考点13三角形及其性质（解析版）-2022年数学中考一轮复习考点透析（苏科版）

这是一份考点13三角形及其性质（解析版）-2022年数学中考一轮复习考点透析（苏科版），共11页。试卷主要包含了三角形中的主要线段，三角形的三边关系定理及推论，三角形的内角和定理及推论等内容，欢迎下载使用。
考点13三角形及其性质考点总结三角形基础1、三角形中的主要线段（1）三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线。（2）在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。（3）从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）。2、三角形的三边关系定理及推论（1）三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边。推论：三角形的两边之差小于第三边。（2）三角形三边关系定理及推论的作用：①判断三条已知线段能否组成三角形②当已知两边时，可确定第三边的范围。③证明线段不等关系。3、三角形的内角和定理及推论三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°。推论：①直角三角形的两个锐角互余。②三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和。③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。注：在同一个三角形中：等角对等边；等边对等角；大角对大边；大边对大角。 真题演练一．选择题（共10小题）1．（2021•无锡）在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，点P是△ABC所在平面内一点，则PA2+PB2+PC2取得最小值时，下列结论正确的是（　　）A．点P是△ABC三边垂直平分线的交点 B．点P是△ABC三条内角平分线的交点 C．点P是△ABC三条高的交点 D．点P是△ABC三条中线的交点【分析】过P作PD⊥AC于D，过P作PE⊥AB于E，延长CP交AB于M，延长BP交AC于N，设AD＝PE＝x，AE＝DP＝y，则AP2+CP2+BP2＝3（x）2+3（y﹣2）2，当x，y＝2时，AP2+CP2+BP2的值最小，此时AD＝PE，AE＝PD＝2，由，得AM＝3，M是AB的中点，同理可得ANAC，N为AC中点，即P是△ABC三条中线的交点．【解答】解：过P作PD⊥AC于D，过P作PE⊥AB于E，延长CP交AB于M，延长BP交AC于N，如图：∵∠A＝90°，PD⊥AC，PE⊥AB，∴四边形AEPD是矩形，设AD＝PE＝x，AE＝DP＝y，Rt△AEP中，AP2＝x2+y2，Rt△CDP中，CP2＝（8﹣x）2+y2，Rt△BEP中，BP2＝x2+（6﹣y）2，∴AP2+CP2+BP2＝x2+y2+（8﹣x）2+y2+x2+（6﹣y）2＝3x2﹣16x+3y2﹣12y+100＝3（x）2+3（y﹣2）2，∴x，y＝2时，AP2+CP2+BP2的值最小，此时AD＝PE，AE＝PD＝2，∵∠A＝90°，PD⊥AC，∴PD∥AB，∴，即，∴AM＝3，∴AMAB，即M是AB的中点，同理可得ANAC，N为AC中点，∴P是△ABC三条中线的交点，故选：D．2．（2021•南京）下列长度的三条线段与长度为5的线段首尾依次相连能组成四边形的是（　　）A．1，1，1 B．1，1，8 C．1，2，2 D．2，2，2【分析】根据若四条线段能组成四边形，则三条较短边的和必大于最长边逐项判定即可．【解答】解：A、∵1+1+1＝3＜5，∴此三条线段与长度为5的线段不能组成四边形，故不符合题意；B、∵1+1+5＝7＜8，∴此三条线段与长度为5的线段不能组成四边形，故不符合题意；C、∵1+2+2＝5，∴此三条线段与长度为5的线段不能组成四边形，故不符合题意；D、∵2+2+2＝6＞5，∴此三条线段与长度为5的线段能组成四边形，故符合题意；故选：D．3．（2021•宿迁）如图，在△ABC中，∠A＝70°，∠C＝30°，BD平分∠ABC交AC于点D，DE∥AB，交BC于点E，则∠BDE的度数是（　　）A．30° B．40° C．50° D．60°【分析】根据三角形内角和定理求出∠ABC，根据角平分线定义求出∠ABD，根据平行线的性质得出∠BDE＝∠ABD即可．【解答】解：在△ABC中，∠A＝70°，∠C＝30°，∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝80°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD∠ABC＝40°，∵DE∥AB，∴∠BDE＝∠ABD＝40°，故选：B．4．（2021•盐城）将一副三角板按如图方式重叠，则∠1的度数为（　　）A．45° B．60° C．75° D．105°【分析】直接利用一副三角板的内角度数，再结合三角形外角的性质得出答案．【解答】解：根据三角板的度数知，∠ABC＝∠ACB＝45°，∠DBC＝30°，∴∠1＝∠DBC+∠ACB＝30°+45°＝75°，故选：C．5．（2020•徐州）若一个三角形的两边长分别为3cm、6cm，则它的第三边的长可能是（　　）A．2cm B．3cm C．6cm D．9cm【分析】首先设第三边长为xcm，根据三角形的三边关系可得6﹣3＜x＜6+3，再解不等式即可．【解答】解：设第三边长为xcm，根据三角形的三边关系可得：6﹣3＜x＜6+3，解得：3＜x＜9，故选：C．6．（2020•宿迁）在△ABC中，AB＝1，BC，下列选项中，可以作为AC长度的是（　　）A．2 B．4 C．5 D．6【分析】根据三角形三边关系，两边之差小于第三边，两边之和大于第三边，可以得到AC的长度可以取得的数值的取值范围，从而可以解答本题．【解答】解：∵在△ABC中，AB＝1，BC，∴1＜AC1，∵1＜21，41，51，61，∴AC的长度可以是2，故选项A正确，选项B、C、D不正确；故选：A．7．（2021•镇江一模）我们知道，△ABC的重心就是三条中线AD、BE、CF的交点G，如图1，其中，如图2，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝8，将Rt△ABC绕其重心G旋转，A、B、C的对应点分别A1、B1、C1，与CA1的最大值最接近的是（　　）A．5.5 B．6.5 C．7.5 D．8.5【分析】连接AG并延长交BC于点E，然后利用重心的性质和已知条件求出AG的长度和CG的长度．再以点G为圆心，OG为半径作圆，连接CG并延长交⊙G与点F，此时CF的长度即为CA1的最大值．【解答】解：连接AG并延长交BC于点E，∵点G为△ABC的重心，BC＝8，∴CE＝4，AG：AE＝2：3，∴AE4，∴AG，以点G为圆心，OG为半径作圆，连接CG并延长交⊙G与点F，交AB于点H，此时CF的长即为CA1的最大值，∵AC＝4，BC＝8，∴AB＝4，∵点G是△ABC的重心，∠ACB＝90°，∴CHAB＝2，∴CGCH2，∴CF＝CG+GF＝CG+GA6.75，故选：B．8．（2021•泰兴市二模）如图，△ABC为边长为1个单位长度的正方形网格中的格点三角形，则其重心在（　　）A．线段DE上 B．线段EF上 C．线段BE上 D．线段FG上【分析】根据三角形的重心是三角形中线的交点即可判断重心的位置．【解答】解：∵AE＝CE，∴BE是△ABC的中线，∵三角形的重心是三角形中线的交点，∴它的重心在BE上，故选：C．9．（2021•新吴区二模）已知：如图，点D是等腰直角△ABC的重心，其中∠ACB＝90°，将线段CD绕点C逆时针旋转90°得到线段CE，连接DE，若△ABC的周长为6，则△DCE的周长为（　　）A．2 B．2 C．4 D．3【分析】延长CD交AB于F．如图，利用等腰直角三角形的性质和重心的性质得到CF平分AB，CD＝2DF，则CFABCA，所以CDCA，再利用旋转的性质可判断△CDE为等腰直角三角形，于是可判定△CDE∽△CAB，然后根据相似三角形的性质计算△CDE的周长．【解答】解：延长CD交AB于F．如图，∵点D是等腰直角△ABC的重心，∴CF平分AB，CD＝2DF，∴CFAB•CACA，∴CDCFCA，∵线段CD绕点C逆时针旋转90°得到线段CE，∴CD＝CE，∠DCE＝90°，∴△CDE为等腰直角三角形，∴△CDE∽△CAB，∴△CDE的周长：△CAB的周长＝CD：CA，∴△CDE的周长6＝2．故选：A．10．（2021•海安市模拟）下列长度的三条线段，不能组成三角形的是（　　）A．3，7，5 B．4，8，5 C．5，12，7 D．7，13，8【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析．【解答】解：A、3+5＞7，能构成三角形，不合题意；B、4+5＞8，能构成三角形，不合题意；C、5+7＝12，不能构成三角形，符合题意；D、7+8＞13，能构成三角形，不合题意．故选：C．二．填空题（共5小题）11．（2021•泰州）如图，四边形ABCD中，AB＝CD＝4，且AB与CD不平行，P、M、N分别是AD、BD、AC的中点，设△PMN的面积为S，则S的范围是 　0＜S≤2　．【分析】有中点一般思考中线或者中位线，本题借助三角形中位线求解．【解答】解：作ME⊥PN，如图所示，∵P，M，N分别是AD，BD，AC中点，∴PMAB＝2，PNCD＝2，∴S△PMNME，∵AB与CD不平行，∴M，N不能重合，∴ME＞0∵ME≤MP＝2∴0＜S△≤2．故答案是：0＜S≤2．12．（2021•淮安）一个三角形的两边长分别是1和4，若第三边的长为偶数，则第三边的长是 　4　．【分析】利用三角形三边关系定理，先确定第三边的范围，再根据第三边是偶数这一条件，求得第三边的值．【解答】解：设第三边为a，根据三角形的三边关系知，4﹣1＜a＜4+1，即3＜a＜5，又∵第三边的长是偶数，∴a为4．故答案为：4．13．（2021•常州）如图，在△ABC中，点D、E分别在BC、AC上，∠B＝40°，∠C＝60°，若DE∥AB，则∠AED＝　100　°．【分析】利用平行线的性质以及三角形的内角和定理解决问题即可．【解答】解：在△ABC中，∠BAC+∠B+∠C＝180°，∵∠B＝40°，∠C＝60°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣40°﹣60°＝80°，∵DE∥AB，∴∠A+∠AED＝180°，∴∠AED＝180°﹣80°＝100°．故答案为：100．14．（2020•泰州）如图，将分别含有30°、45°角的一副三角板重叠，使直角顶点重合，若两直角重叠形成的角为65°，则图中角α的度数为 　140°　．【分析】根据三角形外角性质求出求出∠DFB，再根据三角形外角性质求出∠α即可．【解答】解：如图，∵∠B＝30°，∠DCB＝65°，∴∠DFB＝∠B+∠DCB＝30°+65°＝95°，∴∠α＝∠D+∠DFB＝45°+95°＝140°，故答案为：140°．15．（2020•溧阳市一模）在△ABC中，AC＝5，AB＝6，则△ABC面积的最大值为　15　．【分析】画出图形，设BD为AC边上的高，利用锐角三角函数表示出BD的长为6sin∠A，再利用三角形的面积公式表示出△ABC的面积为5×6sin∠A，得到当∠A＝90°时面积最大，从而求值．【解答】解：如图，△ABC中，AB＝6，AC＝5，BD是AC边上的高，在Rt△ABD中，∵sin∠A，∴BD＝6sin∠A．∴．当sin∠A最大时，即∠A＝90°时，△ABC的面积最大，最大面积为5×6×1＝15．故答案为：15．