为半径的圆弧上的任意一点，设向量,则最小值为___________．【答案】【解析】以为原点，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系.设正方形的边长为，则   设  .又向量所以，∴，∴，∴．令，则所以当时，取最小值为.36．如图，正方形的边长为，三角形是等腰直角三角形（为直角顶点），，分别为线段，上的动点（含端点），则的范围为__________．【答案】【解析】以AB所在直线为x轴，以AD所在直线为y轴，以A为坐标原点建立平面直角坐标系，∵正方形的边长为，三角形是等腰直角三角形，∴．设，∵，∴，又，∴，由基本不等式得，当且仅当时等号成立。又，∴，故的范围为．