考点21命题与证明（解析版）-2022年数学中考一轮复习考点透析（北京版）

这是一份考点21命题与证明（解析版）-2022年数学中考一轮复习考点透析（北京版），共16页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
考点21命题与证明考点总结命题的概念：像这样判断一件事情的语句，叫做命题。命题的形式：“如果…那么…”。（如果+题设，那么+结论）真命题的概念：如果题设成立，那么结论一定成立，这样的命题叫做真命题。假命题的概念：如果题设成立，不能保证结论一定成立，这样的命题叫做假命题。如何说明一个命题是假命题：只需要举出一个反例即可。定义、命题、公理和定理之间的关系：这四者都是句子，都可以判断真假，即定义、公理和定理也是命题，不同的是定义、公理和定理都是真命题，都可以作为进一步判断其他命题真假的依据，而命题不一定是真命题，因而它不一定能作为进一步判断其它命题真假的依据。一个命题的正确性需经过推理，才能作出判断，这个推理过程叫做证明。证明的依据：可以是已知条件，也可以是学过的定义、基本事实或定理等。真题演练  一、单选题1．为了预防新型冠状病毒的感染，人员之间需要保持一米以上的安全距离，某公司会议室共有四行四列桌椅，并且相邻两个座椅之间的距离超过一米，为了保证更加安全，公司规定在此会议室开会时，每一行、每一列不能有连续三人就座．例如图中第一列所示情况就不满足条件（其中“√”表示就座人员）．根据该公司要求，该会议室最多可容纳的就座人数为（ ）A．12 B．11 C．10 D．9【答案】B【分析】分步安排每一排就坐，根据第一排与第二排的空座位值是否在同一列分情况安排第三排人员就坐，从而得出结论．【详解】解：第一步，在第一排安排3人就坐，且空出中间一个座位，不妨设空出第二个座位，第二步，在第二排安排3人就坐，且空出中间一个座位，则可空出第二或第三个座位，第三步，若第二排空出第二个座位，则第三排只能安排一人在第二个座位就坐，第四步，在第四排安排3人就坐，空出第二或第三个座位，此时会议室共容纳3+3+1+3=10人，重复第三步，若第二步空出第三个座位，则第三排可安排2人在中间位置就坐，重复第四步，在第四排安排3人就坐，空出第二个座位，此时会议室共容纳3+3+2+3=11人．故选：B．2．设m是非零实数，给出下列四个命题：①若-1<m<0，则<m<；②若m>1，则<<m；③若m<<，则m<0；④<m<，则0<m<1．其中命题成立的序号是（    ）A．①③ B．①④ C．②③ D．③④【答案】B【分析】逐个进行一次判断即可，判断一个命题是假命题，只需举出一个反例．【详解】解：①若-1＜m＜0，则<m<，成立，是真命题；
②若m＞1，取m=2时，m2＝4， m＜m2，原命题不成立；
③若m<<，取m=-时，=-2，m＞，原命题不成立；④<m<，则0<m<1，成立，是真命题；成立的有①④，
故选：B．3．下列命题中，真命题是（　　）A．两个锐角的和一定是钝角B．相等的角是对顶角C．垂线段最短D．带根号的数一定是无理数【答案】C【分析】根据锐角、对顶角、垂线段及无理数的定义即可依次判断．【详解】解：A、两个锐角的和可能是锐角、直角或钝角，故原命题错误，是假命题，不符合题意；B、相等的角不一定是对顶角，故原命题错误，不符合题意；C、垂线段最短，正确，是真命题，符合题意；D、带根号的数不一定是无理数，如，故原命题错误，不符合题意，故选：C．4．判断命题“如果，那么”是假命题，只需举出一个反例，反例中的n可以为（    ）A．－2 B． C．0 D．【答案】A【分析】根据实数的大小比较法则、乘方法则解答．【详解】−2＜1，（−2）2−1＞0，∴当n＝−2时，“如果n＜1，那么n2−1＜0”是假命题，故选：A．5．如图，是某企业甲、乙两位员工的能力测试结果的网状图，以O为圆心的五个同心圆分别代表能力水平的五个等级由低到高分别赋分1至5分，由原点出发的五条线段分别指向能力水平的五个维度，网状图能够更加直观的描述测试者的优势和不足，观察图形，有以下几个推断：  ①甲和乙的动手操作能力都很强；②缺少探索学习的能力是甲自身的不足；③与甲相比乙需要加强与他人的沟通合作能力；④乙的综合评分比甲要高．其中合理的是（    ）A．①③ B．②④ C．①②③ D．①②③④【答案】D【分析】根据甲、乙两位员工的能力测试结果的网状图一一判断即可得到答案；【详解】解：因为甲、乙两位员工的动手操作能力均是5分，故甲乙两人的动手操作能力都很强，故①正确；因为甲的探索学习的能力是1分，故缺少探索学习的能力是甲自身的不足，故②正确；甲的与他人的沟通合作能力是5分，乙的与他人的沟通合作能力是3分，故与甲相比乙需要加强与他人的沟通合作能力，故③正确；乙的综合评分是：3+4+4+5+5=22分，甲的综合评分是：1+4+4+5+5=19分，故乙的综合评分比甲要高，故④正确；故选：D；6．用三个不等式a＞b，c＞d，a+c＞b+d中的两个不等式作为题设，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，组成真命题的个数为（　　）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】根据题意得出三个命题，由不等式的性质再判断真假即可．【详解】解：根据题意可知：一共有三种命题组合方式：①如果a＞b，c＞d，那么a+c＞b+d．是真命题．②如果a＞b，a+c＞d+d，那么c＞d．是假命题．③如果c＞d，a+c＞b+d，那么a＞b．是假命题．故选：B．7．用三个不等式，，中的两个不等式作为题设，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，组成真命题的个数为（     ）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】由题意得出3个命题，由不等式的性质再判断真假即可．【详解】解：命题①，如果，那么.∵，∴，∵，∴，整理得，∴该命题是真命题.命题②，如果那么.∵∴∵，∴，∴.∴该命题为真命题.命题③，如果，那么.∵∴∵，∴，∴∴该命题为真命题.故，选D8．下列四个命题中，正确命题的个数是（    ）①若，则；②一组对角相等一组对边平行的四边形是平行四边形；③平分弦的直径垂直于弦；④反比例函数，当时，随的增大而增大．A．4 B．3 C．2 D．1【答案】D【分析】根据不等式的性质2、平行四边形的判定定理、垂径定理和反比例函数的性质分别进行分析即可．【详解】解：①若，如果，则，故原题没有c>0，没有说法错误；②一组对角相等一组对边平行的四边形是平行四边，故原题说法正确；③平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，原题没有指明被平分的弦不是直径，故原题说法错误；④反比例函数．当时，在每个象限内随的增大而增大，原题没有指明是在每一个象限内的条件，故原题说法错误；正确命题有1个，故选：D．9．用反证法证明“三角形中至少有一个角不小于”，应该先假设这个三角形中（    ）A．没有一个内角小于 B．每一个内角都小于C．至多有一个内角不小于 D．每一内角都大于【答案】B【分析】反证法的第一步是假设命题的结论不成立，据此可以得到答案．【详解】解：用反证法证明“三角形中至少有一个角不小于60°”时，应先假设：每一个内角都小于，
故选：B．10．用反证法证明“若，，则”时，应先假设（    ）A．与不平行 B． C．，都不垂直于 D．不垂直于【答案】A【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，可据此进行判断．【详解】解：用反证法证明“若a⊥b，b⊥c，则a∥b”时，第一步应先假设a与b不平行，故选：A． 二、填空题11．已知“若 a>b，则 ac>bc”是假命题，请写出一个满足条件的 c 的值是_______________．【答案】0(答案不唯一)【分析】举出一个能使得ac=bc或ac＜bc的一个c的值即可．【详解】若a＞b，当c=0时ac=bc=0，
故答案为：0(答案不唯一)．12．“如果＞，那么a＜b．”是假命题，举一个反例，其中a＝_____，b＝_____．【答案】1    -2    【分析】a取正数，b取一个负数即可．【详解】解：当a＝1，b＝﹣2可说明“如果＞，那么a＜b．”是假命题．故答案为1，﹣2．13．如图是某剧场第一排座位分布图：甲、乙、丙、丁四人购票，所购票分别为2，3，4，5．每人选座购票时，只购买第一排的座位相邻的票，同时使自己所选的座位之和最小．如果按“甲、乙、丙、丁”的先后顺序购票，那么甲甲购买1，2号座位的票，乙购买3，5，7号座位的票，丙选座购票后，丁无法购买到第一排座位的票．若丙第一购票，要使其他三人都能购买到第一排座位的票，写出一种满足条件的购票的先后顺序______．【答案】丙，丁，甲，乙【分析】根据甲、乙、丙、丁四人购票，所购票数量分别为2，3，4，5可得若丙第一购票，要使其他三人都能购买到第一排座位的票，那么丙选座要尽可能得小，因此丙先选择：1，2，3，4．丁所购票数最多，因此应让丁第二购票，据此判断即可．【详解】解：丙先选择：1，2，3，4．丁选：5，7，9，11，13．甲选：6，8．乙选：10，12，14．∴顺序为丙，丁，甲，乙．（答案不唯一）14．已知“若，则”是真命题，请写出一个满足条件的c的值是__________．【答案】（答案不唯一，负数即可）【分析】当，要使符号变号，则只需不等式两边同时乘同一个负数即可．【详解】当，要使成立，即不等式两边同时乘一个符号会变号，则使是负数即可，则可使．15．盒子里有甲、乙、丙三种粒子，若相同种类的两颗粒子发生碰撞，则变成一颗乙粒子；不同种类的两颗粒子发生碰撞，会变成第三种粒子，例如一颗甲粒子和一颗乙粒子发生碰撞则变成一颗丙粒子，现有甲粒子6颗，乙粒子4颗，丙粒子5颗，如果经过各种两两碰撞后，只剩下1颗粒子，给出下列结论：①最后一颗粒子可能是甲粒子；②最后一颗粒子一定不是乙粒子；③最后一颗粒子可能是丙粒子．其中正确结论的序号是：_______．【答案】①②③．【分析】根据规律将问题分三类分别分析，先剩下1颗丙，其它产生乙种粒子与原来4颗乙粒子共有9颗中8颗乙粒子两两碰撞最后剩一颗乙与丙碰撞产生丙即可解决．【详解】解：∵相同种类的两颗粒子发生碰撞，则变成一颗乙粒子；不同种类的两颗粒子发生碰撞，会变成第三种粒子，甲粒子与乙粒子碰撞产生丙粒子，甲粒子与丙粒子碰撞产生乙粒子，乙粒子与丙粒子碰撞产生甲粒子，6颗甲粒子两两碰撞产生3颗乙粒子，5颗丙粒子中4颗丙粒子两两碰撞产生2颗乙粒子，一共有9颗乙粒子，8个两两碰撞产生4个乙粒子加剩下一个共5个乙粒子，5个乙粒子中4个再两两碰撞产生2个，与剩下1个一共有3个乙粒子，其中两个相碰撞产生1个乙粒子与剩下的一个共有2个乙粒子，其中分两种情况，当剩下两个乙粒子碰撞中一个与丙相碰撞产生一个甲，与乙先碰撞，最后产生丙粒子，当剩下两颗乙粒子相碰撞产生一颗乙粒子与丙粒子相碰撞最后产生甲粒子，①最后一颗粒子可能是甲粒子正确；②最后一颗粒子一定不是乙粒子正确；③最后一颗粒子可能是丙粒子正确．正确的序号是①②③．故答案为：①②③．三、解答题16．疫情期间，甲、乙、丙、丁4名同学约定周一至周五每天做一组俯卧撑．为了增加趣味性，他们通过游戏方式确定每个人每天的训练计划．首先，按如图方式摆放五张卡片，正面标有不同的数字代表每天做俯卧撑的个数，反面标有，，，，便于记录．具体游戏规则如下：甲同学：同时翻开，，将两个数字进行比较，然后由小到大记录在表格中，，，按原顺序记录在表格中；乙同学：同时翻开，，，将三个数字进行比较，然后由小到大记录在表格中，，按原顺序记录在表格中；以此类推，到丁同学时，五张卡片全部翻开，并由小到大记录在表格中．下表记录的是这四名同学五天的训练计划： 星期一星期二星期三星期四星期五甲同学乙同学丙同学      丁同学根据记录结果解决问题：（1）补全上表中丙同学的训练计划；（2）已知每名同学每天至少做30个，五天最多做180个．①如果，，那么所有可能取值为__________________________；②这四名同学星期_________做俯卧撑的总个数最多，总个数最多为_________个．【答案】（1）见解析；（2）①41，42，43；②三，162．【分析】（1）由题意同时翻开将四个数字进行比较，然后由小到大记录在表格中，x5按原顺序记录在表格中即可．（2）①由题意推出x5可以取31，32，33，34，35，x1＞40，应用列举法即可解决问题．②观察表格可知星期三的做俯卧撑的总个数最多，不妨设，当x2=32时，x3+x1的最大值为180-30-31-32=87，若x1=44，则x3=43，此时星期三的做俯卧撑的总个数为162．应用列举法即可解决问题．【详解】解：（1）由题意同时翻开将四个数字进行比较，由乙同学可知，又结合丁同学可知，所以，然后由小到大记录在表格中，x5按原顺序记录在表格中补全表中丙同学的训练计划：．故答案为：．（2）①由题意x4=30，∵，∴x5可以取31，32，33，34，35，x1＞40，当x5=31时，x1的最大值为43，当x5=32时，x1的最大值为42，当x5=33时，x1的最大值为41，当x5=34或35时，x1的值不符合题意，∴x1的可能取41，42，43．故答案为：41，42，43．②观察表格可知星期三的做俯卧撑的总个数最多，不妨设x4=30，x5=31，当x2=32时，x3+x1的最大值为180-30-31-32=87，若x1=44，则x3=43，此时星期三的做俯卧撑的总个数为162．当x2=33时，x3+x1的最大值为180-30-31-33=86，若x1=44，则x3=42，此时星期三的做俯卧撑的总个数为161，当x2=34时，x3+x1的最大值为180-30-31-34=85，若x1=43，则x3=42，此时星期三的做俯卧撑的总个数为161，当x2=35时，x3+x1的最大值为180-30-31-33=84，若x1=43，则x3=41，此时星期三的做俯卧撑的总个数为160，综上所述，星期三的做俯卧撑的总个数的最大值为162．故答案为：162．17．某次数学竞赛中有5道选择题，每题1分，每道题在、、三个选项中，只有一个是正确的．下表是甲、乙、丙、丁四位同学每道题填涂的答案和这5道题的得分： 第一题第二题第三题第四题第五题得分甲4乙3丙2丁 （1）则甲同学错的是第          题；（2）丁同学的得分是          ；（3）如果有一个同学得了1分，他的答案可能是          （写出一种即可）．【答案】（1）5；（2）3；（3）A【分析】(1)分甲从第1题到第5题依次错一道,进而得出其余四道的正确选项,再根据乙,丙的选项和得分判断,进而得出甲具体选错的题号,即可得出结论;(2) 分甲从第1题到第5题依次错一道,进而得出其余四道的正确选项,再根据乙丙的选项和得分判断,进而得出甲具体选错的题号,即可得出结论．(3)由（1）先得出五道题的正确选项,然后留一个正确,其他都错误即可得出结论．【详解】解:（1）当甲选错了第1题,那么,其余四道全对, 针对于乙来看,第1,3,5道错了,做对两道,此时,得分为2,而乙得分3,所以,此种情况不符合题意, 当甲选错了第2题,那么其余四道全对,针对于乙来看,第2,3,5道错了,做对2道,此时,得分为2分,而乙得分3分,所以,此种情况不符合题意, 当甲选错第3题时,那么其余四道都对,针对于乙来看,第5道错了,而乙的得分是3分,所以,乙只能做对3道,即:第3题乙也选错,即:第3题的选项C正确, 针对于丙来看,第1题错了,做对4道,此时,丙的得分为4分,而丙的得分为2分,所以此种情况不符合题意, 当甲选错第4题,那么其余四道都对, 针对于乙来看,第3,4,5道错了,做对了2道,此时,得分2分,而乙的得分为3分,所以,此种情况不符合题意,当甲选错第5题,那么其余四道都对, 针对于乙来看,第3道错了,而乙的得分为3分,所以,乙只能做对3道,所以,乙第5题也错了,所以,第5题的选项A是正确的,针对于丙来看,第1,3,5题错了,做对了2道,得分2分, 针对于丁来看,第1，3题错了,做对了3道,得分3分, 故答案为5;（2）当甲选错了第1题,那么,其余四道全对, 针对于乙来看,第1,3,5道错了,做对两道,此时,得分为2,而乙得分3,所以,此种情况不符合题意, 当甲选错了第2题,那么其余四道全对,针对于乙来看,第2,3,5道错了,做对2道,此时,得分为2分,而乙得分3分,所以,此种情况不符合题意, 当甲选错第3题时,那么其余四道都对,针对于乙来看,第5道错了,而乙的得分是3分,所以,乙只能做对3道,即:第3题乙也选错,即:第3题的选项C正确, 针对于丙来看,第1题错了,做对4道,此时,丙的得分为4分,而丙的得分为2分,所以,此种情况不符合题意, 当甲选错第4题,那么其余四道都对, 针对于乙来看,第3,4,5道错了,做对了2道,此时,得分2分,而乙的得分为3分,所以,此种情况不符合题意,当甲选错第5题,那么其余四道都对, 针对于乙来看,第3道错了,而乙的得分为3分,所以,乙只能做对3道,所以,乙第5题也错了,所以,第5题的选项A是正确的,针对于丙来看,第1,3,5题错了,做对了2道,得分2分, 针对于丁来看,第1，3题错了,做对了3道,得分3分, 故答案为3;（3）由（1）知,五道题的正确选项分别是:CCABA, 如果有一个同学得了1分,那么,只选对1道, 即:他的答案可能是CACCC或CBCCC或CABAB或BBBBB等,故答案为:CACCC或BBBBB（答案不唯一）.18．定义：连结菱形的一边中点与对边的两端点的线段把它分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，那么称这样的菱形为自相似菱形．(1)判断下列命题是真命题，还是假命题？①正方形是自相似菱形；②有一个内角为60°的菱形是自相似菱形．③如图1，若菱形ABCD是自相似菱形，∠ABC=α(0°＜α＜90°)，E为BC中点，则在△ABE，△AED，△EDC中，相似的三角形只有△ABE与△AED．(2)如图2，菱形ABCD是自相似菱形，∠ABC是锐角，边长为4，E为BC中点．①求AE，DE的长；②AC，BD交于点O，求tan∠DBC的值．【答案】(1)见解析；(2)①AE=2，DE=4；②tan∠DBC=．【分析】（1）①证明△ABE≌△DCE（SAS），得出△ABE∽△DCE即可；②连接AC，由自相似菱形的定义即可得出结论；③由自相似菱形的性质即可得出结论；（2）①由（1）③得△ABE∽△DEA，得出，求出AE＝2，DE＝4即可；②过E作EM⊥AD于M，过D作DN⊥BC于N，则四边形DMEN是矩形，得出DN＝EM，DM＝EN，∠M＝∠N＝90°，设AM＝x，则EN＝DM＝x+4，由勾股定理得出方程，解方程求出AM＝1，EN＝DM＝5，由勾股定理得出DN＝EM＝＝，求出BN＝7，再由三角函数定义即可得出答案．【详解】解：(1)①正方形是自相似菱形，是真命题；理由如下：如图3所示：∵四边形ABCD是正方形，点E是BC的中点，∴AB=CD，BE=CE，∠ABE=∠DCE=90°，在△ABE和△DCE中，∴△ABE≌△DCE(SAS)，∴△ABE∽△DCE，∴正方形是自相似菱形，故答案为：真命题；②有一个内角为60°的菱形是自相似菱形，是假命题；理由如下：如图4所示：连接AC，∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD，AD∥BC，AB∥CD，∵∠B=60°，∴△ABC是等边三角形，∠DCE=120°，∵点E是BC的中点，∴AE⊥BC，∴∠AEB=∠DAE=90°，∴只能△AEB与△DAE相似，∵AB∥CD，∴只能∠B=∠AED，若∠AED=∠B=60°，则∠CED=180°﹣90°﹣60°=30°，∴∠CDE=180°﹣120°﹣30°=30°，∴∠CED=∠CDE，∴CD=CE，不成立，∴有一个内角为60°的菱形不是自相似菱形，故答案为：假命题；③若菱形ABCD是自相似菱形，∠ABC=α(0°＜α＜90°)，E为BC中点，则在△ABE，△AED，△EDC中，相似的三角形只有△ABE与△AED，是真命题；理由如下：∵∠ABC=α(0°＜α＜90°)，∴∠C＞90°，且∠ABC+∠C=180°，△ABE与△EDC不能相似，同理△AED与△EDC也不能相似，∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∴∠AEB=∠DAE，当∠AED=∠B时，△ABE∽△DEA，∴若菱形ABCD是自相似菱形，∠ABC=α(0°＜α＜90°)，E为BC中点，则在△ABE，△AED，△EDC中，相似的三角形只有△ABE与△AED，故答案为：真命题；(2)①∵菱形ABCD是自相似菱形，∠ABC是锐角，边长为4，E为BC中点，∴BE=2，AB=AD=4，由(1)③得：△ABE∽△DEA，∴∴AE2=BE•AD=2×4=8，∴AE=2，DE===4，故答案为：AE=2；DE=4；②过E作EM⊥AD于M，过D作DN⊥BC于N，如图2所示：则四边形DMEN是矩形，∴DN=EM，DM=EN，∠M=∠N=90°，设AM=x，则EN=DM=x+4，由勾股定理得：EM2=DE2﹣DM2=AE2﹣AM2，即(4)2﹣(x+4)2=(2)2﹣x2，解得：x=1，∴AM=1，EN=DM=5，∴DN=EM==，在Rt△BDN中，∵BN=BE+EN=2+5=7，∴tan∠DBC=，故答案为：．