2022届新教材北师大版立体几何单元测试含答案3

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 2022届新教材北师大版  　立体几何  单 元测试一、选择题1、已知四棱锥底面四边形中顺次三个内角的大小之比为，此棱锥的侧棱与底面所成的角相等，则底面四边形的最小角是（     ）．A． B． C． D．无法确定的2、已知三棱锥中，，，则该三棱锥的外接球的表面积为（    ）A． B． C． D．3、已知某正三棱锥的底面边长为4，侧面与底面所成二面角的余弦值为，球为该三棱锥的内切球.球与球相切，且与该三棱锥的三个侧面也相切，则球与球的表面积之比为（    ）A． B． C． D．4、已知正方体棱长为4，P是中点，过点作平面满足平面，则平面与正方体的截面周长为（    ）A． B． C． D．5、某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（    ）A． B． C． D．6、如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中①BM与ED成 角②NF与BM是异面直线③CN与BM成角 ④DM与BN是异面直线以上四个结论中，正确结论的个数是（    ）A．1个      B．2个       C．3个      D．4个 7、阿基米德（公元前287年—公元前212年）是古希腊伟大的哲学家、数学家和物理学家，他和高斯、牛顿并列被称为世界三大数学家.据说，他自己觉得最为满意的一个数学发现就是“圆柱内切球体的体积是圆柱体积的三分之二，并且球的表面积也是圆柱表面积的三分之二”.他特别喜欢这个结论，要求后人在他的墓碑上刻着一个圆柱容器里放了一个球，如图，该球顶天立地，四周碰边，表面积为的圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则该球的体积为 （    ）A． B． C． D．8、下列说法中正确的个数是（     ）①圆锥的轴截面是等腰三角形；②用一个平面去截棱锥，得到一个棱锥和一个棱台；③棱台各侧棱的延长线交于一点；④有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱． A．0 B．1 C．2 D．39、在三棱锥中，，，，，点到底面的距离为2，则三棱锥外接球的表面积为（    ）A． B． C． D．10、已知不同直线、与不同平面、，且，，则下列说法中正确的是（    ）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则11、正四棱锥底面正方形的边长为，高与斜高的夹角为，则该四棱锥的侧面积（ ）A． B． C． D．12、已知圆锥的表面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径为（    ）A． B．3 C． D．二、填空题13、有如下命题：①过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面；②如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内；③平行于同一条直线的两条直线平行；④如果空间中两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．其中作为公理（基本事实）的是_____（填写序号）．14、如图为一个几何体的展开图，其中是边长为6的正方形，，，，点、、、及、、、共线，沿图中直线将它们折叠，使、、、四点重合，则需要________个这样的几何体，就可以拼成一个棱长为12的正方体15、如图所示是一个三棱柱形状的容器，平面，，这个容器能装进去的最大的球的体积为（容器壁厚度不计）_______.16、如图，在体积为的圆柱中挖去以圆柱上、下底面为底面，共顶点的两个圆锥，剩余部分的体积为，则________三、解答题17、（本小题满分10分）如图为一简单组合体，其底面为正方形，棱与均垂直于底面，，求证：平面平面.18、（本小题满分12分）如图，在三棱锥中，分别为的中点，且为等腰直角三角形，.（1）求证：平面；（2）求异面直线与所成的角．19、（本小题满分12分）如图在三棱锥中，分别为棱的中点，已知.求证：（1）直线平面；（2）平面平面.20、（本小题满分12分）已知：空间四边形ABCD，E、F分别是AB、AD的中点，求证：EF∥平面BCD
参考答案1、答案B解析详解：解：因为棱锥的侧棱与底面所成的角相等，所以四棱锥底面四边形内接于一个圆，因为四棱锥底面四边形顺次三个内角的大小之比为，设对应角为，因此此则底面四边形的最小角是，选B2、答案B解析根据题意可知，在底面的射影为的外心，由三角形知识可求出底面半径，三棱锥的高，再根据球心距， 外接圆的半径，球的半径关系即可求出球的半径，因而可求出该三棱锥的外接球的表面积．详解因为，所以在底面的射影为的外心．如图所示： 设外接圆的半径为，球的半径为，三棱锥的高为，在中，， ∴．，∴．故即，解得．∴该三棱锥的外接球的表面积为．故选：B．点睛本题主要考查三棱锥的外接球的表面积的求法，涉及解三角形，三棱锥有关性质，球的几何性质的应用，意在考查学生的直观想象能力和数学运算能力，属于基础题．3、答案D解析先利用侧面与底面所成二面角的余弦值为可得三个侧面的等腰三角形底边上的高，再根据等体积法可求得球的半径，进而根据立体几何中的相似，可得所切的三棱锥的相似比，进而得到的半径比以及表面积的比.详解：如图，正三棱锥，设在底面上的投影为，取中点，易得，，即为侧面与底面所成二面角.又，故，.设球的半径为，则，即，解得.根据题意可知，为与正三棱锥相似的正三棱锥的内切球，且该三棱锥的高.故两正三棱锥的相似比为，故其内切球的的半径比也为，故球与球的表面积之比为.故选：D点睛本题主要考查了三棱锥的内切球的问题，需要根据等体积法求得内切球的半径，同时也考查了立体几何中的相似比问题，需要画图分析内切球与所切的三棱锥的关系，同时也考查了计算能力，属于难题.4、答案A解析作出平面为平面，再根据正方体的棱长为4，即可得答案；详解：取AD的中点M，AB的中点N，连结PD，则平面PCD，CP，又MN面，PCMNPC面，即平面为面，，截面的周长为，故选：A.点睛本题考查空间中平面的作法、线面垂直判定定理与性质定理的运用，考查转化与化归思想，考查空间想象能力、运算求解能力.5、答案B解析由三视图可知，该几何体是由一个四棱锥挖掉半个圆锥所得，故利用棱锥的体积减去半个圆锥的体积，就可求得几何体的体积.详解由三视图可知，该几何体是由一个四棱锥挖掉半个圆锥所得，故其体积为.故选B.点睛本小题主要考查由三视图判断几何体的结构，考查不规则几何体体积的求解方法，属于基础题.6、答案C解析根据展开图，画出立体图形，与垂直，不成，与是异面直线，与成，与是异面直线，故②③④正确，故选C．7、答案C解析设球的半径为R，根据组合体的关系，圆柱的表面积为，解得球的半径，再代入球的体积公式求解.详解：设球的半径为R，根据题意圆柱的表面积为，解得，所以该球的体积为 .故选：C点睛本题主要考查组合体的表面积和体积，还考查了对数学史了解，属于基础题.8、答案C解析利用空间几何体的概念对每一个命题的正误逐一判断得解.详解对于①，圆锥的轴截面是两腰等于母线长的等腰三角形，①正确；对于②，只有用一个平行于底面的平面去截棱锥，才能得到一个棱锥和一个棱台，②错误；对于③，棱台是用一个平行于底面的平面去截棱锥所得的几何体，所以它的各侧棱延长线交于一点，③正确；对于④，有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体不一定是棱柱，如：把两个同底面的倾斜方向不同的斜四棱柱拼在一起，这个几何体有两个面平行，其余各面都是平行四边形，但是这个几何体不是四棱柱，所以④错误；综上所述，正确命题的序号是①③，共2个．故选：C．点睛本题主要考查空间几何体的概念，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.9、答案C解析首先根据垂直关系可确定，由此可知为三棱锥外接球的球心，在中，可以算出的一个表达式，在中，可以计算出的一个表达式，根据长度关系可构造等式求得半径，进而求出球的表面积．详解：取中点，由，可知：，为三棱锥外接球球心，过作平面，交平面于，连接交于，连接，，，，，，为的中点由球的性质可知：平面，，且．设，，，，在中，，即，解得：，三棱锥的外接球的半径为：，三棱锥外接球的表面积为．故选：.点睛本题考查三棱锥外接球的表面积的求解问题，求解几何体外接球相关问题的关键是能够利用球的性质确定外接球球心的位置.10、答案C解析根据空间中平行关系、垂直关系的相关判定和性质可依次判断各个选项得到结果.详解：对于，若，则可能为平行或异面直线，错误；对于，若，则可能为平行、相交或异面直线，错误；对于，若，且，由面面垂直的判定定理可知，正确；对于，若，只有当垂直于的交线时才有，错误.故选：.点睛本题考查空间中线面关系、面面关系相关命题的辨析，关键是熟练掌握空间中的平行关系与垂直关系的相关命题.11、答案A解析详解：如图:正四棱锥的高PO，斜高PE，底面边心距OE组成直角△POE．∵OE=2cm，∠OPE=30°，∴斜高h′=PE=，∴S正棱锥侧=故选：A12、答案B解析设底面圆半径为，高为，根据题目条件列出关于和的方程组，解出.详解：设圆锥的底面半径为，高为，则母线长为，则圆锥的侧面积为，故表面积为，得①，又底面圆周长等于侧面展开半圆的弧长，故，即，得②，联立①②得：，.故答案为：B.点睛本题考查圆圆锥中的相关计算，难度一般，解答的关键在于得出底面半径与高的关系.13、答案①②③解析根据公理可得出结论.详解：公理如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内，命题②为公理；公理过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面，命题①为公理；公理如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线；公理平行于同一条直线的两条直线平行，命题③为公理.命题④为等角定理.故答案为：①②③.点睛本题考查对平面几个公理的理解，属于基础题.14、答案24解析先将展开图还原为原图：四棱锥，求出棱锥的体积和正方体的体积，然后确定几何体的个数.详解将展开图折叠起来后，得到四棱锥，其中平面，因此该四棱锥的体积为，而棱长为的长方体体积为，所以需要个这样的几何体.故填：.点睛本小题主要考查折叠问题，考查锥体体积计算和正方体体积计算，属于基础题.15、答案详解：解：由于，则容器足够长，所以最大的球应与三棱柱的三个侧面相切，作截面如图所示，作，垂足为S.，由余弦定理得，，，.设圆的半径为r，，，球的体积.故答案为：.点睛本题考查球的体积，关键是利用等面积法求球体半径，属于中档题.16、答案解析设上下圆锥的高分别为圆柱的底面圆的半径为，圆柱的高为,然后根据锥体体积以及柱体体积可得，再求即可详解：设上下圆锥的高分别为圆柱的底面圆的半径为，圆柱的高为,则故答案为：.点睛本题主要考查圆锥、圆柱体积的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平，属基础题.详解：由于四边形是正方形，，平面，平面，平面，平面，平面，，平面，平面，平面，，平面平面.点睛本题考查面面平行的证明，考查推理能力，属于基础题.解析18、答案（1）见解析；（2）（2）将异面直线与所成的角转化为直线与所成的角，即可得结果.详解解：（1）分别为的中点，，平面平面，平面；（2）由（1）知：，异面直线与所成的角为，，异面直线与所成的角为.点睛本题考查线面平行的判定以及求异面直线所成的角，是基础题.解析详解（1）由于分别是的中点，则有，又平面，平面，所以平面．（2）由（1），又，所以，又是中点，所以，，又，所以，所以，是平面内两条相交直线，所以平面，又平面，所以平面平面．考点线面平行与面面垂直．解析详解：空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，，平面BCD，平面BCD∴EF∥平面BCD点睛本题主要考查线面平行的判定定理，考查学生空间想象能力，推理论证能力，分析解决问题的能力，属于中档题.解析