2022届新教材北师大版立体几何单元测试含答案2

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2022届新教材北师大版  　立体几何      单元测试一、选择题1、棱长为a的正四面体ABCD与正三棱锥的底面重合，若由它们构成的多面体ABCDE的顶点均在一球的球面上，则正三棱锥的表面积为（    ）A． B． C． D．2、某几何体的三视图如图，其中侧视图与俯视图都是腰长为的等腰直角三角形，正视图是边长为的正方形，则此几何体的表面积为（    ）A．8 B． C． D．3、正六棱锥底面边长为，体积为，则侧棱与底面所成的角为（ ）．A．30° B．45° C．60° D．75°4、已知直线平面，直线平面，则“直线”是“，且”的（    ）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件5、一个多面体的三视图如图所示，其中正视图是正方形，侧视图是等腰三角形，则该几何体的表面积为（  ）A．168 B．98 C．108 D．886、如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中①BM与ED成 角②NF与BM是异面直线③CN与BM成角 ④DM与BN是异面直线以上四个结论中，正确结论的个数是（    ）A．1个      B．2个       C．3个      D．4个 7、阿基米德（公元前287年—公元前212年）是古希腊伟大的哲学家、数学家和物理学家，他和高斯、牛顿并列被称为世界三大数学家.据说，他自己觉得最为满意的一个数学发现就是“圆柱内切球体的体积是圆柱体积的三分之二，并且球的表面积也是圆柱表面积的三分之二”.他特别喜欢这个结论，要求后人在他的墓碑上刻着一个圆柱容器里放了一个球，如图，该球顶天立地，四周碰边，表面积为的圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则该球的体积为 （    ）A． B． C． D．8、下列说法中正确的个数是（     ）①圆锥的轴截面是等腰三角形；②用一个平面去截棱锥，得到一个棱锥和一个棱台；③棱台各侧棱的延长线交于一点；④有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱． A．0 B．1 C．2 D．39、在三棱锥中，，，，，点到底面的距离为2，则三棱锥外接球的表面积为（    ）A． B． C． D．10、已知不同直线、与不同平面、，且，，则下列说法中正确的是（    ）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则11、正四棱锥底面正方形的边长为，高与斜高的夹角为，则该四棱锥的侧面积（ ）A． B． C． D．12、已知圆锥的表面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径为（    ）A． B．3 C． D．二、填空题13、有如下命题：①过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面；②如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内；③平行于同一条直线的两条直线平行；④如果空间中两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．其中作为公理（基本事实）的是_____（填写序号）．14、已知某长方体的所有顶点均在半径为的球面上，且长方体的表面积为22，则此长方体的所有棱长之和为__________.15、在四棱锥中，底面四边形为矩形，平面，，分别是线段的中点，点在线段上，若，，，则____________.16、如图，边长为2的正方形中，点、分别是边、的中点，、、分别沿、、折起，使、、三点重合于点，若四面体的四个顶点在同一个球面上，则该球的表面积为________.三、解答题17、（本小题满分10分）如图，在正方体中，？分别是平面？平面的中心，证明:（1）平面；（2）平面平面.18、（本小题满分12分）如图所示,底面为平行四边形ABCD的四棱锥P-ABCD中,E为PC的中点.求证:PA∥平面BDE.(要求注明每一步推理的大前提、小前提和结论,并最终把推理过程用简略的形式表示出来)19、（本小题满分12分）如图在三棱锥中，分别为棱的中点，已知.求证：（1）直线平面；（2）平面平面.20、（本小题满分12分）如图，已知三棱锥A-BPC中，，M为AB的中点，D为PB的中点，且为正三角形.（1）求证：平面APC；（2）若，，求三棱锥D-BCM的体积.
参考答案1、答案A解析由棱长为的正四面体求出外接球的半径，进而求出正三棱锥的高及侧棱长，可得正三棱锥的三条侧棱两两相互垂直，进而求出正三棱锥的表面积.详解由题意，多面体ABCDE的外接球即正四面体ABCD的外接球，由题意可知面交于，连接，则且其外接球的直径为AE，易求正四面体ABCD的高为.设外接球的半径为R，由得.设正三棱锥的高为h，因为，所以.因为底面的边长为a，所以，则正三棱锥的三条侧棱两两垂直.即正三棱锥的表面积，故选：A.点睛本题主要考查正三棱锥的外接球问题，通过求得半径求出四面体的边长是解题的关键，考查了学生的空间想象能力，属于中档题．2、答案B解析换原几何体得一个底面边长为正方形，高为的四棱锥，进而在正方体内计算表面积即可得解.详解：原几何体为一个底面边长为正方形，高为的四棱锥，如图所示：四棱锥即为所求.其中，所以，.所以表面积为.故选：B.点睛本题主要考查了还原三视图及锥体的表面积的求解，考查了空间想象力，属于基础题.3、答案B解析因为正六棱锥的底面边长为，所以，又体积为，所以棱锥的高，所以侧棱长为，所以侧棱与底面所成的角为．故选B．考点：正六棱锥的体积4、答案A解析根据线面垂直的性质及判定以及充分必要条件判断即可．详解：直线平面，直线平面，则“直线”能推出“，且”，是充分条件，反之“，且”，直线m与平面不一定垂直，不是必要条件，故选：A点睛本题考查了线面垂直的性质及判定以及充分必要条件，属于基础题．5、答案D解析由三视图可知该几何体是直三棱柱，且三棱柱的高为4，底面是等腰三角形，三角形的底边边长为6，高为4，求出底面三角形的周长，利用侧面积公式与三角形的面积公式计算可得答案．详解由三视图知该几何体是直三棱柱，且三棱柱的高为4，底面是等腰三角形，三角形的底边边长为6，高为4，∴腰长为5，∴底面三角形的周长为5+5+6＝16，∴几何体的表面积S＝2××6×4+（5+5+6）×4＝24+64＝88.故选：D．点睛本题考查了由三视图求几何体的表面积，解答此类问题的关键是判断几何体的形状及数据所对应的几何量.6、答案C解析根据展开图，画出立体图形，与垂直，不成，与是异面直线，与成，与是异面直线，故②③④正确，故选C．7、答案C解析设球的半径为R，根据组合体的关系，圆柱的表面积为，解得球的半径，再代入球的体积公式求解.详解：设球的半径为R，根据题意圆柱的表面积为，解得，所以该球的体积为 .故选：C点睛本题主要考查组合体的表面积和体积，还考查了对数学史了解，属于基础题.8、答案C解析利用空间几何体的概念对每一个命题的正误逐一判断得解.详解对于①，圆锥的轴截面是两腰等于母线长的等腰三角形，①正确；对于②，只有用一个平行于底面的平面去截棱锥，才能得到一个棱锥和一个棱台，②错误；对于③，棱台是用一个平行于底面的平面去截棱锥所得的几何体，所以它的各侧棱延长线交于一点，③正确；对于④，有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体不一定是棱柱，如：把两个同底面的倾斜方向不同的斜四棱柱拼在一起，这个几何体有两个面平行，其余各面都是平行四边形，但是这个几何体不是四棱柱，所以④错误；综上所述，正确命题的序号是①③，共2个．故选：C．点睛本题主要考查空间几何体的概念，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.9、答案C解析首先根据垂直关系可确定，由此可知为三棱锥外接球的球心，在中，可以算出的一个表达式，在中，可以计算出的一个表达式，根据长度关系可构造等式求得半径，进而求出球的表面积．详解：取中点，由，可知：，为三棱锥外接球球心，过作平面，交平面于，连接交于，连接，，，，，，为的中点由球的性质可知：平面，，且．设，，，，在中，，即，解得：，三棱锥的外接球的半径为：，三棱锥外接球的表面积为．故选：.点睛本题考查三棱锥外接球的表面积的求解问题，求解几何体外接球相关问题的关键是能够利用球的性质确定外接球球心的位置.10、答案C解析根据空间中平行关系、垂直关系的相关判定和性质可依次判断各个选项得到结果.详解：对于，若，则可能为平行或异面直线，错误；对于，若，则可能为平行、相交或异面直线，错误；对于，若，且，由面面垂直的判定定理可知，正确；对于，若，只有当垂直于的交线时才有，错误.故选：.点睛本题考查空间中线面关系、面面关系相关命题的辨析，关键是熟练掌握空间中的平行关系与垂直关系的相关命题.11、答案A解析详解：如图:正四棱锥的高PO，斜高PE，底面边心距OE组成直角△POE．∵OE=2cm，∠OPE=30°，∴斜高h′=PE=，∴S正棱锥侧=故选：A12、答案B解析设底面圆半径为，高为，根据题目条件列出关于和的方程组，解出.详解：设圆锥的底面半径为，高为，则母线长为，则圆锥的侧面积为，故表面积为，得①，又底面圆周长等于侧面展开半圆的弧长，故，即，得②，联立①②得：，.故答案为：B.点睛本题考查圆圆锥中的相关计算，难度一般，解答的关键在于得出底面半径与高的关系.13、答案①②③解析根据公理可得出结论.详解：公理如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内，命题②为公理；公理过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面，命题①为公理；公理如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线；公理平行于同一条直线的两条直线平行，命题③为公理.命题④为等角定理.故答案为：①②③.点睛本题考查对平面几个公理的理解，属于基础题.14、答案24解析由长方体的体对角线为外接球的直径可知，长方体的表面积为22可得，联立可得：，即可得棱长之和.详解：设该长方体的长、宽、高分别为，由体对角线为外接球的直径得①，由长方体的表面积为22得:②，①②两式相加得，即，故此长方体的所有棱长之和为.故答案为：24点睛本题主要考查了长方体的外接球的直径即是长方体的体对角线，涉及长方体的表面积公式，属于基础题.15、答案解析取的中点，连接，则，可证平面，从而可得平面，即可得，进而可证平面，可得，在直角中，利用等面积法即可求出的长.详解：取的中点，连接，则因为平面，平面，所以，又，，所以平面，所以平面，又平面，所以.又，，平面,所以平面，因为平面，所以.因为分别为的中点，所以，所以,在直角中，，所以，所以.故答案为：点睛本题主要考查线面垂直的判定定理，等面积法，属于中档题.16、答案解析把棱锥扩展为正四棱柱，求出正四棱柱的外接球的半径，就是三棱锥的外接球的半径，由此能求出该球的表面积，得到答案．详解由题意，知是等腰直角三角形，且平面，三棱锥的底面扩展为边长为1的正方形，然后扩展为正四棱柱，三棱锥和外接球与正四棱柱的外接球是同一个球，正四棱柱的对角线长就是外接球的直径，所以球的半径，所以该球的表面积为．故答案为：．点睛本题主要考查了球的表面积的求法，同时考查空间几何体的结构特征的应用，着重考查了推理与论证能力，以及运算能力，属于中档试题． (2)根据(1)中的结论再证明即可.详解：（1）由是正方体,可知,,∵平面,平面,∴平面.（2）由是正方体,可知,,∵平面,年平面,∴平面,由（1）知,平面,又,∴平面平面.点睛本题主要考查了线面平行与面面平行的证明,属于基础题.解析连接AC交BD于O,连接OE,由已知OE为△PAC的中位线(小前提),所以PA∥OE(结论).(2)平面外一条直线和平面内一直线平行,则平面外的直线与该平面平行(大前提), (小前提),所以PA∥平面BDE(结论).上面的证明可简略地写成:连接AC交BD于O.连接OE,∵四边形ABCD为平行四边形,∴O为AC的中点.又∵E为PC的中点,∴在△PAC中,PA∥OE, ,∴PA∥平面BDE.解析详解（1）由于分别是的中点，则有，又平面，平面，所以平面．（2）由（1），又，所以，又是中点，所以，，又，所以，所以，是平面内两条相交直线，所以平面，又平面，所以平面平面．考点线面平行与面面垂直．解析20、答案（1）证明见解析；（2）（2）根据题意得到平面BCD的距离为的长，由三棱锥D-BCM的体积即为三棱锥M-BCD的体积，由题设条件求出的长，及三角形BCD的面积，由椎体体积公式代入数据求解即可.详解（1）证明：因为M为AB的中点，D为PB的中点，所以MD是的中位线，.又平面APC，平面APC，所以平面APC.（2）在等边三角形PMB中，D为PB的中点，，，又，平面PBC，，平面PBC，平面PBC，平面PBC，，又，平面PAC，，平面PAC，平面PBC，.平面PBC，即MD是三棱锥M-DBC的高.又因为，M为AB的中点，为正三角形，所以，，由平面APC，可得，在直角三角形PCB中，由，可得.于是,所以.点睛本题主要考查线面平行的判定及椎体的体积，解题的关键时对三棱锥体积的转化.解析