人教版中考数学二轮复习专题练习上常用辅助线-利用平移思想构造辅助线

这是一份人教版中考数学二轮复习专题练习上常用辅助线-利用平移思想构造辅助线，共30页。试卷主要包含了已知，如图，已知，现场学习，在中，点为的中点．等内容，欢迎下载使用。

答案：见解析
解析：连接
∵，
∴
又，
∴
∴，
∴
∴，
∴
∵，
∴
∴，
∴
∴
延长至，使，连接，则四边形是平行四边形，
∴
∵
∴
∴，
∴
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
2.已知：如图，在中，，分别以为边，向外作正方形和正方形，连接，延长交于．
（1）若 ，，求的长；
（2）求证：．
解析：（1）解：∵
∴设，则
∵，
∴，
∴（舍去负值）
∴
∴
∴
（2）证明：过作，交延长线于，连接
∵，
∴
又
∴，
∴
∵，
∴
又，
∴四边形是平行四边形
∴，
∴
3.已知点是内一点，满足，以为邻边作平行四边形，求证：．
答案：见解析
解析：以为邻边作平行四边形，连接交于，连接
则，，
∵四边形是平行四边形，
∴
∴，
∴
∴，
∴
又，
∴
∴
又，
∴
∴，
∴
4.在中，，分别为延长线上的点，与的交点为．
（1）若，在图1中画出符合题意的图形，直接写出的度数；
（2）若，，求的度数（利用图2作答）．
解析：
（1）如图1，
说明：
将平移到，连接，EF则四边形是平行四边形
又
在中，
又
（2）解法一：如图2，将平移到，连接，EF则四边形是平行四边形
∴
∵
∴，，
∴
∵，
∴
∴，
∴
∴，，
∴
∵，
∴
∴，
∴
∴在中，
∴
解法二：如图3，将平移到，连接，，，则四边形是平行四边形
∵，
∴四边形是矩形
∴，
∵在中，
在中，
∴
∴，即
∴
又∵ ，
∴
∴
∵，
∴
5.（1）在一个矩形纸片上按照图1的方式剪下，其中，将沿着直线的方向依次进行平移变换，每次均移动的长度，得到了、和（如图2），已知，长为．现以、和为三边构成一个新三角形，已知这个新三角形面积小于，求可能的最大整数值；
（2）如图3，已知，，请利用图形变换探究与 的大小关系．
解析：（1）分别取的中点，连接、、、、、
∵中，，由平移变换的性质知、和都是等腰三角形
∴，，
在中，，
∴
∴
∴
∴新三角形三边长为、、
∵，
∴新三角形为直角三角形，其面积为
∵，
∴
（或通过转换得新三角形三边就是，即求的面积，或利用与相似，求的面积也可）
∴的最大整数值为
（2）将沿方向平移个单位，得到，将沿方向平移个单位，得到，
∵
又，
∴是等边三角形
∴，
∵，
∴三点共线
∴
∵
∴
6.如图，已知
（1）请你在边上分别取两点、（的中点除外），连结、，写出使此图中只存在两对面积相等的三角形的相应条件，并表示出面积相等的三角形；
（2）请你根据使（1）成立的相应条件，证明.
答案：见解析
解析：
解：（1）如图,；和，和；
（2）证法一：如图，分别过点作的平行线，两线相交于点，于交于点；
所以，
在和中，又，
可证，
所以，，
在中，，
在中，，
所以,,
所以,
即，
所以.
证法二：如图，分别过作的平行线，两线相交于点，于交于点，连结，
则四边形是平行四边形。
所以，
因为，
所以
所以四边形是平行四边形。
所以
在中，；在中，，
可推得：
所以.
证法三：如图4，取的中点，连结并延长到点，使得，连结、，延长交于点，
在和中，又，，
可证：
所以
因为，，
所以，
同理可证
所以
在中，，
在中，，
可推得，
即,
所以
7.现场学习：我们知道，若锐角的三角函数值为，则可通过计算器得到角的大小，这时我们用来表示，记作：；若，则记；若，则记．
解决问题：如图，已知正方形，点是边上一动点，点在边或其延长线上，点在边上．连结，交点为．
（1）如图1，若，请直接写出 °；
（2）如图2，若，，设．请判断当点在上运动时，的大小是否发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，请求出．
解析：（1）
连接
∵正方形
又
∴三角形为直角三角形，且
又
（2）答：不会变化.
证明：如图2，过点作交于,连接.
∵ 正方形中，,
∴ 四边形为平行四边形.
∴，
∴，.
∵，
∴
∴
∵,
∴.
∴，
∴
∵，，.
∴．
∴．
在中, ．
∴
8.已知矩形和点，当点在上任一位置（如图（1）所示）时，易证得结论：，请你探究：
（1）当点分别在图（2）中的位置时，和又有怎样的数量关系？请你写出对上述情况的探究结论，并利用图（2）证明你的结论．
（2）当点分别在图（3）中的位置时，和又有怎样的数量关系？请你写出对上述情况的探究结论，并利用图（3）证明你的结论．
（3）请问在图（3），与三者之间的关系，并证明．
解析：
（1）结论是
方法一：
如图2过点作于点，交于点，
因为，，所以
在中，
在中，
在中，
在中，
所以
因为，所以四边形是矩形
所以，同理，
所以
即
方法二：提示：过点作，，连接、，则四边形对角线互相垂直，下面证明略
（2）结论是
证明：如图所示，过点作，过点作，过点作于点，连接。
则四边形和四边形是平行四边形
∴
在中，
在中，
在中，
在中，
∴
∴
（3）结论：
过点分别作于点，于点
∴；
∴
∵
∴
9.在中，点为的中点．
（1）如图1，求证：；
（2）延长到，使得，延长到，使得，连接．
①如图2，连接，若，请你探究线段与线段之间的数量关系．写出你的结论，并加以证明；
②请在图3中证明：．
答案：见解析
解析：
（1）证明：如图1，延长至，使得，连接
∵，
∴四边形是平行四边形
∴
在中，，
∴
∴
（2）①
证明：如图2，过作交于，连接，则
∵，，
∴
∴是等边三角形
∴，
∴是等边三角形
∴，
∴四边形是平行四边形
∵点为的中点，
∴三点在一条直线上，且
在和中，
∴，
∴
②分两种情况：
ⅰ）如图3，当时
则，∴
ⅱ）如图4，当时
以为一组邻边作平行四边形
则，，
又∵，
∴，
∴
在中，
∴，即
综上所述：
10.在中，，，点分别在边上，且，点为的中点，连接，点为的中点，连接．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，延长交于点，过点作交于点，若，，求的长．
解析：
（1）延长到，使，连接
∵，
∴
∵为的中点，
∴
∴是等边三角形，
∴
∴
∵，
∴四边形是平行四边形
∴，，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
∴
∴
（2）取中点，连接并延长到，使，连接，则四边形是平行四边形
∴，
∴
∵，
∴
∴，
∴
又
∴，
∴
∵，
∴
又，，
∴
由（1）知，又是公共角，
∴
∵，
∴
设交于点
∵，
∴，
∴
又，
∴
∴
∵，
∴
∴，
∴
∴，
∴是等边三角形，
∴
又，
∴，
∴
∴
∴
∵，
∴
又，
∴
∴，
∴，
∴
∴，
∴