考点20圆（解析版）-2022年数学中考一轮复习考点透析（北京版）

考点20圆

考点总结

一、圆的有关概念及其对称性

1．圆的定义：

圆是平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形．这个定点叫做圆心，定长叫做半径．

2．圆的对称性：

(1)圆的轴对称性：圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴；

(2)圆的中心对称性：圆是以圆心为对称中心的中心对称图形．

二、垂径定理

垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．

平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．

三、圆心角、弧、弦之间的关系

1．定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．

2．推论：同圆或等圆中：

(1)两个圆心角相等；

(2)两条弧相等；

(3)两条弦相等．三项中有一项成立，则其余对应的两项也成立．

四、圆心角与圆周角

1．定义：顶点在圆心上的角叫圆心角；顶点在圆上，角的两边和圆都相交的角叫圆周角．

2．性质：

(1)圆心角的度数等于它所对的弧的度数．

(2)一条弧所对的圆周角的度数等于它所对圆心角的度数的一半．

(3)同弧或等弧所对的圆周角相等，同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧相等．[来源:]

(4)半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．

五、点与圆的位置关系

1．点和圆的位置关系：点在圆外，点在圆上，点在圆内．[来源:学*科*网Z*X*X*K]

2．点和圆的位置关系的判断：如果圆的半径是r，点到圆心的距离为d。

d＞r点在圆外；

d＝r点在圆上；

d＜r点在圆内.

3．过三点的圆

(1)经过三点的圆：

①经过在同一直线上的三点不能作圆；

②经过不在同一直线上的三点，有且只有一个圆．

(2)三角形的外心：经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆；外接圆的圆心叫做三角形的外心．[

六、直线与圆的位置关系

1．直线和圆的位置关系：相离、相切、相交．

2．概念：

(1)直线和圆有两个交点，这时我们就说这条直线和圆相交；

(2)直线和圆有唯一公共点，这时我们说这条直线和圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点；(3)直线和圆没有公共点，这时我们说这条直线和圆相离．

3．直线和圆的位置关系的判断：如果圆的半径是r，直线l到圆心的距离为d，那么直线l和⊙O相交d＜r；直线l和⊙O相切d＝r；直线l和⊙O相离d＞r.[来源:ZXXK][来源:]

七、切线的判定和性质

1．切线的判定方法：

(1)经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；

(2)到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线．

2．切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．

八、三角形(多边形)的内切圆

1．与三角形(多边形)内切圆有关的一些概念：

和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心．

2．三角形的内心的性质：

三角形的内心是三角形三条角平分线的交点，它到三边的距离相等，且在三角形内部．

九、圆与圆的位置关系

1．概念：

①两圆外离：两个圆没有公共点，并且一个圆上的点都在另一个圆的外部；

②两圆外切：两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点以外，一个圆上的点都在另一个圆的外部；③两圆相交：两个圆有两个公共点；

④两圆内切：两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点以外，一个圆上的点都在另一个圆的内部；⑤两圆内含：两个圆没有公共点，并且一个圆上的点都在另一个圆的内部．

2．圆与圆位置关系的判断：设两圆半径分别为R和r，圆心距为O1O2＝D．

两圆外离d＞R＋r；

两圆外切d＝R＋r；

两圆相交R－r＜d＜R＋r(R≥r)；

两圆内切d＝R－r(R＞r)；

两圆内含0≤d＜R－r(R＞r)．

十、弧长、扇形面积的计算

1．如果弧长为l，圆心角的度数为n°，圆的半径为r，那么弧长的计算公式为l＝.[来源:]

2．由组成圆心角的两条半径和圆心角所对弧围成的图形叫做扇形．若扇形的圆心角为n°，所在圆半径为r，弧长为l，面积为S，则S＝或S＝lr.

十一、圆柱和圆锥

1．圆柱的侧面展开图是矩形，这个矩形的长等于圆柱的底面圆的周长，宽等于圆柱的高h.如果圆柱的底面半径是r，则S侧＝2πrh，S全＝2πr2＋2πrh.

2．圆锥的轴截面与侧面展开图：轴截面为由母线、底面直径组成的等腰三角形．圆锥的侧面展开图是一个扇形，扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．

因此圆锥的侧面积：S侧＝l·2πr＝πrl(l为母线长，r为底面圆半径)；

圆锥的全面积：S全＝S侧＋S底＝πrl＋πr2.

十二、不规则图形面积的计算

求与圆有关的不规则图形的面积时，最基本的思想就是转化思想，即把所求的不规则的图形的面积转化为规则图形的面积．常用的方法有：

1．直接用公式求解．

2．将所求面积分割后，利用规则图形的面积相互加减求解．

3．将阴影中某些图形等积变形后移位，重组成规则图形求解．

4．将所求面积分割后，利用旋转将部分阴影图形移位后，组成规则图形求解．

5．将阴影图形看成是一些基本图形覆盖而成的重叠部分，用整体和差法求解．[来源:]

真题演练

一、单选题

1．如图，是的直径，点，在上，点是的中点，过点画的切线，交的延长线于点，连接．若，则的度数为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

根据切线的性质得到BA⊥AD，根据直角三角形的性质求出∠B，根据圆周角定理得到∠ACB=90°，进而求出∠BAC，根据垂径定理得到BA⊥EC，进而得出答案．

【详解】

解：∵AD是⊙O的切线，

∴BA⊥AD，

∵∠ADB=58.5°，

∴∠B=90°-∠ADB=31.5°，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB=90°，

∴∠BAC=90°-∠B=58.5°，

∵点A是弧EC的中点，

∴BA⊥EC，

∴∠ACE=90°-∠BAC=31.5°，

故选：B．

2．如图，A，B，C是⊙O上的三个点，若∠B＝32°，则∠AOC＝（　　）

A．64° B．58° C．68° D．55°

【答案】A

【分析】

利用圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．即可解答．

【详解】

解：，

故选：A．

3．如图，是的外接圆，，若的半径为2，则弦的长为（   ）

A．4 B． C．3 D．

【答案】B

【分析】

过点作，交于点，根据圆周角定理以及垂径定理可得结果．

【详解】

解：过点作，交于点，

是的外接圆，，

，

又，，

，，

在中，，

，，

，

故选：．

4．如图，正方形中，分别以，为圆心，以正方形的边长为半径画弧，形成树叶形（阴影部分）图案，则树叶形图案的面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

由图可知，树叶形图案的面积是两个圆心角为90°，且半径为a的扇形的面积与正方形的面积的差，可据此求出树叶形图案的面积．

【详解】

解：树叶形图案的面积为：

．

故选：B．

5．一个圆锥的侧面展开图是圆心角为120°，半径为3的扇形，这个圆锥的底面圆的半径为（    ）

A． B．3 C．2 D．1

【答案】D

【分析】

根据圆锥的侧面展开图扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长即可解答．

【详解】

设此圆锥的底面半径为r，

∴2πr=，

r=1．

故选D．

6．如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆．若⊙O的半径为5，则半径OA，OB与围成的扇形的面积是（    ）

A．

B．

C．

D．

【答案】B

【分析】

先求出圆心角∠AOB的度数，再根据扇形面积公式即可求解．

【详解】

∵⊙O是正五边形ABCDE的外接圆．

∴∠AOB=

∴OB与围成的扇形的面积是

故选B．

7．在平面直角坐标系中，⊙O的半径为2，点A（1，）与⊙O的位置关系是（    ）

A．在⊙O上 B．在⊙O内 C．在⊙O外 D．不能确定

【答案】A

【分析】

根据点A的坐标，求出OA=2，根据点与圆的位置关系即可做出判断．

【详解】

解：∵点A的坐标为（1，），

∴由勾股定理可得：OA=，

又∵⊙O的半径为2，

∴点A在⊙O上．

故选：A．

8．半径为，圆心角为的扇形的面积等于（ ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

利用扇形的面积公式 即可求出面积．

【详解】

扇形的面积为：

故选：B

9．如图，以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB是小圆的切线，点P为切点．若大圆半径为2，小圆半径为1，则AB的长为（　　）

A．2 B．2 C． D．2

【答案】A

【分析】

连接OA、OB、OP，OP即为小圆半径，易证△OAP≌△OBP，通过构建直角三角形，可解答．

【详解】

解：连接OA、OB、OP，OP即为小圆半径，

∵OA=OB，∠OAB=∠OBA，∠OPA=∠OPB=90°，

∴△OAP≌△OBP，

∴在直角△OPA中，OA=2，OP=1，

∴AP=,

∴AB=2．

故选A．

10．如图，是直径，点C、D将分成相等的三段弧，点P在上．已知点Q在上且，则点Q所在的弧是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

根据圆周角定理和弧角关系求解．

【详解】

解：如图，

∵AB为⊙O的直径，P在上，

∴∠APB=90°，

∵∠APQ=115°，∠APQ=∠APB+∠BPQ，

∴∠BPQ=25°，

∴∠BOQ=2∠BPQ=50°，

∵点C、D将分成相等的三段弧，

∴，

∴∠BOD=，

∵∠BOQ<∠BOD，

∴Q在上，

故选D．

二、填空题

11．如图所示的网格是正方形网格，，，，是网格线交点，恰好经过点，，，OD为与网格线重合的一条半径，则∠ABC 与∠AOD大小关系为：∠ABC ____∠AOD（填“＞”，“＝”或“＜”）．

【答案】=

【分析】

分别连接、；结合题意，根据圆周角和圆心角的性质，得；根据垂径定理，得，从而得，即可得到答案．

【详解】

如图，分别连接、

∵恰好经过点，，

∴

∵OD为与网格线重合的一条半径

∴

∴

∴

∴

故答案为：＝．

12．如图，△ABC内接于⊙O，∠ACB＝50°，则∠ABO=_______°．

【答案】40

【分析】

，在中求解即可．

【详解】

，∠ACB＝50°

∴

又∵在中，OA=OB，

∴．

故答案为：40

13．若两圆的半径分别是1和3，且两圆的位置关系是相切，则圆心距为_________．

【答案】2或4

【分析】

两圆相切可分为内切和外切，所以根据两种情况分别计算出圆心距即可．

【详解】

内切时圆心距为：3-1=2；外切时圆心距为：3+1=4；

故答案为：2或4

14．如图，⊙O是△ABC的外接圆，半径是2，∠BAC＝60°，则的长是________．

【答案】

【分析】

连接OC、OB，根据∠BAC=60°，则∠BOC=120°，则的长度是圆周长的三分之一．

【详解】

如图，连接OC、OB，

∵∠BAC=60°，

∴∠BOC=120°，

∵半径为2，

∴长度为=，

故填：．

15．如下是小华设计的“作的角平分线”的尺规作图过程，请帮助小华完成尺规作图并填空（保留作图痕迹）．

【答案】见解析；①90；②直径所对的圆周角是直角；③

【分析】

根据直径所对的圆周角是直角，和同弧所对的圆周角相等即可得出结论

【详解】

解：补全的图形如图1所示．

①∵OQ是直径

∴∠OPQ=90°

故答案为：90；               

②故答案为：直径所对的圆周角是直角；        

③∵CE⊥PQ

∴由垂径定理得：． 

故答案为：

三、解答题

16．如图，是的外接圆，是的直径，于点．

（1）求证：；

（2）连接并延长，交于点，交于点，连接．若的半径为5，，求和的长．

【答案】（1）见详解；（2），

【分析】

（1）由题意易得，然后问题可求证；

（2）由题意可先作图，由（1）可得点E为BC的中点，则有，进而可得，然后根据相似三角形的性质可进行求解．

【详解】

（1）证明：∵是的直径，，

∴，

∴；

（2）解：由题意可得如图所示：

由（1）可得点E为BC的中点，

∵点O是BG的中点，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

∵的半径为5，

∴，

∴，

∴．

17．对于平面直角坐标系中的一点和，给出如下的定义：若上存在一个点，连接PA，将射线PA绕点P顺时针旋转90°得到射线PM，若射线PM与相交于点B，则称为的直角点．

（1）当的半径为时，

①在点、、中，的直角点是    ．

②已知直线：，若直线上存在的直角点，求的取值范围．

（2）若，的半径为，直线 上存在的直角点，直接写出的取值范围．

【答案】（1）①D，E；②；（2）

【分析】

（1）①如图，由定义可得：都在上，且 再分别画出图形，即可得到答案；②由定义可知，如图的直角点，分布在以为圆心以为半径的圆上或圆内，结合①可得直线的两个极限位置，从而可得答案；

（2）先求解与轴的交点坐标，再求解 再分两种情况讨论：情况1：q＞0时，结合①画出图形求解，再利用对称性得到．情况2：q＜0时， ，从而可得答案．

【详解】

解：（1）①如图，由定义可得：都在上，且

当重合时，则，此时

故是的直角点，

如图，同理可得；是的直角点，

当时，＜

不是的直角点，

故答案为：D，E；

②由定义可知，如图的直角点，分布在以为圆心以为半径的圆上或圆内

由①可得：当直线过时，

当直线过时，

所以；

（2） ，

当，则 当 则

所以直线与轴交点为，与轴的交点

情况1：q＞0时，

如图（半径为）与直线相切时，

∵，，

∴，

∴，

∴．

情况2：q＜0时，根据对称性，，

∴的取值范围为

18．如图，AB是直径，点C是上一点，过点C作的切线CG，过点B作CG的垂线，垂足为点D，交于点E，连接CB．

（1）求证：CB平分∠ABD；

（2）若，BC＝5，求CE长．

【答案】（1）见解析；（2）

【分析】

（1）解：连结OC．由CG为的切线，可得∠OCD＝90° ，由ED⊥CG，可得OC∥ED．由OC＝OB，可证∠1＝∠2；

（2）连接AC，AB为的直径，可得∠1＋∠A＝90° ，由ED⊥CG，可得∠2＋∠3＝90°，进而可得∠3＝∠E，由BC＝5，可求BD=Bcsin∠3=3，由勾股定理CD＝，即可求出．

【详解】

（1）解：连结OC．

∵CG为的切线，

∴∠OCD＝90°

∵ED⊥CG，

∴∠EDC＝90°．

∴OC∥ED．

∴∠OCB＝∠2.

∵OC＝OB，

∴∠1＝∠OCB，

∴∠1＝∠2，

∴CB平分∠OBD ；

（2）连接AC，

∵AB为的直径，

∴∠ACB=90°，

∴∠1＋∠A＝90° ，

∵ED⊥CG，

∴∠2＋∠3＝90°，

∵∠1＝∠2，

∴∠A＝∠3，

∵∠E＝∠A，

∴∠3＝∠E，

∴，

∵BC＝5，

∴BD=Bcsin∠3＝5×=3，

∴CD＝，

∴，

∴．