考点20圆的基本性质（解析版）-2022年数学中考一轮复习考点透析（苏科版）

这是一份考点20圆的基本性质（解析版）-2022年数学中考一轮复习考点透析（苏科版），共22页。试卷主要包含了圆的基本概念，垂径定理及其推论，圆的对称性等内容，欢迎下载使用。
考点20圆的基本性质
考点总结
一、圆的基本概念
1、圆的定义：在一个个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。

2、弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。（如图中的AB）

3.直径：经过圆心的弦叫做直径。（如图中的CD）
直径等于半径的2倍。
4.半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。
5.弧、优弧、劣弧
圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。
弧用符号“⌒”表示，以A，B为端点的弧记作“”，读作“圆弧AB”或“弧AB”。
大于半圆的弧叫做优弧（多用三个字母表示）；小于半圆的弧叫做劣弧（多用两个字母表示）
二、垂径定理及其推论
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。
推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。
（3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。
推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。
三、圆的对称性
1、圆的轴对称性
圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。
2、圆的中心对称性
圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。
7、弦心距
从圆心到弦的距离叫做弦心距。
四、弧、弦、弦心距、圆心角、圆周角之间的关系定理
1、圆心角
顶点在圆心的角叫做圆心角。
2、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦想等，所对的弦的弦心距相等。
推论：在同圆或等圆中，如果两个圆的圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
3、圆周角
顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。
4、圆周角定理
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。
推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。
推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

真题演练
一．选择题（共10小题）
1．（2021•常州）如图，BC是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，若∠AOC＝60°，则∠OAB的度数是（　　）

A．20° B．25° C．30° D．35°
【分析】根据圆周角定理直接来求∠B的度数，进而解答即可．
【解答】解：∵∠AOC＝60°，
∴∠B=12∠AOC＝30°，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠B＝30°，
故选：C．
2．（2020•无锡）如图，CD是⊙O的直径，弦DE∥AO，若∠D的度数为60°，则∠C的度数为（　　）

A．20° B．30° C．40° D．50°
【分析】根据平行线的性质得出∠AOD＝∠D，再根据圆周角定理求出答案即可．
【解答】解：∵弦DE∥AO，∠D的度数为60°，
∴∠AOD＝∠D＝60°，
∴∠C=12∠AOD＝30°（一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半），
故选：B．
3．（2020•镇江）如图，AB是半圆的直径，C、D是半圆上的两点，∠ADC＝106°，则∠CAB等于（　　）

A．10° B．14° C．16° D．26°
【分析】连接BD，如图，根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，则可计算出∠BDC＝16°，然后根据圆周角定理得到∠CAB的度数．
【解答】解：连接BD，如图，
∵AB是半圆的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BDC＝∠ADC﹣∠ADB＝106°﹣90°＝16°，
∴∠CAB＝∠BDC＝16°．
故选：C．

4．（2020•扬州）如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A、B、C都在格点上，以AB为直径的圆经过点C、D，则sin∠ADC的值为（　　）

A．21313 B．31313 C．23 D．32
【分析】首先根据圆周角定理的推论可知，∠ADC＝∠ABC，然后在Rt△ACB中，根据锐角三角函数的定义求出∠ABC的正弦值．
【解答】解：如图，连接AC、BC．
∵∠ADC和∠ABC所对的弧长都是AC，
∴根据圆周角定理的推论知，∠ADC＝∠ABC．
在Rt△ACB中，根据锐角三角函数的定义知，
sin∠ABC=ACAB，
∵AC＝2，BC＝3，
∴AB=AC2+BC2=13，
∴sin∠ABC=213=21313，
∴sin∠ADC=21313．
故选：A．

5．（2020•淮安）如图，点A、B、C在⊙O上，∠ACB＝54°，则∠ABO的度数是（　　）

A．54° B．27° C．36° D．108°
【分析】根据圆周角定理求出∠AOB，根据等腰三角形的性质求出∠ABO＝∠BAO，根据三角形内角和定理求出即可．
【解答】解：∵∠ACB＝54°，
∴圆心角∠AOB＝2∠ACB＝108°，
∵OB＝OA，
∴∠ABO＝∠BAO=12×（180°﹣∠AOB）＝36°，
故选：C．
6．（2021•新吴区二模）P为⊙O内一点，OP＝3，⊙O半径为5，则经过P点的最短弦长为（　　）
A．5 B．6 C．8 D．10
【分析】过P作AB⊥OP，交⊙O于A、B，则线段AB是过P点的最短的弦，连接OA，根据勾股定理求出AP，根据垂径定理求出BP＝AP＝4，再求出答案即可．
【解答】解：
如图，过P作AB⊥OP，交⊙O于A、B，则线段AB是过P点的最短的弦，连接OA，
则∠OPA＝90°，
由勾股定理得：AP=OA2−AP2=52−32=4，
∵OP⊥AB，OP过圆心O，
∴BP＝AP＝4，
即AB＝4+4＝8，
故选：C．
7．（2021•盐都区三模）⊙O的直径为20，圆上两点M、N距离为16，⊙O上一动点A到直线MN距离的最大值为（　　）
A．16 B．18 C．24 D．32
【分析】如图，过O点作OB⊥MN于B，连接OM，根据垂径定理和勾股定理求得OB，即可求得点A到直线MN距离的最大值．
【解答】解：如图，过O点作OB⊥MN于B，连接OM，
∴MB＝NB，
∵MN＝16，
∴MB＝8，
∵OM＝10，
∴OB=102−82=6，
∴点A到直线MN距离的最大值为10+6＝16，
故选：A．

8．（2021•锡山区一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙O与x轴的正半轴交于点A，点B是⊙O上一动点，点C为弦AB的中点，直线y=34x﹣3与x轴、y轴分别交于点D、E，则△CDE面积的最小值为（　　）

A．3.5 B．2.5 C．2 D．1.2
【分析】连接OC，由垂径定理得OC⊥AB，再由圆周角定理得点C在以OA为直径的圆上（点O、A除外），以OA为直角作⊙P，过P点作直线PH⊥DE于H，交⊙P于M、N，利用一次函数解析式确定E（0，﹣3），D（4，0），则DE＝5，然后证△DPH∽△DEO，利用相似比求出PH的长，得MH、NH的长，即可求解．
【解答】解：连接OC，如图，
∵点C为弦AB的中点，
∴OC⊥AB，
∴∠ACO＝90°，
∴点C在以OA为直径的圆上（点O、A除外），
以OA为直径作⊙P，过P点作直线PH⊥DE于H，交⊙P于M、N，
当x＝0时，y=34x﹣3＝﹣3，则E（0，﹣3），
当y＝0时，34x﹣3＝0，
解得x＝4，则D（4，0），
∴OD＝4，
∴DE=32+42=5，
∵A（2，0），
∴P（1，0），
∴OP＝1，
∴PD＝OD﹣OP＝3，
∵∠PDH＝∠EDO，∠PHD＝∠EOD，
∴△DPH∽△DEO，
∴PH：OE＝DP：DE，
即PH：3＝3：5，
解得PH=95，
∴MH＝PH+1=145，NH＝PH﹣1=45，
∴S△NED=12×5×45=2，S△MED=12×5×245=7，
∴△CDE面积的最小值为2．
故选：C．

9．（2021•常州模拟）如图，AB为⊙O的直径，CD为⊙O的弦，CD⊥AB，垂足为E，OE＝3，CD＝8，AB＝（　　）

A．27 B．10 C．7 D．5
【分析】连接OC，根据垂径定理求出CE，根据勾股定理求出OC，即可得出答案．
【解答】解：∵CD⊥AB且AB为直径，CD＝8，
∴CE=DE=12CD=4，
连接CO，

∵在 Rt△COE中，OE＝3，CE＝4，
∴CO=OE2+CE2=5，
∴AB＝2CO＝10，
故选：B．
10．（2021•武进区模拟）如图，⊙O的弦AB＝6，M是AB上任意一点，且OM最小值为4，则⊙O的半径为（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】当OM⊥AB时值最小．根据垂径定理和勾股定理求解．
【解答】解：根据直线外一点到直线的线段中，垂线段最短，知：当OM⊥AB时，为最小值4，
连接OA，
根据垂径定理，得：BM=12AB＝3，
根据勾股定理，得：OA=32+42=5，
即⊙O的半径为5．
故选：D．
二．填空题（共5小题）
11．（2021•南京）如图，AB是⊙O的弦，C是AB的中点，OC交AB于点D．若AB＝8cm，CD＝2cm，则⊙O的半径为 　5　cm．

【分析】先根据圆心角、弧、弦的关系和垂径定理得出各线段之间的关系，再利用勾股定理求解出半径即可．
【解答】解：如图，连接OA，

∵C是AB的中点，
∴D是弦AB的中点，
∴OC⊥AB，AD＝BD＝4，
∵OA＝OC，CD＝2，
∴OD＝OC﹣CD＝OA﹣CD，
在Rt△OAD中，
OA2＝AD2+OD2，即OA2＝16+（OA﹣2）2，
解得OA＝5，
故答案为：5．
12．（2021•淮安）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠CAB＝55°，则∠D的度数是 　35°　．

【分析】根据直径所对的圆周角是直角推出∠ACB＝90°，再结合图形由直角三角形的性质得到∠B＝90°﹣∠CAB＝35°，进而根据同弧所对的圆周角相等推出∠D＝∠B＝35°．
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠CAB＝55°，
∴∠B＝90°﹣∠CAB＝35°，
∴∠D＝∠B＝35°．
故答案为：35°．
13．（2021•南通）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交AC延长线于点D，过点C作CE∥AB，交BD于点E，连接BE，则CEBE的值为 　22　．

【分析】通过点A作CE的垂线交EC延长线于F，连AE，由AC＝BC，∠ACB＝90°，得∠CAB＝45°，设AF＝x，则CF＝x，求出AB＝AE，在Rt△AFE中用勾股定理求出EF，得CE=(3−1)x，再证四边形FAGE为矩形，得AF＝EG＝x，EF＝AG=3x，在Rt△BEG中用勾股定理求出BE=(6−2)x，即得CEBE=22．
【解答】解：如图，过点A作CE的垂线交EC延长线于F，
过E作EG⊥AB交AB于G，连AE，

∵AC＝BC，∠ACB＝90°，
∴∠CAB＝45°，
∵CE∥AB，
∴∠FAB＝90°，
∴∠FAC＝45°，
∴△AFC为等腰直角三角形，
设AF＝x，则CF＝x，
∴AC=AF2+CF2=2x，
∴AB=AC2+BC2=2AC=2x，
∵AE、AB均为⊙的半径，
∴AE＝2x，
∴EF=AE2−AF2=3x，
∴CE=(3−1)x，
∵∠F＝∠FAB＝∠AGE＝90°，
∴四边形FAGE为矩形，
∴AF＝EG＝x，EF＝AG=3x，
∴BG＝AB﹣AG＝（2−3）x，
∴BE=EG2+BG2=(6−2)x，
∴CEBE=3−16−2=22．
故答案为：22．
14．（2021•徐州）如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，若∠ADC＝58°，则∠BAC＝　32　°．

【分析】根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，∠B＝∠ADC＝58°，然后利用互余计算∠BAC的度数．
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠B＝∠ADC＝58°，
∴∠BAC＝90°﹣∠B＝32°．
故答案为32．
15．（2021•宿迁）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝32°，点B、C在⊙O上，边AB、AC分别交⊙O于D、E两点，点B是CD的中点，则∠ABE＝　13°　．

【分析】由∠ABC＝90°，可得CD是⊙O的直径，由点B是CD的中点以及三角形的内角和，可得∠BDC＝∠BCD＝45°，利用三角形的内角和求出∠ACB，再根据角的和差关系求出∠DCE，由圆周角定理可得∠ABE＝∠DCE得出答案．
【解答】解：如图，连接DC，
∵∠DBC＝90°，
∴DC是⊙O的直径，
∵点B是CD的中点，
∴∠BCD＝∠BDC＝45°，
在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝32°，
∴∠ACB＝90°﹣32°＝58°，
∴∠ACD＝∠ACB﹣∠BCD＝58°﹣45°＝13°＝∠ABE，
故答案为：13°．

三．解答题（共5小题）
16．（2021•徐州）如图，AB为⊙O的直径，点 C、D在⊙O上，AC与OD交于点E，AE＝EC，OE＝ED．连接BC、CD．求证：
（1）△AOE≌△CDE；
（2）四边形OBCD是菱形．

【分析】（1）利用“SAS”可证明△AOE≌△CDE；
（2）利用△AOE≌△CDE得到OA＝CD，∠AOE＝∠D，则可证明OB∥CD，于是可判断四边形OBCD为平行四边形，然后根据OB＝OD得到四边形OBCD是菱形．
【解答】证明：（1）在△AOE和△CDE中，
AE=CE∠AEO=∠CEDOE=DE，
∴△AOE≌△CDE（SAS）；
（2）∵△AOE≌△CDE，
∴OA＝CD，∠AOE＝∠D，
∴OB∥CD，
∵OA＝OB，
∴OB＝CD，
∴四边形OBCD为平行四边形，
∵OB＝OD，
∴四边形OBCD是菱形．

17．（2021•苏州）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠1＝∠2，延长BC到点E，使得CE＝AB，连接ED．
（1）求证：BD＝ED；
（2）若AB＝4，BC＝6，∠ABC＝60°，求tan∠DCB的值．

【分析】（1）根据圆内接四边形的性质得到∠A＝∠DCE，证明△ABD≌△DCE，根据全等三角形的性质证明结论；
（2）过点D作DM⊥BE于M，根据等腰三角形的性质求出BM，进而求出CM，根据正切的定义求出DM，根据正切的定义计算，得到答案．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠A＝∠DCE，
∵∠1＝∠2，
∴AD=DC，
∴AD＝DC，
在△ABD和△DCE中，
AB=CE∠A=∠DCEAD=DC，
∴△ABD≌△CED（SAS），
∴BD＝ED；
（2）解：过点D作DM⊥BE于M，
∵AB＝4，BC＝6，CE＝AB，
∴BE＝BC+EC＝10，
∵BD＝ED，DM⊥BE，
∴BM＝ME=12BE＝5，
∴CM＝BC﹣BM＝1，
∵∠ABC＝60°，∠1＝∠2，
∴∠2＝30°，
∴DM＝BM•tan∠2＝5×33=533，
∴tan∠DCB=DMCM=533．

18．如图1，正方形ABCD的边长为4，点P在边BC上，⨀O经过A，B，P三点．
（1）若BP＝3，判断边CD所在直线与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）如图2，E是CD的中点，⊙O交射线AE于点Q，当AP平分∠EAB时，求tan∠EAP的值．

【分析】（1）如图1中，连接AP，过点O作OH⊥AB于H，交CD于E．求出OE的长，与半径比较，可得结论．
（2）如图2中，延长AE交BC的延长线于T，连接PQ．利用面积法求出BP，可得结论．
【解答】解：（1）如图1﹣1中，连接AP，过点O作OH⊥AB于H，交CD于E．

∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝4，∠ABP＝90°，
∴AP是直径，
∴AP=AB2+BP2=42+32=5，
∵OH⊥AB，
∴AH＝BH，
∵OA＝OP，AH＝HB，
∴OH=12PB=32，
∵∠D＝∠DAH＝∠AHE＝90°，
∴四边形AHED是矩形，
∴OE⊥CE，EH＝AD＝4，
∴OE＝EH﹣OH＝4−32=52，
∴OE＝OP，
∴直线CD与⊙O相切．

（2）如图2中，延长AE交BC的延长线于T，连接PQ．

∵∠D＝∠ECT＝90°，DE＝EC，∠AED＝∠TEC，
∴△ADE≌△TCE（ASA），
∴AD＝CT＝4，
∴BT＝BC+CT＝4+4＝8，
∵∠ABT＝90°，
∴AT=AB2+BT2=42+82=45，
∵AP是直径，
∴∠AQP＝90°，
∵PA平分∠EAB，PQ⊥AQ，PB⊥AB，
∴PB＝PQ，
设PB＝PQ＝x，
∵S△ABT＝S△ABP+S△APT，
∴12×4×8=12×45×x+12×4×x，
∴x＝25−2，
∴tan∠EAP＝tan∠PAB=PBAB=5−12．
备注：本题也可以用面积法，连接PQ，PE，设BP＝x，

在Rt△PEQ中，
PE2＝x2+（25−4）2，
在Rt△PEC中，
PE2＝（4﹣x）2+22，
则x2+（25−4）2＝（4﹣x）2+22，
解得x＝PB＝25−2，
∴tan∠EAP＝tan∠PAB=PBAB=5−12．
19．（2021•淮安）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点E是BC的中点，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，连接DE．
（1）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若CD＝3，DE=52，求⊙O的直径．

【分析】（1）连接DO，如图，根据直角三角形斜边上的中线性质，由∠BDC＝90°，E为BC的中点得到DE＝CE＝BE，则利用等腰三角形的性质得∠EDC＝∠ECD，∠ODC＝∠OCD，由于∠OCD+∠DCE＝∠ACB＝90°，所以∠EDC+∠ODC＝90°，即∠EDO＝90°，于是根据切线的判定定理即可得到DE与⊙O相切；
（2）根据勾股定理和相似三角形的判定与性质即可得到结论．
【解答】（1）证明：连接DO，如图，

∵直径所对圆周角，
∴∠ADC＝90°，
∴∠BDC＝90°，E为BC的中点，
∴DE＝CE＝BE，
∴∠EDC＝∠ECD，
又∵OD＝OC，
∴∠ODC＝∠OCD，
而∠OCD+∠DCE＝∠ACB＝90°，
∴∠EDC+∠ODC＝90°，即∠EDO＝90°，
∴DE⊥OD且OD为半径，
∴DE与⊙O相切；

（2）由（1）得，∠CDB＝90°，
∵CE＝EB，
∴DE=12BC，
∴BC＝5，
∴BD=BC2−CD2=52−32=4，
∵∠BCA＝∠BDC＝90°，∠B＝∠B，
∴△BCA∽△BDC，
∴ACCD=BCBD，
∴AC3=54，
∴AC=154，
∴⊙O直径的长为154．
20．（2021•宿迁）如图，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，以点O为圆心，OA为半径的圆交AB于点C，点D在边OB上，且CD＝BD．
（1）判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）已知tan∠ODC=247，AB＝40，求⊙O的半径．

【分析】（1）连接OC，由等腰三角形的性质可得∠A＝∠ACO，∠B＝∠DCB，由余角的性质可求∠OCD＝90°，可得结论；
（2）由锐角三角函数可设CD＝7x＝DB，OC＝24x＝OA，在Rt△OCD中，由勾股定理可求OD＝25x，在Rt△AOB中，由勾股定理可求x＝1，即可求解．
【解答】解：（1）直线CD与⊙O相切，
理由如下：如图，连接OC，

∵OA＝OC，CD＝BD，
∴∠A＝∠ACO，∠B＝∠DCB，
∵∠AOB＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∴∠ACO+∠DCB＝90°，
∴∠OCD＝90°，
∴OC⊥CD，
又∵OC为半径，
∴CD是⊙O的切线，
∴直线CD与⊙O相切；
（2）∵tan∠ODC=247=OCCD，
∴设CD＝7x＝DB，OC＝24x＝OA，
∵∠OCD＝90°，
∴OD=OC2+CD2=49x2+576x2=25x，
∴OB＝32x，
∵∠AOB＝90°，
∴AB2＝AO2+OB2，
∴1600＝576x2+1024x2，
∴x＝1，
∴OA＝OC＝24，
∴⊙O的半径为24．