考点01有理数（解析版）-2022年数学中考一轮复习考点透析（北京版）

考点01有理数

考点总结

一、正数和负数

（1）大于0的数叫做正数，在正数前面加负号“﹣”，叫做负数，一个数前面的“+”“﹣”号叫做它的符号．

（2）0既不是正数也不是负数．0是正负数的分界点，正数是大于0的数，负数是小于0的数．

（3）用正负数表示两种具有相反意义的量．具有相反意义的量都是互相依存的两个量，它包含两个要素，一是它们的意义相反，二是它们都是数量．

二、数轴

（1）数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴．

     数轴的三要素：原点，单位长度，正方向．

（2）数轴上的点：所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数．（一般取右方向为正方向，数轴上的点对应任意实数，包括无理数．）

（3）用数轴比较大小：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大．

三、绝对值、倒数、相反数

1．绝对值

（1）概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值．

①互为相反数的两个数绝对值相等；

②绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数．

③有理数的绝对值都是非负数．

（2）如果用字母a表示有理数，则数a 绝对值要由字母a本身的取值来确定：

①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；

②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a；

③当a是零时，a的绝对值是零．

即|a|＝{a（a＞0）0（a＝0）﹣a（a＜0）

2．倒数

（1）倒数：乘积是1的两数互为倒数． 一般地，a•＝1 （a≠0），就说a（a≠0）的倒数是．

（2）方法指引：

①倒数是除法运算与乘法运算转化的纽带，正像减法转化为加法及相反数一样，非常重要。倒数是伴随着除法运算而产生的．

②正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，而0 没有倒数，这与相反数不同．

3．相反数

（1）相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．

（2）相反数的意义：掌握相反数是成对出现的，不能单独存在，从数轴上看，除0外，互为相反数的两个数，它们分别在原点两旁且到原点距离相等．

（3）多重符号的化简：与“+”个数无关，有奇数个“﹣”号结果为负，有偶数个“﹣”号，结果为正．

（4）规律方法总结：求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“﹣”，如a的相反数是﹣a，m+n的相反数是﹣（m+n），这时m+n是一个整体，在整体前面添负号时，要用小括号．

四、有理数比较大小及运算

1．有理数比较大小

（1）法则比较：正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数．两个负数比较大小，绝对值大的反而小．

（2）数轴比较：在数轴上右边的点表示的数大于左边的点表示的数．

（3）作差比较：

若a﹣b＞0，则a＞b；若a﹣b＜0，则a＜b；若a﹣b＝0，则a＝b．

2．有理数运算

（1）有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．

（2）有理数混合运算的四种技巧

①转化法：一是将除法转化为乘法，二是将乘方转化为乘法，三是在乘除混合运算中，通常将小数转化为分数进行约分计算．

②凑整法：在加减混合运算中，通常将和为零的两个数，分母相同的两个数，和为整数的两个数，乘积为整数的两个数分别结合为一组求解．

③分拆法：先将带分数分拆成一个整数与一个真分数的和的形式，然后进行计算．

④巧用运算律：在计算中巧妙运用加法运算律或乘法运算律往往使计算更简便．

五、近似数和有效数字

（1）有效数字：从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字．

（2）近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法．

（3）规律方法总结：

“精确到第几位”和“有几个有效数字”是精确度的两种常用的表示形式，它们实际意义是不一样的，前者可以体现出误差值绝对数的大小，而后者往往可以比较几个近似数中哪个相对更精确一些．

六、科学记数法

（1）科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．【科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数】

（2）表示较大的数

①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位数少1；按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数n．

②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用此法表示，只是前面多一个负号．

（3）表示较小的数

用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．

（4）用科学记数法表示有理数x的规律

真题演练

一、单选题

1．有理数，在数轴上的对应点的位置如图所示，则结论正确的是（   ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

由，可判断A；，，知，，，可判断B；，的相反数，而，可得，，可判断C； 由，可判断D．

【详解】

解：由数轴可得，，

A．∵，故选项A不正确，不符合题意；

B．，，知，，

∴，故选项B不正确，不符合题意；

C．∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

，

故选项C不正确，不符合题意；

D．∵，

∴

故选项D正确，符合题意；

故选择D．

2．实数在数轴上的对应点的位置如图所示.若实数满足，则下列结论正确的是（   ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

根据，确定原点的位置，根据实数与数轴即可解答．

【详解】

解：∵，

∴原点在的中间，

如图，

由图可得：，，，

故选：D．

3．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，如果ab=c，那么实数c在数轴上的对应点的位置可能是(　　)

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】

根据数轴上点的位置，可得a，b，根据有理数的乘法，可得答案．

【详解】

由数轴，得

﹣1＜a＜0，0＜b＜1，

∴﹣1＜ab＜0，

﹣1＜c＜0．

故选：B．

4．在数轴上，点A，B在原点O的两侧，分别表示数a，2，将点A向右平移1个单位长度，得到点C．若CO=BO，则a的值为（    ）

A．-3 B．-2 C．-1 D．1

【答案】A

【分析】

根据CO=BO可得点C表示的数为-2，据此可得a=-2-1=-3．

【详解】

解：∵点C在原点的左侧，且CO=BO，
∴点C表示的数为-2，
∴a=-2-1=-3．
故选A．

5．如图，数轴上两点对应的数分别是和.对于以下四个式子：①；②；③；④，其中值为负数的是（  ）

A．①② B．③④ C．①③ D．②④

【答案】D

【分析】

根据图示，可得b＜-3，2＜a＜3，据此逐项判断即可．

【详解】

解：根据图示，可得b＜-3，0＜a＜3，
①2a-b＞0；
②a+b＜0；
③|b|-|a|＞0；
④＜0．
故其中值为负数的是②④．
故选D．

6．下列各数在数轴上对应的点到原点的距离最近的是（　　）

A．﹣2 B．﹣1 C．2 D．3

【答案】B

【分析】

根据到原点距离最近的点就是绝对值最小的数，对每个数作出判断，即可求出答案．

【详解】

∵﹣2到原点的距离是2个长度单位，

﹣1到原点的距离是1个长度单位，

2到原点的距离是2个长度单位，

3到原点的距离是3个长度单位，

∴到原点的距离最近的是﹣1．

故选：B．

7．在数轴上，点A，B分别表示数a，2，点A在原点O的左侧，将点A向右平移2个单位长度，得到点C．若CO＝BO，则a的值为（     ）

A．﹣4 B．﹣3 C．﹣2 D．﹣1

【答案】A

【分析】

根据CO＝BO可得点C表示的数为﹣2，据此可得a＝﹣2﹣2＝﹣4．

【详解】

解：∵点A在原点O的左侧，将点A向右平移2个单位长度，得到点C，

∴点C在原点的左侧，且CO＝BO，

∴点C表示的数为﹣2，

∴a＝﹣2﹣2＝﹣4．

故选：A．

8．在数轴上，点A，B表示的数互为相反数，若点A在点B的左侧，且AB=2，则点A，点B表示的数分别是（    ）

A．-， B．，- C．0，2 D．-2，2

【答案】A

【分析】

根据相反数的定义即可求解．

【详解】

解：由A、B表示的数互为相反数，且AB=2，点A在点B的左侧，得
点A，点B表示的数分别是-，．
故选：A．

9．实数在数轴上对应的点的位置如下图所示，正确的结论是(　　)

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

观察数轴，找出a、b、c、d四个数的大概范围，再逐一分析四个选项的正误，即可得出结论．

【详解】

解：A、∵-5＜a＜-4，∴错误；

B、∵-5＜a＜-4，d=4，∴正确；

C、∵-2＜b＜-1，0＜c＜1，∴，∴错误；

D、∵b＜0，d＞0，∴bd＜0，∴错误．

故选：B．

10．实数在数轴上的对应点的位置如图所示，若，则下列结论中错误的是（   ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

根据，确定原点的位置，根据实数与数轴即可解答．

【详解】

解：，
原点在a，b的中间，
如图，

由图可得：，，，，，
故选项A错误，
故选A．

二、填空题

11．若，则_______．

【答案】3

【分析】

由求解的值，再代入代数式求值即可．

【详解】

解： ，

故答案为：

12．小云计划户外徒步锻炼，每天有“低强度”“高强度”“休息”三种方案，下表对应了每天不同方案的徒步距离（单位：）．若选择“高强度”要求前一天必须“休息”（第一天可选择“高强度”）．则小云5天户外徒步锻炼的最远距离为_______．

【答案】36

【分析】

如果第二天和第三天选择低强度，则距离为6+6=12（km），而如果第三天选择高强度的话，距离为15km，所以可得第二天休息，第三天选择高强度，如果第四天和第五天选择低强度，则距离为5+4=9（km），而如果第五天选择高强度的话，距离为8km，所以可得第四天和第五天选择低强度，为保持最远距离，则第一天为高强度，据此可得答案．

【详解】

解：如果第二天和第三天选择低强度，则距离为6+6=12（km），

如果第三天选择高强度，则第二天休息，则距离为15km，

∵12<15，

∴第二天休息，第三天选择高强度，

如果第四天和第五天选择低强度，则距离为5+4=9（km），

如果第五天选择高强度，则第四天休息，则距离为8km，

∵9>8，

∴第四天和第五天选择低强度，

为保持最远距离，则第一天为高强度，

∴最远距离为12+0+15+5+4=36（km）

故答案为36．

13．中国人最先使用负数，数学家刘徽在“正负数”的注文中指出，可将算筹（小棍形状的记数工具）正放表示正数，斜放表示负数．根据刘微的这种表示法，图①表示算式，则图②表示算式__________．

【答案】

【分析】

根据题意列出算式，利用有理数加法法则计算可得．

【详解】

解：根据题意知，图②表示的算式为．

故答案为：．

14．已知且，写出一组符合条件的值__________．

【答案】x= -2，y=1（答案不唯一）

【分析】

根据已知条件写出一组值即可 ．

【详解】

解：∵-2+1=1，且|-2|>1，

∴x=-2，y=1为符合条件的一组值，

∵除了x=-2，y=1外，还有其他满足条件的值，

故答案为x= -2，y=1（答案不唯一）．

15．的相反数是_____．

【答案】-3

【分析】

此题依据相反数的概念求值．相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0．

【详解】

解： 相反数只是符号不同，故3的相反数为−3−3.

三、解答题

16．计算：．

【答案】5

【分析】

代入45°角的余弦函数值，结合“负整数指数幂和零指数幂的意义及绝对值的意义”进行计算即可.

【详解】

解：原式

=4+-+1

．

17．先化简，再求值：，其中.

【答案】，22

【分析】

原式去括号合并得到最简结果，利用非负数的性质求出x与y的值，代入计算即可求出值．

【详解】

原式

.

因为，

所以，.

把，代入原式，

原式

.

18．计算：

【答案】

【分析】

根据绝对值，零次幂，特殊角的三角函数值，负整数指数幂进行运算即可

【详解】

原式=．