2022届新教材北师大版立体几何单元测试含答案4

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 2022届新教材北师大版  　立体几何  单元测试一、选择题1、设某几何体的三视图如图，则该几何体的体积为（    ）A．12 B．8 C．4 D．22、如图，某几何体的三视图是由三个边长为1的正方形和其内部的一些虚线构成的，则该几何体的体积为（    ）．A． B． C． D．与点的位置有关3、某几何体的三视图如图，其中侧视图与俯视图都是腰长为的等腰直角三角形，正视图是边长为的正方形，则此几何体的表面积为（    ）A．8 B． C． D．4、设，，表示不同的直线，，，表示不同的平面，给出下列四个命题，其中正确命题的有（    ）A．若，且，则B．若，且，则C．若，，，则D．若，，，且，则5、我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的三棱锥称之为“鳖臑”.现有一鳖臑如图所示，底面，，，其体积为8，则这个鳖臑的表面积为（    ）A． B．32 C． D．6、如图为一个几何体的三视图，其中正视图、侧视图都是矩形，俯视图是边长为2的正三角形，则该几何体的表面积为（　　）A．6+ B．24+ C． D．327、如图，一倒立的圆锥和一个底面圆直径为2R的圆柱内装等高H的液体，圆锥的轴截面为等腰直角三角形，圆柱的轴截面为一矩形，H＝R，圆锥内液体体积为V1，圆柱内液体体积为V2，则（　　）A．V1＝2V2 B．V1＝V2 C．V2＝2V1 D．V1＝V28、在我国古代数学名著《九章算术》中将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称之为堑堵，如图，在堑堵ABC﹣A1B1C1中，AB＝BC，AA1＞AB，堑堵的顶点C1到直线A1C的距离为m，C1到平面A1BC的距离为n，则的取值范围是（    ）A．（1，） B．（，） C．（，） D．（，）9、在三棱锥中，，，，，点到底面的距离为2，则三棱锥外接球的表面积为（    ）A． B． C． D．10、已知不同直线、与不同平面、，且，，则下列说法中正确的是（    ）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则11、正四棱锥底面正方形的边长为，高与斜高的夹角为，则该四棱锥的侧面积（ ）A． B． C． D．12、已知圆锥的表面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径为（    ）A． B．3 C． D．二、填空题13、有如下命题：①过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面；②如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内；③平行于同一条直线的两条直线平行；④如果空间中两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．其中作为公理（基本事实）的是_____（填写序号）．14、已知某长方体的所有顶点均在半径为的球面上，且长方体的表面积为22，则此长方体的所有棱长之和为__________.15、已知四面体的所有顶点在球的表面上，平面，，，则球的表面积为_________.16、若球的表面积为，球心到该球的一个截面圆的距离为1，则这个截面圆的面积是________.三、解答题17、（本小题满分10分）如图为一简单组合体，其底面为正方形，棱与均垂直于底面，，求证：平面平面.18、（本小题满分12分）如图，已知正三棱柱（底面是正三角形，侧棱与底面垂直），，，分别是，的中点.（1）证明：平面；（2）求三棱锥的体积.19、（本小题满分12分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是菱形，AB＝AC＝2，PA＝2，PB＝PD.（1）证明：平面PAC⊥平面ABCD；（2）若PA⊥AC，M为PC的中点，求三棱锥B﹣CDM的体积.20、（本小题满分12分）如图所示,底面为平行四边形ABCD的四棱锥P-ABCD中,E为PC的中点.求证:PA∥平面BDE.(要求注明每一步推理的大前提、小前提和结论,并最终把推理过程用简略的形式表示出来)
参考答案1、答案C解析还原该立体图形，由三棱锥体积公式求得答案.详解：还原该立体图形，如图，则其体积为.故选：C点睛本题考查由已知三视图求体积，属于基础题.2、答案C解析由三视图还原几何，该几何体是棱长为1的正方体挖去一个四棱锥，四棱锥的顶点P在平面AA1D1D上，由正方体的体积减去四棱锥的体积即可详解：解：由三视图还原几何体如图所示该几何体是棱长为1的正方体挖去一个四棱锥，四棱锥的顶点P在平面AA1D1D上，所以该几何体的体积为故选：C点睛此题考查由三视图求几何体的体积，关键是由三视图还原几何体，属于中档题3、答案B解析换原几何体得一个底面边长为正方形，高为的四棱锥，进而在正方体内计算表面积即可得解.详解：原几何体为一个底面边长为正方形，高为的四棱锥，如图所示：四棱锥即为所求.其中，所以，.所以表面积为.故选：B.点睛本题主要考查了还原三视图及锥体的表面积的求解，考查了空间想象力，属于基础题.4、答案AD解析对于A，由线面垂直的判定定理判断；对于B，或；对于C，或，，三条直线交于一点；对于D，由线面平行的判定定理、性质定理和公理4判断.详解：由，，表示不同的直线，，，表示不同的平面，知：对于A，若，且，则由线面垂直的判定定理得，故A正确；对于B，若，且，则或，故B错误；对于C，若，，，则或，，三条直线交于一点，故C错误；对于D，若，，，且，则由线面平行的判定定理、性质定理和公理4得到，故D正确.故选：AD.点睛本题主要考查，线线、线面关系命题的判断，还考查了空间想象和逻辑推理的能力，属于基础题.5、答案B解析根据三棱锥的体积求出的长，再求出三棱锥的表面积.详解：解：三棱锥的体积为三棱锥，所以，所以，又平面，所以，又，所以平面，所以，所以，，所以这个鳖臑的表面积为.故选：B.点睛本题考查求棱锥的表面积，考查棱锥的体积，掌握棱锥的体积公式和表面积公式是解题基础．6、答案C解析根据三视图得到该几何体是一个正三棱柱，然后求得侧面积和底面积，再求和即可.详解：由三视图可知：该几何体是一个正三棱柱侧面积为，两个底面的面积为，所以几何体的表面积为故选：C点睛本题主要考查三视图的应用以及几何体表面积的求法，还考查了空间想象的能力，属于基础题.7、答案A解析由题意可得H＝R，得到圆锥的水面圆的直径，进一步得到半径，再由圆锥与圆柱体积公式求解详解：解：如图，圆锥的轴截面为等腰直角三角形，且H＝R，则圆锥的水面圆的直径为，由,所以,故选：B点睛此题考查圆柱与圆锥体积的求法，考查计算能力，属于基础题8、答案D解析设AB＝BC＝1，AA1＝a，用表示出，得出关于的函数，根据的范围可求出的范围.详解：设AB＝BC＝1，则AC＝A1C1，设AA1＝a，则CC1＝a，∴A1C，∴C1到直线A1C的距离m，∵B1C1∥BC，BC？平面A1BC，B1C1？平面A1BC，∴B1C1∥平面A1BC，∴C1到平面A1BC的距离等于B1到平面A1BC的距离，∴，∵BC⊥AB，BC⊥BB1，AB∩BB1＝B，∴BC⊥平面ABB1A1，∴BC⊥A1B，∴，又，∴？？n，∴n.∴.∵AA1＞AB，∴a＞1，∴0，∴.故选：D.点睛该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有几何体的特征，利用等积法求点到平面的距离，求式子的取值范围，属于中档题目.9、答案C解析首先根据垂直关系可确定，由此可知为三棱锥外接球的球心，在中，可以算出的一个表达式，在中，可以计算出的一个表达式，根据长度关系可构造等式求得半径，进而求出球的表面积．详解：取中点，由，可知：，为三棱锥外接球球心，过作平面，交平面于，连接交于，连接，，，，，，为的中点由球的性质可知：平面，，且．设，，，，在中，，即，解得：，三棱锥的外接球的半径为：，三棱锥外接球的表面积为．故选：.点睛本题考查三棱锥外接球的表面积的求解问题，求解几何体外接球相关问题的关键是能够利用球的性质确定外接球球心的位置.10、答案C解析根据空间中平行关系、垂直关系的相关判定和性质可依次判断各个选项得到结果.详解：对于，若，则可能为平行或异面直线，错误；对于，若，则可能为平行、相交或异面直线，错误；对于，若，且，由面面垂直的判定定理可知，正确；对于，若，只有当垂直于的交线时才有，错误.故选：.点睛本题考查空间中线面关系、面面关系相关命题的辨析，关键是熟练掌握空间中的平行关系与垂直关系的相关命题.11、答案A解析详解：如图:正四棱锥的高PO，斜高PE，底面边心距OE组成直角△POE．∵OE=2cm，∠OPE=30°，∴斜高h′=PE=，∴S正棱锥侧=故选：A12、答案B解析设底面圆半径为，高为，根据题目条件列出关于和的方程组，解出.详解：设圆锥的底面半径为，高为，则母线长为，则圆锥的侧面积为，故表面积为，得①，又底面圆周长等于侧面展开半圆的弧长，故，即，得②，联立①②得：，.故答案为：B.点睛本题考查圆圆锥中的相关计算，难度一般，解答的关键在于得出底面半径与高的关系.13、答案①②③解析根据公理可得出结论.详解：公理如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内，命题②为公理；公理过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面，命题①为公理；公理如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线；公理平行于同一条直线的两条直线平行，命题③为公理.命题④为等角定理.故答案为：①②③.点睛本题考查对平面几个公理的理解，属于基础题.14、答案24解析由长方体的体对角线为外接球的直径可知，长方体的表面积为22可得，联立可得：，即可得棱长之和.详解：设该长方体的长、宽、高分别为，由体对角线为外接球的直径得①，由长方体的表面积为22得:②，①②两式相加得，即，故此长方体的所有棱长之和为.故答案为：24点睛本题主要考查了长方体的外接球的直径即是长方体的体对角线，涉及长方体的表面积公式，属于基础题.15、答案解析将四面体补成直三棱柱，根据题意画出图象，设，的外心分别为，，则点为线段的中点，求出，在根据正弦定理，求出，根据勾股定理和球的表面积公式，即可求得答案.详解：四面体的所有顶点在球的表面上，且平面，将四面体补成直三棱柱，设，的外心分别为，，则点为线段的中点，根据直棱柱特征可得：面根据题意画出图象，如图：可得：，在根据正弦定理：(为三角形外接圆半径)根据为的外心，可得为外接圆半径即，面，面故为直角三角形在中，根据勾股定理可得：，.故答案为：.点睛本题主要考查了求四面体外接球表面积问题，解题关键是掌握将四面体补成直三棱柱求外接球半径的方法和球的表面积公式，数形结合，考查了分析能力和空间想象能力，属于中档题.16、答案解析作出图形，由球的表面积，可求出球的半径，结合△为直角三角形，可得截面圆的半径，进而可求出截面圆的面积.详解：如下图，设球心为，球的半径为，则，解得，设截面圆的半径为，圆心为，球与截面圆的一个交点为，则，，，又△为直角三角形，所以，所以截面圆的面积为.故答案为：.点睛本题考查球的截面，利用构造直角三角形的方法求解是解题的关键，考查学生的计算求解能力，属于基础题.详解：由于四边形是正方形，，平面，平面，平面，平面，平面，，平面，平面，平面，，平面平面.点睛本题考查面面平行的证明，考查推理能力，属于基础题.解析18、答案（1）证明见解析；（2）（2）由为的中点，可得到底面的距离等于，再求出底面的面积，代入棱锥体积公式求解．详解：（1）如图，取的中点，连接，，，，四边形为平行四边形，则，平面，平面，平面；，分别为，的中点，，平面，平面，平面，又，平面平面，平面则平面；（2）为的中点，到底面的距离等于．又底面是边长为2的等边三角形，．．点睛本题主要考查直线与平面平行的判定以及锥体的体积，考查空间想象能力与思维能力，考查了计算能力，是中档题．解析19、答案（1）见解析；（2）1（2）利用进行转化，先证出平面，从而确定出棱锥的高，利用椎体体积公式求得结果.详解：（1）证明：设交于点，连接，在菱形中，，又，是的中点，，，平面，平面，平面，又平面，故平面⊥平面；（2）解：连接，为的中点，且为的中点，，由（1）知，，又，则，，又，平面，又，，.三棱锥的体积为1.点睛本题主要考查面面垂直的判定定理以及三棱锥体积的求法.证明面面垂直，可根据判断定理进行证明，即先由线线垂直证明线面垂直，再由线面垂直证明面面垂直，本质上是证明线面垂直；求三棱锥体积时，如果不能直接求解或者直接求解比较麻烦，可以进行转化，比如本题中，三棱锥的体积可以转化为以三角形为底，求的体积.解析连接AC交BD于O,连接OE,由已知OE为△PAC的中位线(小前提),所以PA∥OE(结论).(2)平面外一条直线和平面内一直线平行,则平面外的直线与该平面平行(大前提), (小前提),所以PA∥平面BDE(结论).上面的证明可简略地写成:连接AC交BD于O.连接OE,∵四边形ABCD为平行四边形,∴O为AC的中点.又∵E为PC的中点,∴在△PAC中,PA∥OE, ,∴PA∥平面BDE.解析