高考数学(文数)一轮复习考点测试13《函数模型及其应用》（教师版）

这是一份高考数学(文数)一轮复习考点测试13《函数模型及其应用》（教师版），共13页。试卷主要包含了25)%，则该公司的年收入是，5．等内容，欢迎下载使用。
eq \a\vs4\al(高考在本考点的常考题型多为选择题、填空题，分值5分，中等难度)
考纲研读
1.了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义
2．了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用
一、基础小题
1. 甲、乙两人在一次赛跑中，从同一地点出发，路程S与时间t的函数关系如图所示，则下列说法正确的是( )
A．甲比乙先出发
B．乙比甲跑的路程多
C．甲、乙两人的速度相同
D．甲比乙先到达终点
答案 D
解析 由题图知，甲和乙所走的路程相同且同时出发，但甲用时间少，即甲的速度比乙快．
2.如图是张大爷晨练时离家的距离(y)与行走时间(x)之间的函数关系的图象．若用黑点表示张大爷家的位置，则张大爷散步行走的路线可能是( )
答案 D
解析 根据图象可得，张大爷先是离家越来越远，后离家距离保持不变，最后慢慢回家，符合的只有D.
3．国家相继出台多项政策控制房地产行业，现在规定房地产行业收入税如下：年收入在280万元及以下的税率为p%，超过280万元的部分按(p＋2)%征税，有一公司的实际缴税比例为(p＋0.25)%，则该公司的年收入是( )
A．560万元 B．420万元 C．350万元 D．320万元
答案 D
解析 设该公司的年收入为a万元，则280p%＋(a－280)·(p＋2)%＝a(p＋0.25)%，
解得a＝eq \f(280×2,2－0.25)＝320.故选D.
4．某种动物的种群数量y(单位：只)与时间x(单位：年)的关系式为y＝alg2(x＋1)，若这种动物第一年有100只，则到第7年它们发展到( )
A．300只 B．400只 C．500只 D．600只
答案 A
解析 由题意，得100＝alg2(1＋1)，解得a＝100，所以y＝100lg2(x＋1)，当x＝7时，y＝100lg2(7＋1)＝300，故到第7年它们发展到300只．
5．设甲、乙两地的距离为a(a>0)，小王骑自行车匀速从甲地到乙地用了20 min，在乙地休息10 min后，他又以匀速从乙地返回到甲地用了30 min，则小王从出发到返回原地所经过的路程y与其所用的时间x的函数的图象为( )
答案 D
解析 由题意知小王在0～20 min，30～60 min这两段时间运动的路程都在不断增加，
在20～30 min时，运动的路程不变．故选D.
6．f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝lg2x，当x∈(4，＋∞)时，对三个函数的增长速度进行比较，下列选项中正确的是( )
A．f(x)>g(x)>h(x) B．g(x)>f(x)>h(x)
C．g(x)>h(x)>f(x) D．f(x)>h(x)>g(x)
答案 B
解析 画出三个函数的图象，如下图所示，当x∈(4，＋∞)时，指数函数的图象位于二次函数的图象的上方，二次函数的图象位于对数函数图象的上方，故g(x)>f(x)>h(x)．
7．某种计算机病毒是通过电子邮件进行传播的，表格是某公司前5天监测到的数据：
则下列函数模型中能较好地反映在第x天被感染的数量y与x之间的关系的是( )
A．y＝12x B．y＝6x2－6x＋12 C．y＝6·2x D．y＝12lg2x＋12
答案 C
解析 由表格可知，每一天的计算机被感染台数大约是前一天的2倍，故增长速度符合指数型函数，故选C.
8．已知甲、乙两种商品在过去一段时间内的价格走势如图所示．假设某商人持有资金120万元，他可以在t1至t4的任意时刻买卖这两种商品，且买卖能够立即成交(其他费用忽略不计)．如果他在t4时刻卖出所有商品，那么他将获得的最大利润是( )
A．40万元 B．60万元 C．120万元 D．140万元
答案 C
解析 甲6元时该商人全部买入甲商品，可以买120÷6＝20(万份)，在t2时刻全部卖出，此时获利20×2＝40(万元)，乙4元时该商人买入乙商品，可以买(120＋40)÷4＝40(万份)，在t4时刻全部卖出，此时获利40×2＝80(万元)，共获利40＋80＝120(万元)．故选C.
9．某公司为了实现1000万元销售利润的目标，准备制订一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按照销售利润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随销售利润x的增加而增加，但奖金不超过5万元，同时奖金不超过销售利润的25%，则下列函数最符合要求的是( )
A．y＝eq \f(1,4)x B．y＝lg x＋1 C．y＝eq \f(3,2)x D．y＝eq \r(x)
答案 B
解析 由题意知，x∈[10，1000]，符合公司要求的模型需同时满足：①函数为增函数；②函数的最大值不超过5；③y≤x·25%.对于y＝eq \f(1,4)x，易知满足①，但当x>20时，y>5，不满足要求；对于y＝eq \f(3,2)x，易知满足①，因为eq \f(3,2)4>5，故当x>4时，不满足要求；对于y＝eq \r(x)，易知满足①，但当x>25时，y>5，不满足要求；对于y＝lg x＋1，易知满足①，当x∈[10，1000]时，2≤y≤4，满足②，再证明lg x＋1≤x·25%，即4lg x＋4－x≤0，设F(x)＝4lg x＋4－x，则F′(x)＝eq \f(4,xln 10)－1lg 200，∴lg 130＋(n－1)·lg 1.12>lg 2＋2，∴2＋lg 1.3＋(n－1)lg 1.12>lg 2＋2，∴0.11＋(n－1)×0.05>0.30，解得n>eq \f(24,5).
又∵n∈N*，∴n≥5，∴该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是2019年．故选B.
14．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．下列叙述中正确的是( )
A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米
B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多
C．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油
D．某城市机动车最高限速80千米/小时．相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油
答案 D
解析 对于A选项，从图中可以看出当乙车的行驶速度大于40 km/h时的燃油效率大于5 km/L，故乙车消耗1升汽油的行驶路程可大于5千米，所以A错误．对于B选项，由图可知甲车消耗汽油最少．对于C选项，甲车以80 km/h的速度行驶时的燃油效率为10 km/L，故行驶1小时的路程为80千米，消耗8 L汽油，所以C错误．对于D选项，当最高限速为80 km/h且速度相同时丙车的燃油效率大于乙车的燃油效率，故用丙车比用乙车更省油，所以D正确．
15．某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系y＝ekx＋b(e＝2.718…为自然对数的底数，k，b为常数)．若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是( )
A．16小时 B．20小时 C．24小时 D．28小时
答案 C
解析 由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(eb＝192，,e22k＋b＝48，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(eb＝192，,e11k＝\f(1,2)，))
所以该食品在33 ℃的保鲜时间是y＝e33k＋b＝(e11k)3·eb＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))3×192＝24(小时)．
16．某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为( )
A.eq \f(p＋q,2) B.eq \f(p＋1q＋1－1,2) C.eq \r(pq) D.eq \r(p＋1q＋1)－1
答案 D
解析 设两年前的年底该市的生产总值为a，则第二年年底的生产总值为a(1＋p)(1＋q)．设这两年生产总值的年平均增长率为x，则a(1＋x)2＝a(1＋p)(1＋q)，由于连续两年持续增加，所以x>0，因此x＝eq \r(1＋p1＋q)－1，故选D.
17．我国古代数学著作《张邱建算经》中记载百鸡问题：“今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一．凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？”设鸡翁，鸡母，鸡雏个数分别为x，y，z，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y＋z＝100，,5x＋3y＋\f(1,3)z＝100，))当z＝81时，x＝_____，y＝_____.
答案 8 11
解析 把z＝81代入方程组，化简得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y＝19，,5x＋3y＝73，))解得x＝8，y＝11.
18．某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F(单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/小时)与车流速度v(假设车辆以相同速度v行驶，单位：米/秒)、平均车长l(单位：米)的值有关，其公式为F＝eq \f(76000v,v2＋18v＋20l).
(1)如果不限定车型，l＝6.05，则最大车流量为________辆/小时；
(2)如果限定车型，l＝5，则最大车流量比(1)中的最大车流量增加________辆/小时．
答案 (1)1900 (2)100
解析 (1)当l＝6.05时，F＝eq \f(76000v,v2＋18v＋20×6.05)，
∴F＝eq \f(76000v,v2＋18v＋121)＝eq \f(76000,v＋\f(121,v)＋18)≤eq \f(76000,2\r(v·\f(121,v))＋18)＝1900，
当且仅当v＝eq \f(121,v)，即v＝11时取“＝”．∴最大车流量F为1900辆/小时．
(2)当l＝5时，F＝eq \f(76000v,v2＋18v＋20×5)＝eq \f(76000,v＋\f(100,v)＋18)，
∴F≤eq \f(76000,2\r(v·\f(100,v))＋18)＝2000，当且仅当v＝eq \f(100,v)，即v＝10时取“＝”．
∴最大车流量比(1)中的最大车流量增加2000－1900＝100辆/小时．
三、模拟小题
19．当生物死亡后，其体内原有的碳14的含量大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．当死亡生物体内的碳14含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到了．若某死亡生物体内的碳14用一般的放射性探测器探测不到，则它经过的“半衰期”个数至少是( )
A．8 B．9 C．10 D．11
答案 C
解析 设死亡生物体内原有的碳14含量为1，则经过n(n∈N*)个“半衰期”后的含量为eq \f(1,2)n，由eq \f(1,2)n＜eq \f(1,1000)得n≥10.所以，若探测不到碳14含量，则至少经过了10个“半衰期”．故选C.
20．某工厂产生的废气经过过滤后排放，在过滤过程中，污染物的数量p(单位：毫克/升)不断减少，已知p与时间t(单位：小时)满足p(t)＝p02－eq \f(t,30)，其中p0为t＝0时的污染物数量．又测得当t∈[0，30]时，污染物数量的变化率是－10ln 2，则p(60)＝( )
A．150毫克/升 B．300毫克/升 C．150ln 2毫克/升 D．300ln 2毫克/升
答案 C
解析 因为当t∈[0，30]时，污染物数量的变化率是－10ln 2，
所以－10ln 2＝eq \f(\f(1,2)p0－p0,30－0)，所以p0＝600ln 2，因为p(t)＝p02－eq \f(t,30)，
所以p(60)＝600ln 2×2－2＝150ln 2(毫克/升)．
21．某观察者站在点O观察练车场上匀速行驶的小车P的运动情况，小车P从点A出发的运动轨迹如图所示．设观察者从点A开始随小车P变化的视角为θ＝∠AOP，练车时间为t，则函数θ＝f(t)的图象大致为( )
答案 D
解析 根据小车P从点A出发的运动轨迹可得，视角θ＝∠AOP的值先是匀速增大，然后又减小，接着基本保持不变，然后又减小，最后又快速增大，故选D.
22．一名顾客计划到商场购物，他有三张优惠卷，每张优惠卷只能购买一件商品，根据购买商品的标价，三张优惠券优惠方式不同，具体如下：
优惠券1：若标价超过50元，则付款时减免标价的10%.
优惠券2：若标价超过100元，则付款时减免20元．
优惠券3：若标价超过100元，则超过100元的部分减免18%.
若该顾客购买某商品使用优惠券1比优惠券2、优惠券3减免的都多，则他购买的商品的标价可能为( )
A．179元 B．199元 C．219元 D．239元
答案 C
解析 因为使用优惠券1比优惠券2减免的多，所以他购买的商品的标价超过200元．如果他购买的商品的标价为219元，那么使用优惠券1可以减免21.9元，使用优惠券2可以减免20元，使用优惠券3可以减免21.42元；如果标价为239元，那么使用优惠券1可以减免23.9元，使用优惠券2可以减免20元，使用优惠券3可以减免25.02元，不满足题意．故选C.
23．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P是B1C的中点，动点M在其表面上运动，且与平面A1DC1的距离保持不变，运行轨迹为S，M从P点出发，绕其轨迹运行一周的过程中，运动的路程x与l＝MA1＋MC1＋MD之间满足函数关系l＝f(x)，则此函数图象大致是( )

答案 D
解析 连接AB1，AC.由题意可知点M的运行轨迹是△B1AC，不妨设M从P点出发，沿P→C→A→B1→P运行，设AC的中点为Q，AB1的中点为R.可知M从P运行到C的过程中，MA1＋MD从小变大，且MC1从小变大，即l从小变大，同理可知M从C到Q，l从大变小；M从Q到A，l从小变大；M从A到R，l从大变小；M从R到B1，l从小变大；M从B1到P，l从大变小．故选D.
24．某食品的保鲜时间t(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系式t＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(64，x≤0，,2kx＋6，x>0，))且该食品在4 ℃时的保鲜时间是16小时．已知甲在某日10时购买了该食品，并将其遗放在室外，且此日的室外温度随时间变化如图所示．给出以下四个结论：
①该食品在6 ℃的保鲜时间是8小时；
②当x∈[－6，6]时，该食品的保鲜时间t随着x的增大而逐渐减少；
③到了此日13时，甲所购买的食品还在保鲜时间内；
④到了此日14时，甲所购买的食品已过了保鲜时间．
其中，所有正确结论的序号是________．
答案 ①④
解析 ∵某食品的保鲜时间t(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系式t＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(64，x≤0，,2kx＋6，x>0，))且该食品在4 ℃时的保鲜时间是16小时，∴24k＋6＝16，即4k＋6＝4，
解得k＝－eq \f(1,2)，∴t＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(64，x≤0，,2－\f(1,2)x＋6，x>0，))①当x＝6时，t＝8，故①正确；②当x∈[－6，0]时，保鲜时间恒为64小时，当x∈(0，6]时，该食品的保鲜时间t随着x的增大而逐渐减少，故②错误；③此日10时，温度为8 ℃，此时保鲜时间为4小时，而随着时间的推移，到11时，温度为11 ℃，此时的保鲜时间t＝2－eq \f(1,2)×11＋6＝eq \r(2)≈1.414(小时)，到13时，甲所购买的食品不在保鲜时间内，故③错误；④由③可知，到了此日14时，甲所购买的食品已过了保鲜时间，故④正确．故正确结论的序号为①④.
一、高考大题
本考点在近三年高考中未涉及此题型．
二、模拟大题
1．随着新能源的发展，电动汽车在全社会逐渐普及，据某报记者了解，某市电动汽车国际示范区运营服务公司逐步建立了全市乃至全国的分时租赁服务体系，为电动汽车分时租赁在全国的推广提供了可复制的市场化运营模式．现假设该公司有750辆电动汽车供租赁使用，管理这些电动汽车的费用是每日1725元．调查发现，若每辆电动汽车的日租金不超过90元，则电动汽车可以全部租出；若超过90元，则每超过1元，租不出的电动汽车就增加3辆．设每辆电动汽车的日租金为x(单位：元)(60≤x≤300，x∈N*)，用y(单位：元)表示出租电动汽车的日净收入(日净收入等于日出租电动汽车的总收入减去日管理费用)．
(1)求函数y＝f(x)的解析式；
(2)试问当每辆电动汽车的日租金为多少元时，才能使日净收入最多？
解 (1)当60≤x≤90，x∈N*时，y＝750x－1725；
当90