专题18 勾股定理实际应用

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专题18 勾股定理实际应用一．选择题1．如图，一根长5米的竹竿AB斜靠在竖直的墙上，这时AO为4米，若竹竿的顶端A沿墙下滑2米至C处，则竹竿底端B外移的距离BD（　　）A．小于2米 B．等于2米 C．大于2米 D．以上都不对解：由题意得：在Rt△AOB中，OA＝4米，AB＝5米，∴OB＝＝3米，在Rt△COD中，OC＝2米，CD＝5米，∴OD＝＝米，∴BD＝OD﹣OB＝（﹣3）≈1.58（米）．故选：A．2．在以下列长度为边长的4个正方形铁片中，若要剪出一个直角边长分别为4cm和1cm的直角三角形铁片，则符合要求的正方形铁片边长的最小值为（　　）A． B． C． D．解：如图所示：△CEF是直角三角形，∠CEF＝90°，CE＝4，EF＝1，∴∠AEF+∠CED＝90°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝∠D＝90°，AD＝CD，∴∠DCE+∠CED＝90°，∴∠AEF＝∠DCE，∴△AEF∽△DCE，∴＝＝，设AE＝xcm，则AD＝CD＝4xcm，∴DE＝AD﹣AE＝3xcm，在Rt△CDE中，由勾股定理得：（3x）2+（4x）2＝42，解得：x＝，∴AD＝4×＝．故选：B．3．如图，有一个水池，水面是一边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面，这根芦苇的长度为（　　）尺．A．10 B．12 C．13 D．14解：设水深为x尺，则芦苇长为（x+1）尺，根据勾股定理得：x2+（）2＝（x+1）2，解得：x＝12，芦苇的长度＝x+1＝12+1＝13（尺），答：芦苇长13尺．故选：C．4．在我国古代数学著作《九章算术》“勾股”章中有一题：“今有开门去阃（kǔn）一尺，不合二寸，问门广几何？”大意是说：如图，推开双门（AD和BC），门边缘D，C两点到门槛AB的距离为1尺（1尺＝10寸），双门间的缝隙CD为2寸，那么门的宽度（两扇门的和）AB为（　　）A．103寸 B．102寸 C．101寸 D．100寸解：设OA＝OB＝AD＝BC＝r，过D作DE⊥AB于E，则DE＝10，OE＝CD＝1，AE＝r﹣1．在Rt△ADE中，AE2+DE2＝AD2，即（r﹣1）2+102＝r2，解得2r＝101．故门的宽度（两扇门的和）AB为101寸．故选：C．5．如图，一棵大树在离地面3m，5m两处折成三段，中间一段AB恰好与地面平行，大树顶部落在离大树底部6m处，则大树折断前的高度是（　　）A．9m B．14m C．11m D．10m解：如图，作BD⊥OC于点D，由题意得：AO＝BD＝3m，AB＝OD＝2m，∵OC＝6m，∴DC＝4m，∴由勾股定理得：BC＝＝＝5（m），∴大树的高度为5+5＝10（m），故选：D．6．将一根长度为16cm自然伸直的弹性皮筋AB两端固定在水平的桌面上，然后把中点C竖直向上拉升6cm至D点（如图），则该弹性皮筋被拉长了（　　）A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm解：连接CD，∵中点C竖直向上拉升6cm至D点，∴CD是AB的垂直平分线，∴∠ACD＝90°，AC＝BC＝AB＝8cm，AD＝BD，在Rt△ACD中，由勾股定理得：AD＝＝＝10（cm），∴BD＝10cm，∴AD+BD＝20cm，∵AB＝16cm，∴该弹性皮筋被拉长了：20﹣16＝4（cm），故选：B．7．如图，高速公路上有A、B两点相距10km，C、D为两村庄，已知DA＝4km，CB＝6km．DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，现要在AB上建一个服务站E，使得C、D两村庄到E站的距离相等，则EB的长是（　　）kmA．4 B．5 C．6 D．解：设BE＝x，则AE＝（10﹣x）km，由勾股定理得：在Rt△ADE中，DE2＝AD2+AE2＝42+（10﹣x）2，在Rt△BCE中，CE2＝BC2+BE2＝62+x2，由题意可知：DE＝CE，所以：62+x2＝42+（10﹣x）2，解得：x＝4km．所以，EB的长是4km．故选：A．8．某工厂的厂门形状如图（厂门上方为半圆形拱门），现有四辆装满货物的卡车，外形宽都是2.0米，高分别为2.8米，3.1米，3.4米，3.7米，则能通过该工厂厂门的车辆数是（　　）（参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.24）A．1 B．2 C．3 D．4解：∵车宽2米，∴卡车能否通过，只要比较距厂门中线1米处的高度与车高．在Rt△OCD中，由勾股定理可得：CD＝＝＝≈1.73（米），CH＝CD+DH＝1.73+1.6＝3.33，∴两辆卡车都能通过此门，故选：B．9．如图，公路AC、BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开，若测得AC＝10km，BC＝24km，则M、C两点之间的距离为（　　）A．13km B．12km C．11km D．10km解：在Rt△ABC中，AB2＝AC2+CB2∵AC＝10km，BC＝24km，∴AB＝26km，∵M点是AB中点∴MC＝AB＝13km，故选：A．10．如图，小明（视为小黑点）站在一个高为10米的高台A上，利用旗杆OM顶部的绳索，划过90°到达与高台A水平距离为17米，高为3米的矮台B．那么小明在荡绳索的过程中离地面的最低点的高度MN是（　　）A．2米 B．2.2米 C．2.5米 D．2.7米解：作AE⊥OM于E，BF⊥OM于F，如图所示：则∠OEA＝∠BFO＝90°，∵∠AOE+∠BOF＝∠BOF+∠OBF＝90°∴∠AOE＝∠OBF在△AOE和△OBF中，，∴△AOE≌△OBF（AAS），∴OE＝BF，AE＝OF，∴OE+OF＝AE+BF＝CD＝17（米）∵EF＝EM﹣FM＝AC﹣BD＝10﹣3＝7（米），∵OE+OF＝2EO+EF＝17米，∴2OE＝17﹣7＝10（米），∴BF＝OE＝5米，OF＝12米，∴CM＝CD﹣DM＝CD﹣BF＝17﹣5＝12（米），OM＝OF+FM＝12+3＝15（米），由勾股定理得：ON＝OA＝＝＝13（米），∴MN＝OM﹣ON＝15﹣13＝2（米）．故选：A． 二．填空题11．《九章算术》内容丰富，与实际生活联系紧密，在书上讲述了这样一个问题：“今有垣高一丈．倚木于垣，上与垣齐．引木却行一尺，其木至地．问木长几何？”其内容可以表述为：“有一面墙，高1丈．将一根木杆斜靠在墙上，使木杆的上端与墙的上端对齐，下端落在地面上．如果使木杆下端从此时的位置向远离墙的方向移动1尺，则木杆上端恰好沿着墙滑落到地面上．问木杆长多少尺？”（说明：1丈＝10尺）设木杆长x尺，依题意，列方程是　   　．解：如图，设木杆AB长为x尺，则木杆底端B离墙的距离即BC的长有（x﹣1）尺，在Rt△ABC中，∵AC2+BC2＝AB2，∴102+（x﹣1）2＝x2，故答案为：102+（x﹣1）2＝x2．12．一个矩形的抽斗长为12cm，宽为5cm，在抽斗底部放一根铁条，那么铁条最长可以是　   　cm．解：在直角△ABC中，根据勾股定理可得：AC＝＝＝13（cm）．即铁条最长可以是13cm．故答案是：13．13．如图，学校需要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了一段．同学们首先测量了多出的这段绳子长度为1m，然后将这根绳子拉直，当绳子的另一端和地面接触时，绳子与旗杆的底端距离恰好为5m，利用勾股定理求出旗杆的高度约为　   　m．解：设旗杆的高度AC为x米，则绳子AB的长度为（x+1）米，在Rt△ABC中，根据勾股定理可得：x2+52＝（x+1）2，解得，x＝12．答：旗杆的高度为12米．14．我国古代数学著作《九章算术》有一个问题：一根竹子高1丈，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处，1丈＝10尺，那么折断处离地面的高度是　   　尺．解：1丈＝10尺，设折断处离地面的高度为x尺，则斜边为（10﹣x）尺，根据勾股定理得：x2+32＝（10﹣x）2解得：x＝4.55．答：折断处离地面的高度为4.55尺．故答案为：4.55．15．图1是由七根连杆链接而成的机械装置，图2是其示意图．已知O，P两点固定，连杆PA＝PC＝140cm，AB＝BC＝CQ＝QA＝60cm，OQ＝50cm，O，P两点间距与OQ长度相等．当OQ绕点O转动时，点A，B，C的位置随之改变，点B恰好在线段MN上来回运动．当点B运动至点M或N时，点A，C重合，点P，Q，A，B在同一直线上（如图3）．（1）点P到MN的距离为　   　cm．（2）当点P，O，A在同一直线上时，点Q到MN的距离为　   　cm．解：（1）如图3中，延长PO交MN于T，过点O作OH⊥PQ于H．由题意：OP＝OQ＝50cm，PQ＝PA﹣AQ＝140﹣60＝80（cm），PM＝PA+BC＝140+60＝200（cm），PT⊥MN，∵OH⊥PQ，∴PH＝HQ＝40（cm），∵cos∠P＝＝，∴＝，∴PT＝160（cm），∴点P到MN的距离为160cm，故答案为160． （2）如图4中，当O，P，A共线时，过Q作QH⊥PT于H．设HA＝xcm．由题意AT＝PT﹣PA＝160﹣140＝20（cm），OA＝PA﹣OP＝140﹣50＝90（cm），OQ＝50cm，AQ＝60cm，∵QH⊥OA，∴QH2＝AQ2﹣AH2＝OQ2﹣OH2，∴602﹣x2＝502﹣（90﹣x）2，解得x＝，∴HT＝AH+AT＝（cm），∴点Q到MN的距离为cm．故答案为． 16．如图，池塘边一棵垂直于水面BM的笔直大树AB在点C处折断，AC部分倒下，点A与水面上的点E重合，部分沉入水中后，点A与水中的点F重合，CF交水面于点D，DF＝2m，∠CEB＝30°，∠CDB＝45°，求CB部分的高度为　   　m．解：设CB部分的高度为xm．∵∠BDC＝∠BCD＝45°，∴BC＝BD＝xm．在Rt△BCD中，CD＝＝＝x（m）．在Rt△BCE中，∵∠BEC＝30°，∴CE＝2BC＝2x（m）．∵CE＝CF＝CD+DF，∴2x＝x+2，解得：x＝2+．∴BC＝（2+）（m）．答：CB部分的高度约为（2+）m，故答案为：（2+）．17．将折叠书架画出侧面示意图，AB为面板架，CD为支撑架，EF为锁定杆，F可在CD上移动或固定．已知BC＝CE＝8cm．如图甲，将面板AB竖直固定时（AB⊥BD），点F恰为CD的中点．如图乙，当CF＝17cm时，EF⊥AB，则支撑架CD的长度为　   　cm．解：∵EF⊥AB，CF＝17cm，BC＝CE＝8cm，∴EF＝cm，过F作FG⊥AB，∵AB⊥BD，∴FG∥BD，∵点F恰为CD的中点，∴CG＝BC＝4cm，∴EG＝8+4＝12cm，∵EF＝15cm，∴FG＝cm，∴BD＝2FG＝18cm，∴CD＝，故答案为：2． 三．解答题18．如图，在笔直的高速路旁边有A、B两个村庄，A村庄到公路的距离AC＝8km，B村庄到公路的距离BD＝14km，测得C、D两点的距离为20km，现要在CD之间建一个服务区E，使得A、B两村庄到E服务区的距离相等，求CE的长．解：设CE＝x，则DE＝20﹣x，由勾股定理得：在Rt△ACE中，AE2＝AC2+CE2＝82+x2，在Rt△BDE中，BE2＝BD2+DE2＝142+（20﹣x）2，由题意可知：AE＝BE，所以：82+x2＝142+（20﹣x）2，解得：x＝13.3所以，E应建在距C点13.3km，即CE＝13.3km． 19．如图，学校有一块长方形花圃ABCD，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”．若假设2步为1米，他们仅仅少走了几步路，却踩伤了花草？解：由勾股定理，得路长＝＝5，少走（3+4﹣5）×2＝4步． 20．有一条笔直公路l上有A、B两个停靠站，公路旁有一块山地C正在开发，现在C处时常需要爆破作业．如图，已知A、B两站相距2km，且∠ABC＝30°，∠BAC＝60°，为了安全起见，爆破点C周围半径500米范围内任何人不得进入，问在进行爆破时，公路AB段是否需要暂时封锁？请说明理由．（≈1.73）解：如图，作CD⊥AB交AB于D点，∵∠ABC＝30°，∠BAC＝60°，∴∠C＝90°，在Rt△ABC中，AB＝2，∠ABC＝30°，∴AC＝1km，在Rt△ABC中，由勾股定理可得：BC＝＝（km），又∵在Rt△BCD中，∠DBC＝30°，∴CD＝（km）≈865（m），∵CD＞500m，∴不必封锁，答：公路AB段不需要临时封锁． 21．如图，某港口O位于南北延伸的海岸线上，东面是大海．远洋号、长峰号两艘轮船同时离开港O，各自沿固定方向航行，远洋”号每小时航行12海里，“长峰”号每小时航行16海里，它们离开港口1小时后，分别到达A，B两个位置，且AB＝20海里，已知“远洋”号沿着北偏东60°方向航行，请判断“长峰”号航行的方向，并说明理由．解：由题意得：OA＝12，OB＝16，AB＝20，∵122+162＝202，∴OA2+OB2＝AB2，∴△OAB是直角三角形，∴∠AOB＝90°，∵∠DOA＝60°，∴∠COB＝180°﹣90°﹣60°＝30°，∴“长峰”号航行的方向是南偏东30°． 22．如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB＝AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在同一条直线上），并新修一条路CH，测得CB＝1.5千米，CH＝1.2千米，HB＝0.9千米．（1）问CH是否为从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明；（2）求新路CH比原路CA少多少千米？解：（1）是，理由是：在△CHB中，∵CH2+BH2＝（1.2）2+（0.9）2＝2.25，BC2＝2.25，∴CH2+BH2＝BC2，∴CH⊥AB，所以CH是从村庄C到河边的最近路；（2）设AC＝x千米，在Rt△ACH中，由已知得AC＝x，AH＝x﹣0.9，CH＝1.2，由勾股定理得：AC2＝AH2+CH2∴x2＝（x﹣0.9）2+（1.2）2，解这个方程，得x＝1.25，1.25﹣1.2＝0.05（千米）答：新路CH比原路CA少0.05千米．