考点24锐角三角函数（解析版）-2022年数学中考一轮复习考点透析（北京版）

这是一份考点24锐角三角函数（解析版）-2022年数学中考一轮复习考点透析（北京版），共20页。试卷主要包含了 锐角三角形， 解直角三角形，解答题等内容，欢迎下载使用。
考点24锐角三角函数考点总结一、 锐角三角形锐角三角函数：如下图，在Rt△ABC中，∠C为直角，则∠A的锐角三角函数为(∠A可换成∠B)  定    义表达式取值范围关    系正弦(∠A为锐角)余弦(∠A为锐角)正切(∠A为锐角) 【正弦和余弦注意事项】1.sinA、cosA是在直角三角形中定义的，∠A是锐角(注意数形结合，构造直角三角形)。2.sinA、cosA是一个比值（数值，无单位）。3.sinA、cosA的大小只与∠A的大小有关，而与直角三角形的边长无关。0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函数值(重要)三角函数30°45°60°1锐角三角函数的关系（互余两角的三角函数关系（A为锐角））：1、  sin A=cos（90°-A）,即一个锐角的正弦值等于它余角的余弦值。2、  cos A=sin（90°-A）,即一个锐角的余弦值等于它余角的余正切值。正弦、余弦的增减性：当0°≤≤90°时，sin随的增大而增大，cos随的增大而减小。正切的增减性：当0°<<90°时，tan随的增大而增大，二、 解直角三角形一般地，直角三角形中，除直角外，共有五个元素，即三条边和两个锐角．由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形．直角三角形五元素之间的关系：1. 勾股定理（）2. ∠A+∠B=90°3. sin A=   =     4. cos A=   = 5. tan A=   = 真题演练  一、单选题1．如图所示，边长为2的等边△ABC是三棱镜的一个横截面．一束光线ME沿着与AB边垂直的方向射入到BC边上的点D处（点D与B，C不重合），反射光线沿DF的方向射出去，DK与BC垂直，且入射光线和反射光线使∠MDK=∠FDK．设BE的长为x，△DFC的面积为y，则下列图象中能大致表示y与x的函数关系的是（   ）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据题意可证出是直角三角形，利用直角三角形的边角关系用x表示出CF、DF，最后利用三角形的面积公式可知y与x的函数关系图像是开口向上的二次函数，观察选项图像即可得出答案．【详解】解：由题可知，等边三角形ABC的边长为2．∵ME⊥AB，，∴是直角三角形，，，，∵，∴，．又∵ DK⊥BC，∠MDK=∠FDK，∴．∵，∴，∴是直角三角形，∴，∴，∴，∴，即则y与x的函数关系图像是开口向上的二次函数，且过点．故选：A．2．如图，在平面直角坐标系xOy中，AB，CD，EF，GH是正方形OPQR边上的线段，点M在其中某条线段上，若射线OM与x轴正半轴的夹角为α，且sinα＞cosα，则点M所在的线段可以是（　　）A．AB和CD B．AB和EF C．CD和GH D．EF和GH【答案】D【分析】如图，当点M在线段AB上时，连接OM．根据正弦函数，余弦函数的定义判断sinα，cosα的大小．当点M在EF上时，作MJ⊥OP于J．判断sinα，cosα的大小即可解决问题．【详解】如图，当点M在线段AB上时，连接OM．∵sinα=，cosα=，OP＞PM，∴sinα＜cosα，同法可证，点M在CD上时，sinα＜cosα，如图，当点M在EF上时，作MJ⊥OP于J．∵sinα=，cosα=，OJ＜MJ，∴sinα＞cosα，同法可证，点M在GH上时，sinα＞cosα，故选：D．3．某滑雪场举办冰雪嘉年华活动，采用直升机航拍技术拍摄活动盛况，如图，通过直升机的镜头C观测到水平雪道一端A处的俯角为30°，另一端B处的俯角为45°．若直升机镜头C处的高度CD为200米，点A、D、B在同一直线上，则雪道AB的长度为（　　）A．200 米 B．（200+200）米C．600 米 D．（200+20）米【答案】B【分析】在Rt△ACD中，由tan∠A＝，可知（米），在Rt△BCD中，由∠B＝45°知BD＝CD＝200米，根据AB＝AD+BD可得答案．【详解】解：由题意知，∠A＝30°，∠B＝45°，CD＝200米，在Rt△ACD中，∵tan∠A＝，∴（米），在Rt△BCD中，∵∠B＝45°，∴BD＝CD＝200米，∴AB＝AD+BD＝200+200（米），故选：B．4．在中，，，，则的正切值为（    ）A．3 B． C． D．【答案】B【分析】根据锐角三角函数的定义直接求解即可．【详解】解：在中，，，，如图：则，故选：B．5．如图，在RtABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝，D是AB边上的一动点（不与A，B重合），连接CD，将CD绕点C顺时针方向旋转90°到CE，连接DE，与AC相交于点F，连接AE．设AE＝x，CF＝y，则能反映y与x之间的函数关系的图象是（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】过点D作DG⊥BC于点G，根据题意可证明△BCD≌△ACE，可得到BD=AE，∠CAE=∠B=45°，从而证得，则有 ，进而得到，在和中，利用锐角三角函数和勾股定理可得CG=BC-BG=，CD2=DG2+CG2，从而得到y与x函数关系式，即可求解．【详解】解：如图，过点D作DG⊥BC于点G，由题意可得：CE=CD，∠DCE=90°，∠ACE+∠ACD=90°，∠CED=∠CDE=45°，∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝，∴∠BCD +∠ACD=90°，∠CAB=∠B=45°，∴∠ACE=∠BCD，∴△BCD≌△ACE，∴BD=AE，∠CAE=∠B=45°，∴∠CAE=∠CED，∴ ，∴ ，即 ，∵CE=CD，∴，在 中，∠B=45°，且BD= AE＝x，∴ ，∵AC＝BC＝，∴CG=BC-BG=，在 中，由勾股定理得：CD2=DG2+CG2，∵，∴，CF＝y，即 ，∴y与x函数关系式为： ，∴该函数图象为抛物线，且开口向上．故选：B．6．在平面直角坐标系中，一次函数 （b为常数）的图像与x、y轴分别交于点A、B，直线AB与双曲线 分别交于点P、Q，则AP·BP的值是（    ）A．4 B．8 C．10 D．与b的取值有关【答案】C【分析】如图，过向轴作垂线，垂足分别为，由于点在上，设，代入一次函数解析式，得到关系式，根据，由正切的定义可知，勾股定理求得，结合已知关系式，即可求得答案．【详解】如图，过向轴作垂线，垂足分别为，，点在上，设，代入得：，，一次函数 （b为常数）的图像与x、y轴分别交于点A、B，令，，则，令，，则，，，，，，，，，，，．故选C．7．如图，一棵松树AB挺立在斜坡CB的顶端，斜坡CB长为52米，坡度为i＝12：5，小张从与点C相距60米的点D处向上爬12米到达观景台DE的顶端点E，在此测得松树顶端点A的仰角为39°，则松树的高度AB约为（    ）（参考数据：sin39°≈0.63，cos39°≈0.78，tan39°≈0.81）A．16.8米 B．28.8米 C．40.8米 D．64.2米【答案】B【分析】延长AB交DC的延长线于H，作EF⊥AH于F，根据矩形的性质得到FH＝DE＝12，EF＝DH，根据坡度的概念分别求出CH、BH，根据正切的定义求出AF，结合图形计算即可．【详解】解：延长AB交DC的延长线于H，作EF⊥AH于F，则四边形EDHF为矩形，∴FH＝DE＝12米，EF＝DH，∵斜坡CB的坡度为t＝12：5，∴设BH＝12x，CH＝5x，由勾股定理得，（5x）2+（12x）2＝522，解得，x＝4，则BH＝12x＝48米，CH＝5x＝20米，则EF＝DH＝DC+CH＝60+20＝80（米），在Rt△AEF中，tan∠AEF＝，则AF＝EF•tan∠AEF≈80×0.81＝64.8（米），∴AB＝AF+HF﹣BH＝64.8+12﹣48＝28.8（米），故选：B．8．如图，在边长为的正方形中，分别为的中点，连接交于点，将沿对折，得到，延长交延长线于点．下列结论①； ②；③； ④，正确的有（      ）A． B． C． D．【答案】A【分析】①△BCF沿BF对折，得到△BPF，利用角的关系求出QF=QB；
②首先证明△ABE≌△BCF，再利用角的关系求得∠BGE=90°，即可得到AE⊥BF；
④利用QF=QB，解出BP，QB，根据正弦的定义即可求解；
③可证△BGE与△BCF相似，进一步得到相似比，再根据相似三角形的性质即可求解．【详解】解：①根据题意得，FP＝FC，∠PFB＝∠BFC，∠FPB＝90°∵CD∥AB，∴∠CFB＝∠ABF，∴∠ABF＝∠PFB，∴QF＝QB，故正确；②∵E，F分别是正方形ABCD边BC，CD的中点，∴CF＝BE，在△ABE和△BCF中， ，∴△ABE≌△BCF（SAS），∴∠BAE＝∠CBF，又∵∠BAE+∠BEA＝90°，∴∠CBF+∠BEA＝90°，∴∠BGE＝90°，∴AE⊥BF，故正确；④由①知，QF＝QB，令PF＝k（k＞0），则PB＝2k在Rt△BPQ中，设QB＝x，∴x2＝（x﹣k）2+4k2，∴x＝，∴sin∠BQP＝，故正确；③∵∠BGE＝∠BCF，∠GBE＝∠CBF，∴△BGE∽△BCF，∵BE＝BC，BF＝BC，∴BE：BF＝1：，∴△BGE的面积：△BCF的面积＝1：5，∴S四边形ECFG＝4S△BGE，故正确．综上所述，共有4个结论正确．故选A．9．一辆汽车沿倾斜角为40°的斜坡行驶，它上升的垂直高度为7米，则小汽车行驶的路程是（　　）A． B． C．7cos40° D．【答案】A【分析】在三角函数中，根据坡度角的正弦值＝垂直高度：坡面距离即可解答．【详解】解：如图，∠A＝40°，∠C＝90°，CB＝7米，则小汽车行驶的路程是：sin40°＝，故AB＝（米）．故选：A．10．已知是锐角三角形，若，则（　　　）A． B． C． D．【答案】B【分析】大边对大角，可得∠C＞∠B，当角度在0°～90°间变化时，正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；依此即可求解．【详解】解：△ABC是锐角三角形，若AB＞AC，则∠C＞∠B，则sinB＜sinC．故选：B．二、填空题11．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点均在网格交点上，是的外接圆，则的值是____________．【答案】【分析】作直径BD，连接CD，根据勾股定理求出BD，根据圆周角定理得到∠BAC=∠BDC，根据余弦的定义解答即可．【详解】解：如图，作直径BD，连接CD，
由勾股定理得，BD=，
在Rt△BDC中，cos∠BDC=，
由圆周角定理得，∠BAC=∠BDC，
∴cos∠BAC=cos∠BDC=，
故答案为：．12．2020年3月14日是全球首个国际圆周率日（π Day）．历史上求圆周率π的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似．数学家阿尔卡西的计算方法是：当正整数n充分大时，计算某个圆的内接正6n边形的周长和外切正6n边形各边均与圆相切的正6n边形的周长，再将它们的平均数作为2π的近似值．当n=1时，右图是⊙O及它的内接正六边形和外切正六边形．（1）若⊙O的半径为1，则⊙O的内接正六边形的边长是_______；（2）按照阿尔卡西的方法，计算n=1时π的近似值是_______．（结果保留两位小数）（参考数据：）【答案】1    3.23    【分析】（1）如图，根据正六边形的性质可证得△AOB为等边三角形，再根据等边三角形的性质即可求解；（2）利用锐角三角函数分别计算出圆的内接正六边形的周长和外切正六边形的周长，再利用它们的算术平均数作为2π的近似数值即可解答．【详解】解：（1）如图，∵该多边形为圆内接正六边形，∴∠AOB=60°，∵OA=OB=1，∴△AOB为等边三角形，∴AB=1，即则⊙O的内接正六边形的边长是1,故答案为：1；（2）如图，设圆的半径为1，当n=1时，可得∠AOB=60°，∠BOC=30°，则圆内接正六边形的边长为1，周长为6，圆外切正六边形的边长为，周长为，根据题意得：2π= ，则π= ≈1.5+1.732=3.232≈3.23，故答案为：3.23．13．如图所示的正方形网格中有，则的值为___________．【答案】1【分析】利用网格特点，构建Rt△ACB，然后利用正切的定义求解．【详解】解：如图，在中，．故答案为：1．14．比较sin30°和cos30°的大小，用“＜”连接___．【答案】sin30°＜cos30°【分析】将余弦转化为正弦，根据正弦的锐角三角函数的增减性比较大小即可．【详解】解：∵cos30°=sin60°，正弦的锐角三角函数值随角度的增大而增大，∴sin30°＜sin60°，故答案为：sin30°＜cos30°．15．如图，为轴负半轴上一点，、是函数的图像上的两个动点，且．若的最小值为10，则点的坐标为______．【答案】【分析】取MN的中点为B，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可知：AB最小值，由AB⊥MN时，AB最小，再通过即可求出AC的长，从而得出A点的坐标．【详解】假设中点为点，连接，根据直角三角形斜边中线定理可得∵∴（即定点A到直线上动点的最短距离为5）∵的图象与x、y轴交于C、D两点，
∴C(0，3)，D(4，0)，根据垂线段最短可得，直线时，如图所示 在中，由勾股定理得：中，中，∴，∴∵点A在轴的负半轴∵∴∴点A的纵坐标为．故答案为： 三、解答题16．如图，在四边形中，，点在上，，垂足为．（1）求证：四边形是平行四边形；（2）若平分，求和的长．【答案】（1）见详解；（2），【分析】（1）由题意易得AD∥CE，然后问题可求证；（2）由（1）及题意易得EF=CE=AD，然后由可进行求解问题．【详解】（1）证明：∵，∴AD∥CE，∵，∴四边形是平行四边形；（2）解：由（1）可得四边形是平行四边形，∴，∵，平分，，∴，∴EF=CE=AD，∵，∴，∴，∴．17．计算：．【答案】【分析】根据特殊三角函数值、零次幂及二次根式的运算可直接进行求解．【详解】解：原式=．18．如图，在四边形中，，对角线，相交于点，点是对角线中点，连接，．如果，，且．（1）求证：四边形是平行四边形．（2）若，则______，_____．【答案】（1）见解析；（2）12，【分析】（1）要证明四边形AMCD是平行四边形，已知AM=DC，只需要证明AM∥DC即可；由条件可知△AMB≌△AMC(SSS)，推理可得∠DCA=∠MAC=45°，由内错角相等，两直线平行可知AM∥CD，可得结论；(2)根据平行四边形的性质得即可得，延长AM交BC于点E，由等腰三角形三线合一可得点E是BC的中点，ME是△BCD的中线，则ME=CD，进而ME=AE，BC=6ME，最后由勾股定理求出ME=2，从而可得结论．【详解】解：（1）证明：如图， ∵点M是BD的中点，∠BCD=90° ∴CM是Rt△BCD斜边BD的中线， ∴CM=BM=MD， 又AB=AC，AM=AM， ∴△AMB≌△AMC(SSS)， ∴∠BAM=∠CAM， ∵BA⊥AC， ∴∠BAC=90°，∴∠CAM=45°又∵AB=AC，∴∠ACB=∠ABC=45°∴∠DCA=∠DCB-∠ACB=45°，∴∠DCA=∠MAC， ∴AM∥CD， 又∵AM=DC， ∴四边形AMCD为平行四边形． （2）由（1）得，，即 ∴ 延长AM交BC于点E，如图，∵AB=AC，∠BAC=90°，∠BAM=∠CAM， ∴AE⊥BC，且点E为BC的中点，∴ ∵点M是BD的中点，点E是BC的中点，∴ME是△BCD的中位线，∴CD=2ME， 又AM=CD， ∴AM=2ME，∴ME=AE， ∴，在Rt△BCD中，，即 解得，ME=2∴，CD=4∴tan∠DBC=，故答案为：12，．