中考数学二轮复习培优专题17 全等三角线中的辅助线做法及常见题型之双等腰旋转 (含解析)

专题17：第三章 全等三角形中的辅助线的做法及常见题型之双等腰旋转

一、单选题

1．如图，在等腰中，，，点在上，以为边向右作等腰，，连接，若，则的长为（    ）

A．2 B． C． D．4

2．在Rt△ABC中，AC=BC，点D为AB中点．∠GDH=90°，∠GDH绕点D旋转，DG，DH分别与边AC，BC交于E，F两点．下列结论：①AE+BF=AB；②AE2+BF2=EF2；③S四边形CEDF=S△ABC；④△DEF始终为等腰直角三角形．其中正确的是(   )

A．①②④ B．①②③

C．①③④ D．①②③④

3．如图，，与的平分线相交于点，于点，为中点，于，．下列说法正确的是(　　)

①；②；③；④若，则．

A．①③④ B．②③ C．①②③ D．①②③④

4．如图，已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点P是边BC中点，两边PE、PF分别交AB、AC于点E、F，当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时（点E不与A、B重合），给出以下四个结论：①AE=CF；②△EPF是等腰直角三角形；③四边形AEPF的面积=△ABC的面积的一半，④当EF最短时，EF=AP，上述结论始终正确的个数为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4

二、填空题

5．如图，和都是等腰直角三角形，，，则___________度．

6．如图，在中，，点P在斜边上，以为直角边作等腰直角三角形，，则三者之间的数量关系是_____．

7．两块等腰直角三角形纸片AOB和COD按图1所示放置，直角顶点重合在点O处，AB＝13，CD＝7．保持纸片AOB不动，将纸片COD绕点O逆时针旋转a（0α90°），如图2所示．当BD与CD在同一直线上（如图3）时，则△ABC的面积为____．

三、解答题

8．已知Rt△OAB和Rt△OCD的直角顶点O重合，∠AOB=∠COD=90°，且OA=OB，OC=OD．

（1）如图1，当C、D分别在OA、OB上时，AC与BD的数量关系是AC     BD（填“>”，“<”或“=”）AC与BD的位置关系是AC     BD（填“∥”或“⊥”）；

（2）将Rt△OCD绕点O顺时针旋转，使点D在OA上，如图2，连接AC，BD，求证：AC=BD；

（3）现将Rt△OCD绕点O顺时针继续旋转，如图3，连接AC，BD，猜想AC与BD的数量关系和位置关系，并给出证明．

9．在Rt△ABC中,AB=AC,D为BC边上一点(不与点B,C重合),将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE.

(1)连接EC，如图①，试探索线段BC，CD，CE之间满足的等量关系，并证明你的结论；

(2)连接DE，如图②，求证：BD2+CD2=2AD2

(3)如图③,在四边形ABCD中，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°，若BD=，CD=1，则AD的长为     ▲ .(直接写出答案）

10．已知△ACB为等腰直角三角形，点P在BC上，以AP为边长作正方形APEF，

（1）如图①，当点P在BC上时，求∠EBP；

（2）如图②，当点P在BC的延长线上时，求∠EBP．

11．如图，中，，，在AB的同侧作正、正和正，求四边形PCDE面积的最大值．

12．如图，△AOB和△COD均为等腰直角三角形，∠AOB＝∠COD＝90°，点C、D分别在边OA、OB上的点．连接AD，BC，点H为BC中点，连接OH．

（1）如图1，求证：OH＝AD，OH⊥AD；

（2）将△COD绕点O旋转到图2所示位置时，⑴中结论是否仍成立？若成立，证明你的结论；若不成立，请说明理由．

参考答案

1．C

【解析】

【分析】

连接CE，根据题意可证得，所以，所以，在等腰，根据，可求出，在中，，所以，设，则，根据勾股定理可得出关于的方程，解出即可得出答案.

【详解】

解：如图，连接CE，

，

，

，

在与中，

，

，

，

；

在等腰，

，

，

在中，

，

设，则，

解得：，

；

故选：C.

【点睛】

本题考查全等三角形以及勾股定理解特殊直角三角形；题中如果出现两个等腰三角形，顶角相等且重合，则可以考虑手拉手证明全等三角形，题中如果出现等腰直角三角形或者含有的直角三角形，可利用这两种特殊三角形边之间的关系，已知一边长度，即可求出其他两条边的长度.

2．D

【解析】

【分析】

连接CD根据等腰直角三角形的性质就可以得出△ADE≌△CDF，就可以得出AE=CF，进而得出CE=BF，就有AE+BF=AC，由勾股定理就可以求出结论．

【详解】

连接CD，∵AC=BC，点D为AB中点，∠ACB=90°，

∴AD=CD=BD=AB．∠A=∠B=∠ACD=∠BCD=45°，∠ADC=∠BDC=90°．

∴∠ADE+∠EDC=90°，

∵∠EDC+∠FDC=∠GDH=90°，

∴∠ADE=∠CDF．

在△ADE和△CDF中，

∴△ADE≌△CDF（ASA），

∴AE=CF，DE=DF，S△ADE=S△CDF．

∵AC=BC，

∴AC-AE=BC-CF，

∴CE=BF．

∵AC=AE+CE，

∴AC=AE+BF=．

∵DE=DF，∠GDH=90°，

∴△DEF始终为等腰直角三角形．

∵CE2+CF2=EF2，

∴AE2+BF2=EF2．

∵S四边形CEDF=S△EDC+S△EDF，

∴S四边形CEDF=S△EDC+S△ADE=S△ABC．

∴正确的有①②③④．

故选D．

【点睛】

本题考查了等腰直角三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，解题关键是证明△ADE≌△CDF．

3．C

【解析】

【分析】

根据平行线的性质以及角平分线的定义即可得到从而根据三角形的内角和定理得到，即可判断①正确性；根据等角的余角相等可知，再由角平分线的定义与等量代换可知，即可判断②正确性；通过面积的计算方法，由等底等高的三角形面积相等，即可判断③正确性；通过角度的和差计算先求出的度数，再求出，再由三角形内角和定理及补角关系即可判断④是否正确．

【详解】

①中，∵AB∥CD，

∴，

∵∠BAC与∠DCA的平分线相交于点G，

∴，

∵，

∴

∴AG⊥CG，

则①正确；

②中，由①得AG⊥CG，

∵，，

∴根据等角的余角相等得，

∵AG平分，

∴，

∴，

则②正确；

③中，根据三角形的面积公式，∵为中点，∴AF=CF，∵与等底等高，∴，则③正确；

④中，根据题意，得：在四边形GECH中，，

又∵，

∴，

∵CG平分∠ECH，

∴，

根据直角三角形的两个锐角互余，得.

∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，则④错误.

故正确的有①②③，

故选：C．

【点睛】

本题主要考查了三角形的综合应用，涉及到三角形面积求解，三角形的内角和定理，补角余角的计算，角平分线的定义，平行线的性质等相关知识点以及等量代换等数学思想，熟练掌握相关角度的和差倍分计算是解决本题的关键.

4．D

【解析】

【分析】

根据等腰直角三角形的性质可得∠BAP=∠C=45°，AP=CP，根据等角的余角相等求出∠APE=∠CPF，然后利用“角边角”证明△AEP和△CPF全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=CF，PE=PF，全等三角形的面积相等求出S四边形AEPF=S△APC，然后解答即可．

【详解】

∵AB=AC，∠BAC=90°，∴△ABC是等腰直角三角形．

∵点P为BC的中点，∴∠BAP=∠C=45°，AP=CP．

∵∠EPF是直角，∴∠APE+∠APF=∠CPF+∠APF=90°，∴∠APE=∠CPF．

在△AEP和△CPF中，∵，∴△AEP≌△CPF（ASA），∴AE=CF，PE=PF，S△APE=S△CPF，∴S四边形AEPF=S△APC，∴S四边形AEPF=S△ABC，根据等腰直角三角形的性质，EF=PE，所以，EF随着点E的变化而变化，只有当点E为AB的中点时，EF=PE=AP，此时，EF最短；故①②③④正确．

故选D．

【点睛】

本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟记各性质并求出三角形全等是解题的关键．

5．132

【解析】

【分析】

先证明△BDC≌△AEC，进而得到角的关系，再由∠EBD的度数进行转化，最后利用三角形的内角和即可得到答案．

【详解】

解：∵，∴，

在和中，，

∴，∴，

∵，

∴，∴，

∴．

故答案为132

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是准确寻找全等三角形解决问题．

6．PA2+PB2=2PC2

【解析】

【分析】

把AP2和PB2都用PC和CD表示出来，结合Rt△PCD中，可找到PC和PD和CD的关系，从而可找到PA2，PB2，PC2三者之间的数量关系；

【详解】

解：过点C作CD⊥AB，交AB于点D

∵△ACB为等腰直角三角形，CD⊥AB，

∴CD=AD=DB，
∵PA2=（AD-PD）2=（CD-PD）2=CD2-2CD•PD+PD2，
PB2=（BD+PD）2=（CD+PD）2=CD2-2CD•PD+PD2，
∴PA2+PB2=2CD2+2PD2=2（CD2+PD2），
在Rt△PCD中，由勾股定理可得PC2=CD2+PD2，
∴PA2+PB2=2PC2，
故答案为PA2+PB2=2PC2.

【点睛】

本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理的应用，关键是作出辅助线，利用三线合一进行论证.

7．30

【解析】

【分析】

设AO与BC的交点为点G，根据等腰直角三角形的性质证△AOC≌△BOD，进而得出△ABC是直角三角形，设AC＝x，BC=x+7，由勾股定理求出x，再计算△ABC的面积即可．

【详解】

解：设AO与BC的交点为点G，

∵∠AOB＝∠COD＝90°，

∴∠AOC＝∠DOB，

在△AOC和△BOD中，

，

∴△AOC≌△BOD（SAS），

∴AC＝BD，∠CAO＝∠DBO，

∵∠DBO＋∠OGB＝90°，

∵∠OGB＝∠AGC，

∴∠CAO＋∠AGC＝90°，

∴∠ACG＝90°，

∴CG⊥AC，

设AC＝x，则BD=AC=x，BC=x+7，

∵BD、CD在同一直线上，BD⊥AC，

∴△ABC是直角三角形，

∴AC2＋BC2＝AB2，

,

解得x=5，即AC=5，BC=5+7=12，

在直角三角形ABC中，S= ，

故答案为：30．

【点睛】

本题考查旋转的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形，利用全等三角形的性质解决问题．

8．（1）=；⊥  （2）见解析  （3）AC=BD且AC⊥BD；证明见解析

【解析】

【分析】

（1）根据等式的性质可得AC与BD的数量关系，根据∠AOB=∠COD=90°，可证AC与BD的位置关系；

（2）证明△OCA≌△ODB，即可得到AC=BD；

（3）证明△OCA≌△ODB，可得AC=BD，∠BDO=∠ACO，进而可证∠DEF=90°．

【详解】

解：（1）∵OA=OB，OC=OD

∴OA-OC=OB-OD，

∴AC=BD．

∵∠AOB=∠COD=90°，

∴AO⊥BO，

∵C、D分别在OA、OB上，

∴AC⊥BD；

（2）在△OCA和△ODB中，

，

∴△OCA≌△ODB，

∴AC=BD；

（3）AC=BD，AC⊥BD．

理由：

∵∠AOB=∠COD=90°，

∴∠AOB+∠AOD=∠COD+∠AOD，

∴∠AOC=∠BOD，

在△OCA和△ODB中，

，

∴△OCA≌△ODB，

∴AC=BD，∠BDO=∠ACO，

∵∠ACO+∠CFO=90°，∠CFO=∠DFE，

∴∠BDO+∠DFE=90°，

∴∠DEF=180°-90°=90°，

∴AC⊥BD．

【点睛】

本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，掌握全等三角形的判定方法（即SSS、SAS、ASA、AAS和HL）和全等三角形的性质（即全等三角形的对应边相等、对应角相等）是解题的关键．

9．（1）BC=DC+EC，理由见解析；（2）见解析；（3）

【解析】

【分析】

（1）根据本题中的条件证出△BAD≌△CAE（SAS）, 得到BD=CE,再根据条件即可证出结果.

（2）由（1）中的条件可得∠DCE=∠ACE+∠ACB=90°, 所以CE2+CD2=ED2,可推出BD2+CD2=,再根据勾股定理可得出结果.

（3）作AE⊥AD,使AE=AD，连接CE,DE,可推出△BAD≌△CAE（SAS）,所以BD=CE=,再根据勾股定理求得DE.

【详解】

解：（1）结论：BC=DC+EC

理由：如图①中,

∵∠BAC=∠DAE=90°,

∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，即∠BAD=∠CAE,

在△BAD和△CAE中,

,

∴△BAD≌△CAE（SAS）;

∴BD=CE,

∴BC=BD+CD=EC+CD,

即：BC=DC+EC.

（2）BD2+CD2=2AD2,

理由如下：连接CE,

由（1）得，△BAD≌△CAE,

∴BD=CE，∠ACE=∠B,

∴∠DCE=∠ACE+∠ACB=90°,

∴CE2+CD2=ED2,

即：BD2+CD2=ED2;

在Rt△ADE中,AD2+AE2=ED2,又AD=AE,

∴ED2=2AD2;

∴BD2+CD2=2AD2;

（3）AD的长为(学生直接写出答案）.

作AE⊥AD,使AE=AD,连接CE,DE,

∵∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD,

即∠BAD=∠CAE,

在△BAD与△CAE中,

AB=AC，∠BAD=∠CAE，AD=AE.

∴△BAD≌△CAE（SAS）,

∴BD=CE=,

∵∠ADC=45°,∠EDA=45°,

∴∠EDC=90°,

∴DE2=CE2-CD2=（）2-12=12,

∴DE=2,

∵∠DAE=90°,AD2+AE2=DE2,

∴AD=.

【点睛】

本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，旋转变换，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．

10．（1）135°；（2）45°

【解析】

【分析】

（1）过E作CB垂线，交延长线于点M，可证△ACP≌△PEM，得出EM=PC，AC=PM，得出BM=EM，得出∠EBM=45°，求得∠EBP；

（2）类比（1）的方法同样过E作CB垂线，垂足M，最后得出BM=EM，得出∠EBM=45°得出结论．

【详解】

（1）如图，

过E作CB垂线，交延长线于点M，

∵四边形APEF是正方形，

∴∠APE=90°，AP=PE，

∵∠APC+∠PAC=∠APC+∠EPM=90°，

∴∠PAC=∠EPM，

在△ACP和△PEM中，

，

∴△ACP≌△PEM，

∴AC=MP，PC=EM，

∵AC=BC，

∴BC=MP，

∴PC=BM，

∴BM=EM，

∴∠EBM=45°，

∴∠EBP=135°．

（2）如图，

作EM⊥CB，垂足为M，

∵四边形APEF是正方形，

∴∠APE=90°，AP=PE，

∵∠APC+∠PAC=∠APC+∠EPM=90°，

∴∠PAC=∠EPM，

在△ACP和△PEM中，

，

∴△ACP≌△PEM，

∴AC=MP，PC=EM，

∵AC=BC，

∴BC=MP，

∴PC=BM，

∴BM=EM，

∴∠EBM=45°．

【点睛】

此题考查三角形全等的判定与性质，等腰直角三角形的性质，正确作出辅助线，利用三角形全等的证明方法得出三角形全等是解决问题的关键．

11．四边形PCDE面积的最大值为1．  

【解析】

【分析】

先延长EP交BC于点F，得出，再判定四边形CDEP为平行四边形，根据平行四边形的性质得出：四边形CDEP的面积，最后根据，判断的最大值即可．

【详解】

延长EP交BC于点F，

，，

，

，

平分，

又，

，

设中，，，则

，，

和都是等边三角形，

，，，

，

≌，

，

同理可得：≌，

，

四边形CDEP是平行四边形，

四边形CDEP的面积，

又，

，

，

即四边形PCDE面积的最大值为1．

【点睛】

本题主要考查了等边三角形的性质、平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质，解决问题的关键是作辅助线构造平行四边形的高线．

12．（1）见解析；（2）成立，证明见解析

【解析】

【分析】

（1）只要证明△AOD≌△BOC（SAS），即可解决问题；

（2）如图2中，结论：OH=AD，OH⊥AD．延长OH到E，使得HE=OH，连接BE，证明△BEH≌△CHO（SAS），可得OE=2OH，∠EBC=∠BCO，证明△BEO≌△ODA（SAS）即可解决问题；

【详解】

（1）∵△OAB与△OCD为等腰直角三角形，∠AOB＝∠COD＝90°．

∴OC＝OD，OA＝OB

在△AOD与△BOC中

∴△AOD≌△BOC（SAS）

∴∠ADO＝∠BCO，∠OAD＝∠OBC，BC＝AD

∵点H是BC的中点，∠AOB＝90°

∴OH＝HB＝

∴∠OBH＝∠HOB＝∠OAD，OH＝

∵∠OAD＋∠ADO＝90°

∴∠ADO＋∠BOH＝90°

∴OH⊥AD

（2）（1）中结论成立；如图，延长OH到E，使得HE＝OH，连接BE，CE

∵CH＝BH

∴四边形BOCE是平行四边形

∴BE＝OC，EB∥OC，OH＝OE

∴∠EBO＋∠COB＝180°

∵∠COB＋∠BOD＝90°，∠BOD＋∠1＝90°

∴∠1＝∠COB

∵∠AOD＋∠1＝180°

∴∠AOD＝∠EBO

∴△BEO≌△ODA

∴∠EOB＝∠DAO，OE＝AD

∴OH＝AD

∴∠DAO＋∠AOH＝∠EOB＋∠AOH＝90°

∴OH⊥AD

【点评】本题属于几何变换综合题，考查了旋转变换，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形三边关系等知识，构造全等三角形解决问题是解题的关键.