数学七年级上册第1章 走进数学世界综合与测试教案

一、复习目标

1.         理解平行四边形的概念、掌握其性质和判定.

2.         运用平行四边形知识解决相关的证明问题和计算问题.

二、知识点

（一）知识结构图

（二）平行四边形的性质

1.         边：平行四边形的对边平行且相等

2.         角：平行四边形的对角相等、邻角互补

3.         对角线：平行四边形的对角线互相平分

（三）平行四边形的判定

1.         边：

（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形

（2）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形

（3）两组对边分别相等的四边形是平行四边形

2.  对角线：

对角线互相平分的四边形是平行四边形.

三、基础训练  

1、如图1：在□ABCD中，已知∠A+∠C=100°，求∠A，∠Ｂ，∠Ｃ，∠Ｄ的度数.

2、如图2，AB=AC，且AB=5，从等腰三角形底边上任一点，分别作两腰的平行线，则所成的平行四边形AEFD的周长是      .

3、如图3，□ABCD和□EAFC的顶点D、E、F、B在同一条直线上，则下列关系中正确的是（      ）

A、DE＞BF    B、DE＝BF    C、DE＜BF    D、DE＝FE＝BF

4、如图4，□ABCD中，BD＝CD，∠C＝70 °，AE⊥BD于E，则∠DAE＝（      ）

A、20°         B、25°         C、30°         D、35°

四、典型例题

例1  已知如图5，在四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，点E、F分别在BC和AD边上，AF＝CE，EF和对角线BD相交于点O，求证：点O是BD的中点.

分析：利用全等三角形或构造平行四边形来证明BO＝DO.

证法一：通过证明FD＝BE，可证得△BOE≌△DOF，于是有BO＝DO.

证法二：连结BF、DE

   在四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC

      ∴四边形ABCD是平行四边形

      ∴AD∥BC，AD＝BC

    又∵AF＝CE

      ∴FD∥BE，FD＝BE

      ∴四边形BEDF是平行四边形

      ∴BO＝DO，即点O是BD的中点.

例2  已知如图6，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA边上的中点.

求证：四边形EFGH是平行四边形.

分析：欲证四边形EFGH是平行四边形，根据条件需从边上着手分析，由E、F、G、H分别是各边上的中点，可联想到三角形的中位线定理，连结AC后，EF和GH的关系就明确了，此题也便得证.（证明略）

变式1：如图7，若AC＝BD，则四边形EFGH为菱形.

如顺次连结矩形四边中点所得的四边形是菱形（如图8）.

顺次连结等腰梯形四边中点所得的四边形是菱形(如图9).

变式2：如图10，AC⊥BD，则四边形EFGH为矩形.

如顺次连结菱形四边中点所得的四边形是矩形(如图11).

变式3：如图12，AC＝BD，AC⊥BD，则四边形EFGH是正方形.

如顺次连结正方形四边中点所得的四边形是正方形(如图13).

变式4：已知如图14，在四边形ABCD中，若AB＝CD，E、F、G、H分别为AD、BC、BD、AC的中点，求证：四边形EGFH是菱形.

变式5：已知如图15，在四边形ABCD中，E为边AB上的一点，△ADE和△BCE都是等边三角形，P、Q、M、N分别是AB、BC、CD、DA边上的中点.

求证：四边形PQMN是菱形.

五、能力训练

（一）、填空题：

1、如图16，□ABCD的对角线AC、BD相交于O，EF过点O，且EF⊥BC于F，∠1＝30°，∠2＝45 °，OD＝2，则AC的长为       .

2、如图17所示，□ABCD的周长为30，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，且AE∶AF＝2∶3，∠C＝120 ° ，则平行四边形ABCD的面积为        .

（二）解答题：

3、如图18，在□ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥DC于F，∠ADC＝60°，BE＝2，CF＝1，连结DE交AF于点P，求EP的长.

参考答案：

解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠B＝∠ADC＝60°，∵BE＝2，AE⊥BC，∴AB＝2BE＝4，∴DF＝DC－CF＝AB－CF＝4－1＝3，∴AD＝2 DF＝6，∴EC＝BC－BE＝AD－BE＝6－2＝4＝DC，又∠BCD＝120 ° ，∴∠EDC＝30 ° ，求得∠APE＝∠EAP＝60 ° ，△AEP为等边三角形，EP＝AE＝2 .

4、如图19，在△ABC中，∠ACB＝90°，D、F分别为AC、AB的中点，点E在BC的延长线上，∠CDE＝∠A.

（1）求证：四边形DECF是平行四边形；

（2）若sinA＝ ，四边形EBFD的周长为22，求DE的长.

参考答案：

（1）证明：∵∠ACB＝90°，F为AB的中点，∴CF＝ AB＝AF，∴∠A＝∠ACF，∵∠CDE＝∠A，∴∠CDE＝∠ACF，∴ED∥CF，∵D、F分别为AC、AB的中点，∴DF∥BC，∴四边形DECF是平行四边形；（2）解：∵DF∥BC，∠ACB＝90°，∴∠ADF＝90°，∵sinA＝，∴设DF＝3k，BF＝AF＝5k，∴DE＝CF＝AF＝5k，∵D、F分别为AC、AB的中点，∴BC＝2DF＝6k，∴BF+DF+DE+（EC+BC）＝22k＝22，∴k＝1，∴DE＝5k＝5.

5、(2010年河南)如图20，四边形ABCD是平行四边形，△AB′C和△ABC关于AC所在的直线对称，AD和B′C相交于点O，连结BB′.

（1）请直接写出图中所有的等腰三角形（不添加字母）；

（2）求证：△AB′O≌△CDO.

参考答案：

（1）解：△ABB′，△CBB′，△AOC

（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，∠ABC＝∠D，∵△AB′C和△ABC关于AC所在的直线对称，∴AB＝AB′，∠ABC＝∠AB′C，∴AB′＝CD，∠AB′C＝∠D，∵∠AOB′＝∠COD，

∴△AB′O≌△CDO.

六、归纳与小结