专题14 全等三角形

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专题14 全等三角形一、选择题1. 等腰三角形的两边长分别为4 cm和8 cm，则它的周长为 (　　)A.16 cm    B.17 cm    C.20 cm    D.16 cm或20 cm 【答案】C  2. 已知一个多边形的内角和是1080°，则这个多边形是(　　)A．五边形        B．六边形C．七边形        D．八边形 【答案】D 3. 如图，小明书上的三角形被墨迹遮挡了一部分，测得其中两个角的度数分别为28°，62°，于是他很快判断出这个三角形是(　　)A．等边三角形       B．等腰三角形C．直角三角形       D．钝角三角形 【答案】C  4. 如图，六根木条钉成一个六边形框架ABCDEF，要使框架稳固且不活动，至少还需要添加木条(　　)A．1根    B．2根    C．3根    D．4根 【答案】C　[解析] 添加3根木条以后成为如右所示图形，其由若干三角形组成，具有稳定性．  5. 如图，点B，F，C，E在一条直线上，AB∥ED，AC∥FD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△DEF的是(　　)A．AB＝DE       B．AC＝DFC．∠A＝∠D       D．BF＝EC 【答案】C　[解析] 选项A中添加AB＝DE可用“AAS”进行判定，故本选项不符合题意；选项B中添加AC＝DF可用“AAS”进行判定，故本选项不符合题意；选项C中添加∠A＝∠D不能判定△ABC≌△DEF，故本选项符合题意；选项D中添加BF＝EC可得出BC＝EF，然后可用“ASA”进行判定，故本选项不符合题意．故选C.  6. 如图，已知在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，AB＝6，BC＝9，CD＝4，则四边形ABCD的面积是(　　)A．24         B．30     C．36         D．42 【答案】B　[解析] 过点D作DH⊥AB交BA的延长线于点H.∵BD平分∠ABC，∠BCD＝90°，∴DH＝CD＝4.∴四边形ABCD的面积＝S△ABD＋S△BCD＝AB·DH＋BC·CD＝×6×4＋×9×4＝30.  7. 若三角形的三个内角的度数之比为2∶3∶7，则这个三角形的最大内角是(　　)A．75°    B．90°    C．105°    D．120° 【答案】C　[解析] ∵一个三角形三个内角的度数之比为2∶3∶7，∴可设这个三角形的三个内角分别为2x，3x，7x.由题意，得2x＋3x＋7x＝180°，解得x＝15°.∴7x＝105°.  8. 如图，AB⊥BC，BE⊥AC，垂足分别为B，E，∠1=∠2，AD=AB，则下列结论正确的是(　　)A.∠1=∠EFD 　  B.BE=EC  C.BF=CD  D.FD∥BC【答案】D　[解析] 在△AFD和△AFB中，∴△AFD≌△AFB.∴∠ADF=∠ABF.∵AB⊥BC，BE⊥AC，∴∠BEC=∠ABC=90°.∴∠ABF+∠EBC=90°，∠C+∠EBC=90°.∴∠ADF=∠ABF=∠C.∴FD∥BC. 9. 如图，已知长方形ABCD，一条直线将长方形ABCD分割成两个多边形.若这两个多边形的内角和分别为M和N，则M+N不可能是              (　　)A.360°    B.540°    C.720°    D.630°【答案】D　[解析] 一条直线将长方形ABCD分割成两个多边形的情况有以下三种:(1)直线不经过原长方形的顶点，如图①②，此时长方形被分割为一个五边形和一个三角形或两个四边形，∴M+N=540°+180°=720°或M+N=360°+360°=720°;(2)直线经过原长方形的一个顶点，如图③，此时长方形被分割为一个四边形和一个三角形，∴M+N=360°+180°=540°;(3)直线经过原长方形的两个顶点，如图④，此时长方形被分割为两个三角形，∴M+N=180°+180°=360°. 10. 如图，平面上到两两相交的三条直线a，b，c的距离相等的点一共有(　　)A．4个    B．3个    C．2个    D．1个 【答案】A　[解析] 如图，到三条直线a，b，c的距离相等的点一共有4个．  二、填空题11. 如图，已知DB⊥AE于点B，DC⊥AF于点C，且DB＝DC，∠BAC＝40°，∠ADG＝130°，则∠DGF＝________°. 【答案】150　[解析] ∵DB⊥AE于点B，DC⊥AF于点C，且DB＝DC，∴AD是∠BAC的平分线．∵∠BAC＝40°，∴∠CAD＝∠BAC＝20°.∴∠DGF＝∠CAD＋∠ADG＝20°＋130°＝150°.  12. 已知:∠AOB，求作:∠AOB的平分线.作法:①以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交OA，OB于点M，N;②分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C;③画射线OC.射线OC即为所求.上述作图用到了全等三角形的判定方法，这个方法是　　　　.  【答案】SSS　[解析]由作图可得OM=ON，MC=NC，而OC=OC，∴根据“SSS”可判定△MOC≌△NOC.  13. 将两块完全相同的三角尺在∠AOB的内部如图摆放，两块三角尺较短的直角边分别与∠AOB的两边重合，且含30°角的顶点恰好也重合于点C，则射线OC即为∠AOB的平分线，理由是______________________． 【答案】角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上  14. 如图，已知AC＝EC，∠ACB＝∠ECD，要直接利用“AAS”判定△ABC≌△EDC，应添加的条件是__________． 【答案】∠B＝∠D  15. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，垂足为E.若△DBE的周长为20，则AB＝________．　 【答案】20　[解析] 由角平分线的性质可得CD＝DE.易证Rt△ACD≌Rt△AED，则AC＝AE，DE＋DB＝CD＋DB＝BC＝AC＝AE，故DE＋DB＋EB＝AE＋EB＝AB.  16. 如图所示，在△ABC中，∠B=∠C，FD⊥BC，DE⊥AB，垂足分别为D，E.若∠AFD=158°，则∠EDF=　　　　°.【答案】68　[解析] ∵∠AFD=158°，∴∠CFD=180°-∠AFD=180°-158°=22°.∵FD⊥BC，∴∠FDC=90°.∴∠C=180°-∠FDC-∠CFD=180°-90°-22°=68°.∵∠B=∠C，DE⊥AB，∴∠EDB=180°-∠B-∠DEB=180°-68°-90°=22°.∴∠EDF=180°-90°-22°=68°. 17. 如图，∠C＝90°，AC＝10，BC＝5，AX⊥AC，点P和点Q是线段AC与射线AX上的两个动点，且AB＝PQ，当AP＝________时，△ABC与△APQ全等．　 【答案】5或10　[解析] ∵AX⊥AC，∴∠PAQ＝90°.∴∠C＝∠PAQ＝90°.分两种情况：①当AP＝BC＝5时，在Rt△ABC和Rt△QPA中，∴Rt△ABC≌Rt△QPA(HL)；②当AP＝CA＝10时，在Rt△ABC和Rt△PQA中，∴Rt△ABC≌Rt△PQA(HL)．综上所述，当AP＝5或10时，△ABC与△APQ全等．  18. 如图，P是△ABC外的一点，PD⊥AB交BA的延长线于点D，PE⊥AC于点E，PF⊥BC交BC的延长线于点F，连接PB，PC.若PD＝PE＝PF，∠BAC＝64°，则∠BPC的度数为________． 【答案】32°　[解析] ∵PD＝PE＝PF，PD⊥AB交BA的延长线于点D，PE⊥AC于点E，PF⊥BC交BC的延长线于点F，∴CP平分∠ACF，BP平分∠ABC.∴∠PCF＝∠ACF，∠PBF＝∠ABC.∴∠BPC＝∠PCF－∠PBF＝(∠ACF－∠ABC)＝∠BAC＝32°.  三、解答题19. 如图，D是BC上一点，△ABC≌△ADE，AB=AD.求证:∠CDE=∠BAD.【答案】证明:∵△ABC≌△ADE，∴∠B=∠ADE.由三角形的外角性质，得∠ADC=∠B+∠BAD.又∵∠ADC=∠ADE+∠CDE，∴∠CDE=∠BAD.     20. 如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AB边上一点，过点C作CF∥AB交ED的延长线于点F.(1)求证:△BDE≌△CDF;(2)当AD⊥BC，AE=1，CF=2时，求AC的长.
【答案】解:(1)证明:∵CF∥AB，∴∠B=∠FCD，∠BED=∠F.∵AD是BC边上的中线，∴BD=CD，∴△BDE≌△CDF.(2)∵△BDE≌△CDF，∴BE=CF=2，∴AB=AE+BE=1+2=3.∵AD⊥BC，BD=CD，  ∴AC=AB=3.      21. 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC于点E.求证：∠CBE＝∠BAD.
 【答案】证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，∵AD是BC边上的中线，∴AD⊥BC，∴∠BAD＋∠ABC＝90°，(3分)∵BE⊥AC, ∴∠CBE＋∠C＝90°，∴∠CBE＝∠BAD.(5分)      22. 如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠ABC＝90°，AB＝BC，E是AB的中点，CE⊥BD，连接AC交DE于点M.(1)求证：AD＝BE；(2)求证：AC是线段ED的垂直平分线；(3)△DBC是等腰三角形吗？说明理由．
【答案】解：(1)证明：∵∠ABC＝90°，∴∠ABD＋∠DBC＝90°.∵CE⊥BD，∴∠BCE＋∠DBC＝90°.∴∠ABD＝∠BCE.在△DAB和△EBC中，∴△DAB≌△EBC(ASA)．∴AD＝BE.(2)证明：∵E是AB的中点，∴AE＝BE.∵BE＝AD，∴AE＝AD.∴点A在线段ED的垂直平分线上．∵AB＝BC，∠ABC＝90°，∴∠BAC＝∠BCA＝45°.∵∠BAD＝90°，∴∠BAC＝∠DAC＝45°.在△EAC和△DAC中，∴△EAC≌△DAC(SAS)．∴CE＝CD.∴点C在线段ED的垂直平分线上．∴AC是线段ED的垂直平分线．(3)△DBC是等腰三角形．理由：由(1)知△DAB≌△EBC，∴BD＝CE.由(2)知CE＝CD.∴BD＝CD.∴△DBC是等腰三角形．     23. 在△ABC中，∠B＝55°，且3∠A＝∠B＋∠C，求∠A和∠C的度数. 【答案】解：∵在△ABC中，∠A＋∠B＋∠C＝180°，3∠A＝∠B＋∠C，∴4∠A＝180°，解得∠A＝45°.∵∠B＝55°，∴∠C＝180°－45°－55°＝80°.      24. 如图，BE，CF都是△ABC的高，在BE上截取BD＝AC，在射线CF上截取CG＝AB，连接AG，AD.求证：(1)△BAD≌△CGA；(2)AD⊥AG.
【答案】证明：(1)∵BE，CF都是△ABC的高，∴∠ABE＋∠BAC＝90°，∠ACF＋∠BAC＝90°.∴∠ABE＝∠ACF.在△BAD和△CGA中，∴△BAD≌△CGA(SAS)．(2)∵△BAD≌△CGA，∴∠G＝∠BAD.∵∠AFG＝90°，∴∠GAD＝∠BAD＋∠BAG＝∠G＋∠BAG＝90°.∴AD⊥AG.
     25. 如图，AB为⊙O的直径，C为圆外一点，AC交⊙O于点D，BC2＝CD·CA，＝，BE交AC于点F.(1)求证：BC为⊙O的切线；(2)判断△BCF的形状并说明理由；(3)已知BC＝15，CD＝9，∠BAC＝36°，求的长度(结果保留π). 【答案】 (1)证明：∵BC2＝CD·CA，∴＝，∵∠C＝∠C，∴△CBD∽△CAB，∴∠CBD＝∠BAC，又∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，即∠BAC＋∠ABD＝90°，∴∠ABD＋∠CBD＝90°，即AB⊥BC，又∵AB为⊙O的直径，∴BC为⊙O的切线；(2)解：△BCF为等腰三角形．证明如下：∵＝，∴∠DAE＝∠BAC，又∵△CBD∽△CAB，∴∠BAC＝∠CBD，∴∠CBD＝∠DAE，∵∠DAE＝∠DBF，∴∠DBF＝∠CBD，∵∠BDF＝90°，∴∠BDC＝∠BDF＝90°，∵BD＝BD，∴△BDF≌△BDC，∴BF＝BC，∴△BCF为等腰三角形；(3)解：由(1)知，BC为⊙O的切线，∴∠ABC＝90°∵BC2＝CD·CA，∴AC＝＝＝25，由勾股定理得AB＝＝＝20，∴⊙O的半径为r＝＝10，∵∠BAC＝36°，∴所对圆心角为72°.则＝＝4π.      26. 如图①所示，在△ABC中，∠1＝∠2，∠C>∠B，E为AD上一点，且EF⊥BC于点F.(1)试探索∠DEF与∠B，∠C之间的数量关系；(2)如图②所示，当点E在AD的延长线上时，其余条件都不变，你在(1)中探索得到的结论是否还成立？ 【答案】解：(1)∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠BAC.又∵∠BAC＝180°－(∠B＋∠C)，∴∠1＝[180°－(∠B＋∠C)]＝90°－(∠B＋∠C)．∴∠EDF＝∠B＋∠1＝∠B＋90°－(∠B＋∠C)＝90°＋(∠B－∠C)．∵EF⊥BC，∴∠EFD＝90°.∴∠DEF＝90°－∠EDF＝90°－[90°＋(∠B－∠C)]＝(∠C－∠B)．(2)当点E在AD的延长线上时，其余条件都不变，在(1)中探索得到的结论仍成立