考点02实数运算（解析版）-2022年数学中考一轮复习考点透析（北京版）

这是一份考点02实数运算（解析版）-2022年数学中考一轮复习考点透析（北京版），共11页。试卷主要包含了平方根，算术平方根，立方根，平方根和立方根的性质，比大，比小的整数是，下列命题中，真命题是，下列实数中，在2和3之间的是等内容，欢迎下载使用。
考点02实数运算考点总结一．平方根、算术平方根、立方根1．平方根（1）定义：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．（2）求一个数a的平方根的运算，叫做开平方．一个正数a的正的平方根表示为“”，负的平方根表示为“﹣”．2．算术平方根（1）算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为．（2）非负数a的算术平方根a有双重非负性：①被开方数a是非负数；②算术平方根a本身是非负数．（3）求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找．3．立方根（1）定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根。这就是说，如果x3＝a，那么x叫做a的立方根．记作：．（2）正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数．即任意数都有立方根。（3）求一个数a的立方根的运算叫开立方，其中a叫做被开方数。注意：符号a3中的根指数“3”不能省略；对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、负数都有唯一一个立方根。4．平方根和立方根的性质（1）平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。（2）立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0。二、无理数定义及估算1．无理数定义（1）定义：无限不循环小数叫做无理数．说明：无理数是实数中不能精确地表示为两个整数之比的数，即无限不循环小数． 如圆周率、2的平方根等．（2）无理数与有理数的区别：　①把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成有限小数和无限循环小数，　　比如4＝4.0，13＝0.33333…而无理数只能写成无限不循环小数，比如2＝1.414213562．　②所有的有理数都可以写成两个整数之比；而无理数不能．（3）常见三种类型①开不尽的方根，如等．②特定结构的无限不循环小数，如0.303 003 000 300 003…（两个3之间依次多一个0）．③含有π的绝大部分数，如2π．注意：判断一个数是否为无理数，不能只看形式，要看化简结果．如是有理数，而不是无理数．2．估算无理数的大小估算无理数大小要用逼近法，即用有理数逼近无理数，求无理数的近似值．三、实数的运算1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等．2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算．3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度．真题演练一、单选题1．已知．若为整数且，则的值为（    ）A．43 B．44 C．45 D．46【答案】B【分析】由题意可直接进行求解．【详解】解：∵，∴，∴，∴；故选B．2．将边长分别为2和4的长方形如图剪开，拼成一个正方形，则该正方形的边长最接近整数（    ）
 A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】易得正方形的面积，求得正方形面积的算术平方根即为所求的边长，利用四数的平方与正方形面积作差的绝对值进行比较即可解答．【详解】解：正方形的面积与原长方形的面积相等，S长方形=，∴S正方形=8，设正方形的边长为x则x2=8解得：x=则正方形的边长为=， ∵12=1,22=4,32=9,42=16∴8-1=7，8-4=4，9-8=1，16-8=8；∵8>7>4>1∴正方形的边长最接近整数3故选：C．3．下列各数中，小于的正整数是（    ）A．-1 B．0 C．1 D．2【答案】C【分析】根据即可解答．【详解】∵，∴小于的正整数是1．故选C．4．A，B是数轴上位于原点O异侧的两点（点A在点B的左侧），若点A，B分别对应的实数为a，b，且，则中最大的数是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据A，B是数轴上位于原点O异侧的两点（点A在点B的左侧），确定点A在原点左侧，点B在原点右侧，从而得到b＞a，又根据|a|>| b| ，得到-a>b，即-b＞a，即可得出最大的数.【详解】∵A，B是数轴上位于原点O异侧的两点（点A在点B的左侧），所以点A在原点左侧，点B在原点右侧，所以a＜0，b＞0，即b＞a，又因为|a|>|b| ，所以-a>b，即-b＞a，所以-a＞b＞a，又因为b＞0，所以-b＜0，所以-a＞b＞-b＞a；故选：B.5．比大，比小的整数是（    ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】由，得出，即可得出选项【详解】解：∵，∴大于且小于的整数是2．故选：B6．下列命题中，真命题是（　　）A．两个锐角的和一定是钝角B．相等的角是对顶角C．垂线段最短D．带根号的数一定是无理数【答案】C【分析】根据锐角、对顶角、垂线段及无理数的定义即可依次判断．【详解】解：A、两个锐角的和可能是锐角、直角或钝角，故原命题错误，是假命题，不符合题意；B、相等的角不一定是对顶角，故原命题错误，不符合题意；C、垂线段最短，正确，是真命题，符合题意；D、带根号的数不一定是无理数，如，故原命题错误，不符合题意，故选：C．7．实数在数轴上对应的位置如图所示，绝对值相等的两个实数是（    ）A．与 B．与 C．与 D．与【答案】D【分析】由数轴可知，，，表示的数为，，2，3，根据互为相反数的绝对值相等，即可解答．【详解】解：由数轴可知，，，表示的数为，，2，3，，与互为相反数，故选：．8．已知，那么a，b，c的大小顺序是（　　）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．c＜a＜b【答案】A【分析】先估算出的值，再分别求出a、b、c的值比较其大小．【详解】解：∵≈2.236，∴a＝2﹣≈2﹣2.236＝﹣0.236；b＝﹣2≈2.236﹣2＝0.236；c＝5﹣2≈5﹣4. 472＝0.528，∵0.528＞0.236＞﹣0.236，∴5﹣2＞﹣2＞2﹣，即a＜b＜c．故选：A．9．一个正方形的面积是12，估计它的边长大小在（   ）A．2与3之间 B．3与4之间 C．4与5之间 D．5与6之间【答案】B【分析】先设正方形的边长等于a，再根据其面积公式求出a的值，估算出a的取值范围即可．【详解】设正方形的边长等于a，∵正方形的面积是12，∴ ∵9<12<16，∴3<<4，即3<a<4.故选:B.10．下列实数中，在2和3之间的是（    ）A． B． C． D．【答案】C【详解】分析：先求出每个数的范围，逐一分析得出选项.详解：A、3<π<4，故本选项不符合题意；
B、1<π−2<2，故本选项不符合题意；
C、2<<3，故本选项符合题意；
D、3<<4，故本选项不符合题意；故选C. 二、填空题11．写出一个比大且比小的整数________.【答案】2或3．【分析】先分别求出与在哪两个相邻的整数之间，即可得出答案．【详解】∵，，∴比大且比小的整数是2或3，故答案为：2或3．12．从四个数中任取两个不同的数（记作）构成一个数组（其中且将与视为同一个数组），若满足：对于任意的和都有则的最大值______________．【答案】5【分析】找出ai+bi的值，结合对于任意的Mi={ai，bi}和Mj={aj，bj}（i≠j，1≤i≤S，1≤j≤S）都有ai+bi≠aj+bj，即可得出S的最大值．【详解】解：∵-1+1=0，-1+2=1，-1+4=3，1+2=3，1+4=5，2+4=6，∴ai+bi共有5个不同的值．又∵对于任意的Mi={ai，bi}和Mj={aj，bj}（i≠j，1≤i≤S，1≤j≤S）都有ai+bi≠aj+bj，∴S的最大值为5，故答案为：5．13．已知，则________．【答案】1．【分析】根据非负数的性质列式求出、，然后代入代数式进行计算即可得解．【详解】解：由题意得：，，解得，，所以，．故答案是：1．14．在3.141，，，，0，，0.1010010001中，无理数有________个．【答案】2【分析】根据无理数定义，直接判断即可．【详解】解：∵无理数有：，，故答案为：2．15．已知a、b为两个连续的整数，且，则a+b＝_____．【答案】11【详解】试题解析： ∴a=5，b=6，∴a+b=11.故答案为11. 三、解答题16．计算【答案】【分析】直接利用二次根式、特殊角的三角函数值、绝对值的性质以及零指数幂的性质进行化简，进而求出答案．【详解】解：原式17．在平面直角坐标系中，任意两点，，定义线段的“直角长度”为．（1）已知点．① ________；② 已知点，若，求m的值；（2）在三角形中，若存在两条边“直角长度”之和等于第三条边的“直角长度”，则称该三角形为“和距三角形”．已知点．① 点．如果为“和距三角形”，求d的取值范围；② 在平面直角坐标系中，点C为直线上一点，点K是坐标系中的一点，且满足，当点C在直线上运动时，点K均满足使为“和距三角形”，请你直接写出点C的横坐标的取值范围．【答案】（1）① 5；②或7；（2）①且；②＜或【分析】（1）①根据题意把，代入计算即可；②把，代入公式，求得，去绝对值求得m的值即可；（2）①据题意，锐角三角形不可能为 “和距三角形”，结合图像求出d的取值范围；②结合图形画出所有可能情况即可求出的取值范围．【详解】解：（1）① ∵∴；故答案为：5② 知点，若，∴∴，或 ∴或7；（2）① 当＞时，不存在“和距三角形”，∴当时，构成直角三角形如图，符合要求，当时，构成钝角三角形如图，符合要求，  ∴且② 据题意，点K的轨迹是以点C为圆心，半径为1的圆，且锐角三角形不可能为“和距三角形”，如图：∴综上所述：＜或18．计算：．【答案】－1【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及零指数幂的性质、负整数指数幂的性质、绝对值的性质分别化简得出答案．【详解】解：原式．