2022届新教材北师大版立体几何单元测试含答案1

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 2022届新教材北师大版  　立体几何    单元测试一、选择题1、已知三棱锥，面面，，，，则三棱锥外接球的表面积（    ）A． B． C． D．2、已知某几何体的三视图如图所示，其中侧视图和俯视图均为等腰三角形，则该几何体的体积为（    ）A． B． C．3 D．23、如图，四边形的面积为，且，把绕旋转，使点运动到，此时向量与向量的夹角为90°.则四面体外接球表面积的最小值为（    ）A． B． C． D．4、已知两条不同直线及平面，则下列说法中正确的是（    ）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则5、如图，某广场设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的四面体得到的，如果正方体的棱长是，那么石凳的体积是（    ）A． B． C． D．6、如图为一个几何体的三视图，其中正视图、侧视图都是矩形，俯视图是边长为2的正三角形，则该几何体的表面积为（　　）A．6+ B．24+ C． D．327、如图，一倒立的圆锥和一个底面圆直径为2R的圆柱内装等高H的液体，圆锥的轴截面为等腰直角三角形，圆柱的轴截面为一矩形，H＝R，圆锥内液体体积为V1，圆柱内液体体积为V2，则（　　）A．V1＝2V2 B．V1＝V2 C．V2＝2V1 D．V1＝V28、在我国古代数学名著《九章算术》中将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称之为堑堵，如图，在堑堵ABC﹣A1B1C1中，AB＝BC，AA1＞AB，堑堵的顶点C1到直线A1C的距离为m，C1到平面A1BC的距离为n，则的取值范围是（    ）A．（1，） B．（，） C．（，） D．（，）9、在三棱锥中，，，，，点到底面的距离为2，则三棱锥外接球的表面积为（    ）A． B． C． D．10、已知不同直线、与不同平面、，且，，则下列说法中正确的是（    ）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则11、正四棱锥底面正方形的边长为，高与斜高的夹角为，则该四棱锥的侧面积（ ）A． B． C． D．12、已知圆锥的表面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径为（    ）A． B．3 C． D．二、填空题13、有如下命题：①过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面；②如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内；③平行于同一条直线的两条直线平行；④如果空间中两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．其中作为公理（基本事实）的是_____（填写序号）．14、已知某长方体的所有顶点均在半径为的球面上，且长方体的表面积为22，则此长方体的所有棱长之和为__________.15、已知四面体的所有顶点在球的表面上，平面，，，则球的表面积为_________.16、若球的表面积为，球心到该球的一个截面圆的距离为1，则这个截面圆的面积是________.三、解答题17、（本小题满分10分）如图为一简单组合体，其底面为正方形，棱与均垂直于底面，，求证：平面平面.18、（本小题满分12分）已知平行四边形ABCD从平面AC外一点O引向量．，＝k，＝k．求证：四点E，F，G，H共面.19、（本小题满分12分）如图在三棱锥中，分别为棱的中点，已知.求证：（1）直线平面；（2）平面平面.20、（本小题满分12分）已知：空间四边形ABCD，E、F分别是AB、AD的中点，求证：EF∥平面BCD
参考答案1、答案D解析过点P作，根据面面，则面，再根据，则外接圆的圆心在PD上，求得外接圆的半径，再由PD=2，从而得到其外接圆的圆心到面ABC的距离，再求得外接圆的半径，然后由勾股定理求得球的半径即可.详解：如图所示：设的外接圆的圆心为，半径为 ，的外接圆的圆心为，半径为 ，三棱锥外接球球心为，半径为，过点P作，因为面面，所以面，又因为所以在PD上，因为，所以，，所以，，，所以，则，所以，所以，则，所以，所以三棱锥外接球的表面积.故选：D点睛本题主要考查几何体的外接球问题，还考查了空间想象和运算求解的能力，属于中档题.2、答案B解析根据给定的三视图，借助正方体还原几何体的直观图，得到一个三棱锥，再根据分割法求出三棱锥的体积．详解：解：在棱长为1的正方体中，根据三视图还原该几何体的直观图，为图中所示的三棱锥，取的中点，连接，易知，在中，边上的高，∴的面积，易知平面，∴．故选：B．点睛本题考查由三视图还原几何体的直观图，三棱锥体积的求法，考查考生的空间想象能力和运算求解能力．3、答案C解析将四面体补成一个长方体，则该长方体的外接球就是四面体的外接球，设，，，有，，根据基本不等式可求得外接球的半径的最小值，从而求得外接球的表面积的最小值.详解：将四面体补成一个长方体，如下图所示，所以长方体的外接球就是四面体的外接球，设，，，则，所以，故四面体外接球表面积的最小值为.故选：C.点睛本题考查几何体的外接球的相关问题，关键在于确定出外接球的球心和半径，属于中档题.4、答案C解析结合线面关系的判定定理和性质定理逐项判断后可得正确的选项.详解对于A，的位置关系有平行、异面或相交，故A错；对于B，与平面的关系是平行或，故B错；对于C，因为垂直于同一平面的两条直线平行，故C正确；对于D，与平面的关系是平行或，故Ｄ错；故选：Ｃ.点睛本题考查空间中线面位置关系的判断，注意动态考虑位置关系以确定是否有不同于结论中的情形发生，本题属于基础题.5、答案B解析由已知求得正方体的体积，减去八个正三棱锥的体积得答案．详解：解：由题意可知，截去的八个四面体是全等的正三棱锥，体积是：，正方体的体积为：，则石凳的体积是：．故选：B．点睛本题考查正方体与三棱锥体积的求法，是基础的计算题．6、答案C解析根据三视图得到该几何体是一个正三棱柱，然后求得侧面积和底面积，再求和即可.详解：由三视图可知：该几何体是一个正三棱柱侧面积为，两个底面的面积为，所以几何体的表面积为故选：C点睛本题主要考查三视图的应用以及几何体表面积的求法，还考查了空间想象的能力，属于基础题.7、答案A解析由题意可得H＝R，得到圆锥的水面圆的直径，进一步得到半径，再由圆锥与圆柱体积公式求解详解：解：如图，圆锥的轴截面为等腰直角三角形，且H＝R，则圆锥的水面圆的直径为，由,所以,故选：B点睛此题考查圆柱与圆锥体积的求法，考查计算能力，属于基础题8、答案D解析设AB＝BC＝1，AA1＝a，用表示出，得出关于的函数，根据的范围可求出的范围.详解：设AB＝BC＝1，则AC＝A1C1，设AA1＝a，则CC1＝a，∴A1C，∴C1到直线A1C的距离m，∵B1C1∥BC，BC？平面A1BC，B1C1？平面A1BC，∴B1C1∥平面A1BC，∴C1到平面A1BC的距离等于B1到平面A1BC的距离，∴，∵BC⊥AB，BC⊥BB1，AB∩BB1＝B，∴BC⊥平面ABB1A1，∴BC⊥A1B，∴，又，∴？？n，∴n.∴.∵AA1＞AB，∴a＞1，∴0，∴.故选：D.点睛该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有几何体的特征，利用等积法求点到平面的距离，求式子的取值范围，属于中档题目.9、答案C解析首先根据垂直关系可确定，由此可知为三棱锥外接球的球心，在中，可以算出的一个表达式，在中，可以计算出的一个表达式，根据长度关系可构造等式求得半径，进而求出球的表面积．详解：取中点，由，可知：，为三棱锥外接球球心，过作平面，交平面于，连接交于，连接，，，，，，为的中点由球的性质可知：平面，，且．设，，，，在中，，即，解得：，三棱锥的外接球的半径为：，三棱锥外接球的表面积为．故选：.点睛本题考查三棱锥外接球的表面积的求解问题，求解几何体外接球相关问题的关键是能够利用球的性质确定外接球球心的位置.10、答案C解析根据空间中平行关系、垂直关系的相关判定和性质可依次判断各个选项得到结果.详解：对于，若，则可能为平行或异面直线，错误；对于，若，则可能为平行、相交或异面直线，错误；对于，若，且，由面面垂直的判定定理可知，正确；对于，若，只有当垂直于的交线时才有，错误.故选：.点睛本题考查空间中线面关系、面面关系相关命题的辨析，关键是熟练掌握空间中的平行关系与垂直关系的相关命题.11、答案A解析详解：如图:正四棱锥的高PO，斜高PE，底面边心距OE组成直角△POE．∵OE=2cm，∠OPE=30°，∴斜高h′=PE=，∴S正棱锥侧=故选：A12、答案B解析设底面圆半径为，高为，根据题目条件列出关于和的方程组，解出.详解：设圆锥的底面半径为，高为，则母线长为，则圆锥的侧面积为，故表面积为，得①，又底面圆周长等于侧面展开半圆的弧长，故，即，得②，联立①②得：，.故答案为：B.点睛本题考查圆圆锥中的相关计算，难度一般，解答的关键在于得出底面半径与高的关系.13、答案①②③解析根据公理可得出结论.详解：公理如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内，命题②为公理；公理过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面，命题①为公理；公理如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线；公理平行于同一条直线的两条直线平行，命题③为公理.命题④为等角定理.故答案为：①②③.点睛本题考查对平面几个公理的理解，属于基础题.14、答案24解析由长方体的体对角线为外接球的直径可知，长方体的表面积为22可得，联立可得：，即可得棱长之和.详解：设该长方体的长、宽、高分别为，由体对角线为外接球的直径得①，由长方体的表面积为22得:②，①②两式相加得，即，故此长方体的所有棱长之和为.故答案为：24点睛本题主要考查了长方体的外接球的直径即是长方体的体对角线，涉及长方体的表面积公式，属于基础题.15、答案解析将四面体补成直三棱柱，根据题意画出图象，设，的外心分别为，，则点为线段的中点，求出，在根据正弦定理，求出，根据勾股定理和球的表面积公式，即可求得答案.详解：四面体的所有顶点在球的表面上，且平面，将四面体补成直三棱柱，设，的外心分别为，，则点为线段的中点，根据直棱柱特征可得：面根据题意画出图象，如图：可得：，在根据正弦定理：(为三角形外接圆半径)根据为的外心，可得为外接圆半径即，面，面故为直角三角形在中，根据勾股定理可得：，.故答案为：.点睛本题主要考查了求四面体外接球表面积问题，解题关键是掌握将四面体补成直三棱柱求外接球半径的方法和球的表面积公式，数形结合，考查了分析能力和空间想象能力，属于中档题.16、答案解析作出图形，由球的表面积，可求出球的半径，结合△为直角三角形，可得截面圆的半径，进而可求出截面圆的面积.详解：如下图，设球心为，球的半径为，则，解得，设截面圆的半径为，圆心为，球与截面圆的一个交点为，则，，，又△为直角三角形，所以，所以截面圆的面积为.故答案为：.点睛本题考查球的截面，利用构造直角三角形的方法求解是解题的关键，考查学生的计算求解能力，属于基础题.详解：由于四边形是正方形，，平面，平面，平面，平面，平面，，平面，平面，平面，，平面平面.点睛本题考查面面平行的证明，考查推理能力，属于基础题.解析18、答案证明见解析.详解：证明：如图，∵；∴；EF∥AB，且EF＝|k|AB；同理HG∥DC，且HG＝|k|DC，AB＝DC；∴EF∥HG，且EF＝HG；∴四边形EFGH为平行四边形；∴四点E，F，G，H共面.点睛本题考查点线面的位置关系，属于基础题.证明平行四边形是证明四点共面的常用方法.解析详解（1）由于分别是的中点，则有，又平面，平面，所以平面．（2）由（1），又，所以，又是中点，所以，，又，所以，所以，是平面内两条相交直线，所以平面，又平面，所以平面平面．考点线面平行与面面垂直．解析详解：空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，，平面BCD，平面BCD∴EF∥平面BCD点睛本题主要考查线面平行的判定定理，考查学生空间想象能力，推理论证能力，分析解决问题的能力，属于中档题.解析