人教版中考数学二轮复习专题练习上常用辅助线-旋转

这是一份人教版中考数学二轮复习专题练习上常用辅助线-旋转，共23页。试卷主要包含了如图，正方形中，．求证，如图等内容，欢迎下载使用。
3.辅助线之—旋转1.如图，以正方形的边为斜边在正方形内作直角三角形，，、交于．已知、的长分别为、，求三角形的面积．解析：显然，所以，所以，所以，则逆时针旋转，旋转，则与重合，落在上的处，且,,,因为,所以,所以是等腰直角三角形．且，作，所以．所以． 2.如图所示，在四边形中，，，于，若四边形的面积是，求的长．解析：把绕点逆时针旋转，使与重合，则,,四边形为矩形.旋转至，则，矩形为正方形，且，∴． 3.如图，正方形中，．求证：．答案：见解析解析：∵四边形是正方形，∴.将绕点顺时针旋转至,使与重合.则，且，.∵，∴.∵，且,∴.故. 4.如图，正方形的边长为，点在线段上运动，平分交边于点．求证：．答案：见解析解析：∵四边形是正方形，∴.将绕点顺时针旋转至,使与重合.则，且，.∵平分，∴，∴，即．∵，∴，∴，∴．即．∴，得证． 5.、分别是正方形的边、上的点，且，，为垂足，求证：．答案：见解析解析：∵四边形绕为正方形，∴.将绕点顺时针旋转至.则，.∵，∴.∴，即.∵,∴.根据全等三角形的对应高相等(利用三角形全等可证得)，可得. 6.如图所示，在正方形中，，点、分别在、上，且，，求的面积．答案：见解析解析：如图所示，将绕点顺时针旋转，得到，则、、共线.,.而，且，故，∵,∴.由此可得，，∴，∴.在中，，，故，.在中，，则.故. 7.如图，正方形的边长为，、上各存一点、，若的周长为，求的度数．解析：把绕点旋转到的位置，．∵，又，∴．又，∴．∴．∴．又∵，∴． 8.如图：正方形的边长为，是的中点，点在上，且．则的长是多少．的面积是多少.答案：5；15解析：①求的长：∵四边形为正方形，∴.将绕点逆时针旋转至处，使与重合，则，..∵，∴，则,∵，∴，∴.设，则,.∴在中，有.∴，解得.∴.②求的面积：∵,∴.9.如图，在直角梯形中，，，，是 上一点，且，，求的长．解析：过作，交延长线于．∵四边形是正方形，∴.将绕点顺时针旋转，至,使与重合.则有，，.∵,∴.∴.∵，∴.故.设，则，，在中，.即.解这个方程，得：． ∴． 10.如图，在中，，，是内的一点，且，求的度数．解析：如图，将绕点旋转，使与重合，即，PC=CE，,∵,∴.∴为等腰直角三角形，∴，. 又∵，∴则.∴. 11.如图，是等边内一点，若，，，求的度数．解析：如图，将沿点逆时针旋转，则，连接，．，，∴为等边三角形，，．∴，， 12.为等边内一点，，，求证：以、、为边可以构成一个三角形，并确定所构成的三角形的各内角的度数.答案：见解析解析：要判断、、三条线段可以构成一个三角形的三边，常采用判定其中任意两条线段之和大于第三条线段的办法，然而求所构成的三角形各内角的度数时又会束手无策.如果以为中心，将逆时针旋转，则点变到点，线段变到，点变到点，此时，，并且，.为等边三角形，所以，.这时，就是以、、为三边构成的三角形.易知而所以因此 13.如图，为正方形内一点，．求的度数．解析：∵四边形为正方形，∴.将绕着点按顺时针旋转到的位置（如图），连接．则∴是等腰直角三角形.∴∵∴∴为直角三角形. ∴, ∴. 13.如图所示，是等边中的一点，，，，试求的边长.答案：解析：由于有等边三角形，故可考虑将绕点旋转，使、、出现在一个三角形中，从而构造出一个直角三角形.解：将绕点逆时针旋转，则与重合，点转至点，点转至点，连接，如图所示，有，，.故为等边三角形，，在中，，故，，从而有，故．所以，在中，，. 14.如图所示，为正方形内一点，若，，.求：⑴ 的度数；⑵ 正方形的边长.答案：（1）；（2）解析：（1）将绕点顺时针旋转，得到.连接，因为，，所以，.在中，，，，则，所以，故.（2）因，则、、三点共线，故，，在中，根据勾股定理得所以. 15.在中，，是内任意一点，已知，求证：．答案：见解析解析：因为，所以可将绕点旋转到的位置，连结、、，则，，因为，所以由，可得，则．，即． 16.如图，是等边外的一点，，，，求的度数．答案：30解析：∵，∴将绕点逆时针旋转至，使与重合，则，,，.∴,∴为等边三角形，则，,在中，∵,∴为直角三角形，即.∴. 17.如图，正方形内一点，，连结、，请问：是等边三角形吗？为什么？答案：见解析解析：将绕点逆时针旋转，得，再作关于的轴对称图形，得.所以，,，∴为等边三角形，即.又∵，∴.∵，∴,则有.∵.∴，∴.∴，∴.同理可得.∴为等边三角形. 18.中，，四边形是的内接正方形，，，求的值.解析：如图，∵四边形是正方形，∴，将绕点逆时针旋转至，使与重合.则有.∵,∴.∵，∴.故. 19.梯形中，，，，，，且，求的长和面积.解析：∵，∴将绕点顺时针旋转，至处，使与重合.则，，，延长交于点，∵旋转角是，∴，∵，∴，∴四边形是矩形，，∵，∴，，在中，根据勾股定理有，即，解得.. 20.在梯形中，，，，，若，求的长。答案：6或4解析：∵，∴，过点作，交延长线与点，故四边形是矩形，∵，∴矩形是正方形，则，将绕点顺时针，至处，则，∴,∵，∴，∴，∵，∴，∴，设，则，，∴,∵,∴在中，，解得或，即的长为或. 21.如图，等边三角形内一点，且，，求以为边的三角形各内角的度数。答案：见解析解析：要判断、、三条线段可以构成一个三角形的三边，常采用判定其中任意两条线段之和大于第三条线段的办法，然而求所构成的三角形各内角的度数时又会束手无策.如果以为中心，将逆时针旋转，则点变到点，线段变到，点变到点，此时，，并且，.为等边三角形，所以，.这时，就是以、、为三边构成的三角形.易知而所以因此 22.如图，中，，，是中点，，与交于，与交于．求证：，． 答案：见解析解析：连结．∵，,∴∵是中点,∴且∵,∴∵,∴在与中，，，∴∴．∵∴． 23.在等腰直角中，，，是的中点，点从出发向运动， 交于点，试说明的形状和面积将如何变化． 答案：见解析解析：连接．因为且，所以．因为是的中点，所以，，∴，则．因为，所以，所以，所以．因此是等腰直角三角形，在的运动过程中形状不变．的面积与边的大小有关．当点从出发到中点时，面积由大变小；当是中点时，三角形的面积最小；继续向点运动时，面积又由小变大． 24.等腰直角三角形，，，为中点，，试猜想，、、三者的关系．答案：见解析解析：如图，过点作，交于，连结，∵,.∴,∵且.∴，∴，，，，∴，∴.∴.又∵，∴、、又存在另一关系式.