高考数学(文数)一轮复习课时练习：2.9《函数模型及应用》(教师版)

这是一份高考数学(文数)一轮复习课时练习：2.9《函数模型及应用》(教师版)，共7页。
课时规范练A组　基础对点练1．下列函数中随x的增大而增长速度最快的是(　　)A．v＝·ex　　　　　 B．v＝100ln xC．v＝x100  D．v＝100×2x答案：A2．用长度为24(单位：米)的材料围成一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为(　　)A．3米  B．4米C．6米  D．12米解析：设隔墙的长为x(0＜x＜6)米，矩形的面积为y平方米，则y＝x×＝2x(6－x)＝－2(x－3)2＋18，所以当x＝3时，y取得最大值．答案：A3．已知A，B两地相距150千米，某人开汽车以60千米/小时的速度从A地到达B地，在B地停留1小时后再以50千米/小时的速度返回A地，把汽车离开A地的距离x表示为时间t(小时)的函数表达式是(　　)A．x＝60tB．x＝60t＋50tC．x＝D．x＝解析：当0≤t≤2.5时，x＝60t；当2.5＜t≤3.5时，x＝150；当3.5＜t≤6.5时，x＝150－50(t－3.5)．答案：D4．在某个物理实验中，测量得变量x和变量y的几组数据，如下表：x0.500.992.013.98y－0.990.010.982.00则对x，y最适合的拟合函数是(　　)A．y＝2x  B．y＝x2－1C．y＝2x－2  D．y＝log2x解析：根据x＝0.50，y＝－0.99，代入各选项计算，可以排除A；根据x＝2.01，y＝0.98，代入各选项计算，可以排除B，C；将各数据代入函数y＝log2x，可知满足题意．故选D.答案：D5．某商场销售A型商品，已知该商品的进价是每件3元，且销售单价与日均销售量的关系如表所示：销售单价/元45678910日均销售量/件400360320280240200160请根据以上数据分析，要使该商品的日均销售利润最大，则此商品的定价(单位：元/件)应为(　　)A．4  B．5.5C．8.5  D．10解析：由题意可设定价为x元/件，利润为y元，则y＝(x－3)[400－40(x－4)]＝40(－x2＋17x－42)，故当x＝8.5时，y有最大值，故选C.答案：C6．某种动物繁殖量y只与时间x年的关系为y＝alog3(x＋1)，设这种动物第2年有100只，到第8年它们将发展到(　　)A．200只  B．300只C．400只  D．500只解析：∵繁殖数量y只与时间x年的关系为y＝alog3(x＋1)，这种动物第2年有100只，∴100＝alog3(2＋1)，∴a＝100，∴y＝100log3(x＋1)，∴当x＝8时，y＝100 log3(8＋1)＝100×2＝200.故选A.答案：A7.某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x，y应为(　　) A．x＝15，y＝12  B．x＝12，y＝15C．x＝14，y＝10  D．x＝10，y＝14解析：由三角形相似得＝，得x＝(24－y)，由0＜x≤20得，8≤y＜24，所以S＝xy＝－(y－12)2＋180，所以当y＝12时，S有最大值，此时x＝15.答案：A8．世界人口在过去40年翻了一番，则每年人口平均增长率约是(参考数据lg 2≈0.301 0,100.007 5≈1.017)(　　)A．1.5%  B．1.6%C．1.7%  D．1.8%解析：由题意得(1＋x)40＝2，∴40lg(1＋x)＝lg 2，∴lg(1＋x)≈0.007 5，∴1＋x＝100.007 5，∴x≈0.017＝1.7%.故选C.答案：C9．当生物死亡后，其体内原有的碳14的含量大约每经过5 730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．当死亡生物体内的碳14含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到了．若某死亡生物体内的碳14用该放射性探测器探测不到，则它经过的“半衰期”个数至少是(　　)A．8  B．9C．10  D．11解析：设该死亡生物体内原有的碳14的含量为1，则经过n个“半衰期”后的含量为n，由n<，得n≥10，所以，若某死亡生物体内的碳14用该放射性探测器探测不到，则它至少需要经过10个“半衰期”．故选C.答案：C10．某大型民企为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该民企2016年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该民企全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(参考数据：lg 1.12＝0.05，lg 1.3＝0.11，lg 2＝0.30)(　　)A．2017年  B．2018年C．2019年  D．2020年解析：设2016年后的第n年，该公司全年投入的研发资金开始超过200万元，由130(1＋12%)n＞200，得1.12n＞，两边取对数，得n＞≈＝，∴n≥4，∴从2020年开始，该公司全年投入的研发资金开始超过200万元．答案：D11．某种病毒每经过30分钟由1个病毒可分裂成2个病毒，经过x小时后，病毒个数y与时间x(小时)的函数关系式为________，经过5小时，1个病毒能分裂成________个．解析：设原有1个病毒，经过1个30分钟有2＝21个病毒；经过2个30分钟有2×2＝4＝22个病毒；经过3个30分钟有4×2＝8＝23个病毒；……经过个30分钟有22x＝4x个病毒，∴病毒个数y与时间x(小时)的函数关系式为y＝4x.∴经过5小时，1个病毒能分裂成45＝1 024个．答案：y＝4x　1 02412．某电信公司推出两种手机收费方式：A种方式是月租20元，B种方式是月租0元．一个月的本地网内通话时间t(分钟)与电话费S(元)的函数关系如图所示，当通话150分钟时，这两种方式的电话费相差__________．解析：依题意可设SA(t)＝20＋kt，SB(t)＝mt.又SA(100)＝SB(100)，∴100k＋20＝100m，得k－m＝－0.2，于是SA(150)－SB(150)＝20＋150k－150m＝20＋150×(－0.2)＝－10，即两种方式的电话费相差10元．答案：10元13．某商家一月份至五月份累计销售额达3 860万元，预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增x%，八月份销售额比七月份递增x%，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等．若一月份至十月份销售总额至少达7 000万元，则x的最小值是________．解析：七月份的销售额为500(1＋x%)，八月份的销售额为500(1＋x%)2，则一月份到十月份的销售总额是3 860＋500＋2[500(1＋x%)＋500(1＋x%)2]，根据题意有3 860＋500＋2[500(1＋x%)＋500(1＋x%)2]≥7 000，即25(1＋x%)＋25(1＋x%)2≥66，令t＝1＋x%，则25t2＋25t－66≥0，解得t≥或者t≤－(舍去)，故1＋x%≥，解得x≥20.答案：2014．某市用37辆汽车往灾区运送一批救灾物资，假设以v km/h的速度直达灾区，已知某市到灾区公路线长400 km，为了安全起见，两辆汽车的间距不得小于()2km，那么这批物资全部到达灾区的最少时间是________h(车身长度不计)．解析：设全部物资到达灾区所需时间为t h，由题意可知，t相当于最后一辆车行驶了(36×2＋400) km所用的时间，因此，t＝≥12，当且仅当＝，即v＝时取“＝”．故这些汽车以 km/h的速度匀速行驶时，所需时间最少，最少时间为12 h.答案：12B组　能力提升练1.)某市近郊有一块大约500米×500米的接近正方形的荒地，地方政府准备在此建一个综合性休闲广场，要建设如图所示的一个总面积为3 000平方米的矩形场地，其中阴影部分为通道，通道宽度为2米，中间的三个矩形区域将铺设塑胶地面作为运动场地(其中两个小场地形状相同)，塑胶运动场地占地面积为S平方米．(1)分别用x表示y和S的函数关系式，并给出定义域；(2)怎样设计能使S取得最大值，并求出最大值．解析：(1)由已知xy＝3 000，得y＝，其定义域是(6, 500)．S＝(x－4)a＋(x－6)a＝(2x－10)a，∵2a＋6＝y，∴a＝－3＝－3，∴S＝(2x－10)·＝3 030－，其定义域是(6,500)．(2)S＝3 030－≤3 030－2＝3 030－2×300＝2 430，当且仅当＝6x，即x＝50∈(6,500)时，等号成立，此时，x＝50，y＝60，Smax＝2 430.∴设计x＝50米，y＝60米，a＝27米时，运动场地面积最大，最大值为2 430米．2．为了降低能源损耗，某体育馆的外墙需要建造隔热层．体育馆要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C万元与隔热层厚度x厘米满足关系：C(x)＝(0≤x≤10，k为常数)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．(1)求k的值及f(x)的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小？并求最小值．解析：(1)当x＝0时，C＝8，∴k＝40，∴C(x)＝.∴f(x)＝6x＋＝6x＋(0≤x≤10)．(2)f(x)＝2(3x＋5)＋－10，设3x＋5＝t，t∈[5,35]，∴y＝2t＋－10≥2－10＝70，当且仅当2t＝，即t＝20时等号成立，这时x＝5，f(x)的最小值为70，即隔热层修建5 cm厚时，总费用f(x)达到最小，最小值为70万元．3．某工厂生产某种产品，每日的成本C(单位：万元)与日产量x(单位：吨)满足函数关系式C＝3＋x，每日的销售额S(单位：万元)与日产量x的函数关系式S＝已知每日的利润L＝S－C，且当x＝2时，L＝3.(1)求k的值；(2)当日产量为多少吨时，每日的利润可以达到最大，并求出最大值．解析：(1)由题意可得，L＝因为x＝2时，L＝3，所以3＝2×2＋＋2.解得k＝18.(2)当0＜x＜6时，L＝2x＋＋2，所以L＝2(x－8)＋＋18＝－＋18≤－2＋18＝6.当且仅当2(8－x)＝，即x＝5时取得等号．当x≥6时，L＝11－x≤5.所以当x＝5时，L取得最大值6.所以当日产量为5吨时，每日的利润可以达到最大值6万元．    4．随着中国一带一路的深入发展，中国某陶瓷厂为了适应发展，制定了以下生产计划，每天生产陶瓷的固定成本为14 000元，每生产一件产品，成本增加210元．已知该产品的日销售量f(x)(单位：件)与产量x(单位：件)之间的关系式为f(x)＝，每件产品的售价g(x)(单位：元)与产量x之间的关系式为g(x)＝.(1)写出该陶瓷厂的日销售利润Q(x)(单位：元)与产量x之间的关系式；(2)若要使得日销售利润最大，则该陶瓷厂每天应生产多少件产品，并求出最大利润．解析：(1)设总成本为c(x)(单位：元)，则c(x)＝14 000＋210x，所以日销售利润Q(x)＝f(x)g(x)－c(x)＝(2)由(1)知，当0≤x≤400时，Q′(x)＝－x2＋x－210.令Q′(x)＝0，解得x＝100或x＝700(舍去)．易知当x∈[0,100)时，Q′(x)＜0；当x∈(100,400]时，Q′(x)＞0.所以Q(x)在区间[0,100)上单调递减，在区间(100,400]上单调递增．因为Q(0)＝－14 000，Q(400)＝30 000，所以Q(x)在x＝400时取到最大值，且最大值为30 000.当400＜x＜500时，Q(x)＝－x2＋834x－143 600.当x＝＝417时，Q(x)取得最大值，最大值为Q(x)max＝－4172＋834×417－143 600＝30 289.综上所述，若要使得日销售利润最大，则该陶瓷厂每天应生产417件产品，其最大利润为30 289元．