初中数学人教版八年级下册18.2.3 正方形课堂教学课件ppt

这是一份初中数学人教版八年级下册18.2.3 正方形课堂教学课件ppt，共41页。PPT课件主要包含了学习目标，四个角都是直角，复习回顾，平行四边形，四边形，三个角是直角，四条边相等，四个判定定理，对角线相等，对角线垂直等内容，欢迎下载使用。
理解并掌握正方形的判定和推导过程.
能熟练运用正方形的判定进行计算和证明.
两条对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角.
轴对称图形，有四条对称轴.
对边平行，四条边都相等
你是如何判断是矩形、菱形？
思考:怎样判定一个四边形是正方形呢？
活动1：准备一张矩形的纸片，按照下图折叠,然后展开，折叠部分得到一个正方形，可量一量验证验证.
猜想：满足怎样条件的矩形是正方形？
已知：如图,在矩形ABCD中,AC , DB是它的两条对角线,AC⊥DB.求证：四边形ABCD是正方形.证明：∵四边形ABCD是矩形, ∴ AO=CO=BO=DO ，∠ADC=90°. ∵AC⊥DB, ∴ AD=AB=BC=CD, ∴四边形ABCD是正方形.
命题：对角线互相垂直的矩形是正方形.
判定1： 对角线互相垂直的矩形是正方形.
数学语言： 在矩形ABCD中， ∵ AC⊥BD∴四边形ABCD是正方形
活动2：矩形的边有什么样的性质？正方形的边有什么样的性质？
正方形：四边相等且对边平行
矩形添加邻边相等能否得到正方形？
已知在矩形ABCD中，AB=BC，求证：四边形ABCD是正方形.
证明： ∵四边形ABCD是矩形
∴∠B=90〫，四边形ABCD是平行四边形
∴四边形ABCD是正方形（根据正方形的定义“有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形”）
判定2 ： 有一组邻边相等的矩形是正方形.
数学语言：在矩形ABCD中， ∵AB=BC∴四边形ABCD是正方形
活动3：把可以活动的菱形框架的一个角变为直角，观察这时菱形框架的形状.量量看是不是正方形.
猜想：满足怎样条件的菱形是正方形？
已知：如图,在菱形ABCD中,AC , DB是它的两条对角线,AC=DB.求证：四边形ABCD是正方形.证明：∵四边形ABCD是菱形,∴AB=BC=CD=AD,AC⊥DB.∵AC=DB,∴ AO=BO=CO=DO,∴△AOD,△AOB,△COD,△BOC是等腰直角三角形，∴∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°, ∴四边形ABCD是正方形.
命题：对角线相等的菱形是正方形.
判定3 ： 对角线相等的菱形是正方形.
数学语言： 在菱形ABCD中， ∵ AC=BD∴四边形ABCD是正方形
活动4：菱形的角具有什么性质？正方形的角具有什么性质？
正方形：四个角相等，都为90°
菱形添加有一个角为直角能否得到正方形？
已知在菱形ABCD中，∠A=90〫，求证：四边形ABCD是正方形.
证明： ∵四边形ABCD是菱形
∴AB=BC=CD=DA四边形ABCD是平行四边形
∴四边形ABCD是正方形（根据正方形的定义“有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形” ）
判定4： 有一个角是直角的菱形是正方形.
数学语言： 在菱形ABCD中， ∵ ∠A=90〫∴四边形ABCD是正方形
正方形判定的几条途径：
1.平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且AC⊥BD，请添加一个条件： ，使得四边形ABCD是正方形.
解析：∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD
∴四边形ABCD是菱形
∴AC=BD或∠BAD=90〫或∠ABC=90〫或∠BCD=90〫或∠ADC=90〫均满足题意
2.满足下列条件的四边形是不是正方形？
（1）对角线互相垂直且相等的平行四边形.
（2）对角线互相垂直的矩形.
（3）对角线相等的菱形.
（4）对角线互相垂直平分且相等的菱形.
4个都是正方形，满足正方形的判定条件.
例1：在正方形ABCD中，点E、F、M、N分别在各边上，且AE=BF=CM=DN．四边形EFMN是正方形吗?为什么?
证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=DA，∠A=∠B=∠C=∠D=90°.∵AE=BF=CM=DN，∴AN=BE=CF=DM.
分析：由已知可证△AEN≌△BFE≌△CMF≌△DNM，得四边形EFMN是菱形，再证有一个角是直角即可.
在△AEN、△BFE、△CMF、△DNM中， AE=BF=CM=DN, ∠A=∠B=∠C=∠D, AN=BE=CF=DM,∴△AEN≌△BFE≌△CMF≌△DNM,∴EN=FE=MF=NM，∠ANE=∠BEF,∴四边形EFMN是菱形， ∠NEF=180°－（∠AEN+∠BEF） =180°－（∠AEN+∠ANE） =180°－90°=90°.∴四边形EFMN是正方形 .
证明：∵ DE⊥AC，DF⊥AB ，∴∠DEC= ∠DFC=90°.又∵ ∠C=90 °，∴四边形ADFC是矩形.过点D作DG⊥AB，垂足为G.∵AD是∠CAB的平分线DE⊥AC，DG⊥AB，∴ DE=DG.同理得DG=DF，∴ED=DF，∴四边形ADFC是正方形.
例2：如图，在直角三角形中，∠C=90°，∠A、∠B的平分线交于点D.DE⊥AC，DF⊥AB.求证:四边形CEDF为正方形.
例3：如图，EG,FH过正方形ABCD的对角线的交点O,且EG⊥FH.求证：四边形EFGH是正方形.证明：∵四边形ABCD为正方形,∴OB=OC,∠ABO=∠BCO =45°,∠BOC=90°=∠COH+∠BOH.∵EG⊥FH,∴∠BOE+∠BOH=90°,∴∠COH=∠BOE,∴△CHO ≌△BEO,∴OE=OH.同理可证：OE=OF=OG,
∴OE=OF=OG=OH.又∵EG⊥FH,∴四边形EFGH为菱形.∵EO+GO=FO+HO ,即EG=HF,∴四边形EFGH为正方形.
例4：如图，正方形ABCD，动点E在AC上，AF⊥AC，垂足为A，AF=AE．（1）求证：BF=DE；（2）当点E运动到AC中点时(其他条件都保持不变)，问四边形AFBE是什么特殊四边形？说明理由．
（1）证明：∵正方形ABCD，∴AB=AD，∠BAD=90°，∵AF⊥AC，∴∠EAF=90°，∴∠BAF=∠EAD，在△ADE和△ABF中，AD＝AB ，∠DAE＝∠BAF ，AE＝AF ,∴△ADE≌△ABF（SAS），∴BF=DE；
（2）解：当点E运动到AC的中点时四边形AFBE是正方形，理由：∵点E运动到AC的中点，AB=BC，∴BE⊥AC，BE=AE= AC，∵AF=AE，∴BE=AF=AE.又∵BE⊥AC，∠FAE=∠BEC=90°，∴BE∥AF，∵BE=AF，∴得平行四边形AFBE，∵∠FAE=90°，AF=AE，∴四边形AFBE是正方形．
思考：前面学菱形时我们探究了顺次连接任意四边形各边中点所得的四边形是平行四边形.顺次连接矩形各边中点能得到菱形，那么顺次连接正方形各边中点能得到怎样的特殊平行四边形？
1.下列命题正确的是（ ）.
A.四个角都相等的四边形是正方形
B.四条边都相等的四边形是正方形
C.对角线互相垂直的矩形是正方形
D.对角线相等的平行四边形是正方形
2.如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ）
A.当AB=BC时，四边形ABCD是菱形
B.当AC=BD时，四边形ABCD是正方形
C.当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形
D.当∠ABC=90〫时，四边形ABCD是矩形
3.如图，等边三角形AEF的顶点为E，F在矩形ABCD的边BC、CD上，且∠CEF=45〫. 求证：矩形ABCD是正方形.
解析：先证明△AEB≌△AFD得到AB=AD，再根据“有一组邻边相等的矩形是正方形”得出结论.
∴∠B=∠D=∠C=90〫
∵△AEF是等边三角形
∴AE=AF，∠AEF=∠AFE=60〫
∵∠CEF=45〫 ∴∠CFE=45〫
∴∠AFB=∠AEB=180〫-45〫-60〫= 75〫
∴矩形ABCD是正方形
∴△AEB≌△AFD，AB=AD
3.如图，在直角三角形中，∠C=90〫，∠A、∠B的平分线交于点D，DE⊥AC，DF⊥CB. 求证：四边形CEDF 为正方形.
证明：过点D作DG⊥AB，垂足为G.
∴∠DEC=∠DFC=90〫
∴四边形CEDF为矩形
∵DE⊥AC，DF⊥CB
∵AD是∠CAB的平分线， DE⊥AC，DG⊥AB
∴四边形CEDF为正方形
4.如图，在直角三角形中，∠C=90〫，∠A、∠B的平分线交于点D，DE⊥AC，DF⊥CB. 求证：四边形CEDF 为正方形.
5.如图，在四边形ABCD中，AB=BC，对角线BD平分∠ABC，P是BD上一点，过点P作PM⊥AD、PN⊥CD，垂足分别为M、N.（1）求证：∠ADB=∠CDB.（2）若∠ADC=90〫，求证：四边形PMDN是正方形.
证明：（1）∵ AB=BC，对角线 BD 平分∠ABC
∴ ∠ABD=∠CBD
∵在△ABD和△CBD中， AB=BC， ∠ABD=∠CBD， BD=BD
∴ ∠ADB=∠CDB
（2）∵∠ADC=90〫， PM⊥AD，PN⊥CD
∴∠ADC=∠PMD=∠PND=90〫
∴四边形PMDN是矩形
∵ ∠ADB=∠CDB=45〫
∴四边形PMDN是正方形
∴∠MPD=∠NPD=45〫
∴DM=PM，DN=PN
6.在正方形ABCD中，动点 E 在AC上，AF⊥AC，垂足为 A,AF=AE.（1）求证：BF=DE.（2）当点 E 运动到 AC 的中点时，说明四边形AFBE是正方形.
（1）证明：∵四边形ABCD是正方形
∴AB=AD，∠BAD=90〫
∵AF⊥AC ∴∠BAF+∠BAE=90〫
∵∠BAE+∠DAE=90〫
∵在△ADE和△ABF中， AD=AB， ∠DAE=∠BAF， AE=AF
∴△ADE≌△ABF， BF=DE
（2）∵点E运动到AC的中点，AB=BC
∵AF=AE ∴ BE=AF=AE
又∵BE⊥AC ，∠FAE=∠BEC=90〫
∴四边形AFBE是平行四边形
∵∠FAE=90〫，AE=AF
∴四边形AFBE是正方形
一个角是直角且一组邻边相等
平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定小结