初中数学浙教版九年级下册1.2 锐角三角函数的计算同步练习题

2021-2022学年浙教版数学九下1.2 锐角三角函数的计算同步练习

一、单选题

1．已知角α为ABC的内角，且cosα=，则α的取值范围是（　　）

A．0°<α<30° B．30°<α<45°

C．45°<α<60° D．60°<α<90°

2．如图，已知：45°＜A＜90°，则下列各式成立的是（　　） 

A．sinA=cosA B．sinA＞cosA C．sinA＞tanA D．sinA＜cosA

3．若用我们数学课本上采用的科学计算器计算sin36 18＇，按键顺序正确的是（　　） 

A．

B．

C．

D．

4．如图，在 中， ， ， ，若用科学计算器求AC的长，则下列按键顺序正确的是（　　） 

A． B． C． D．

5．下列各式中正确的是（　　） 

A． B．

C． D．

6．如果锐角 的正切值为 ，那么下列结论中正确的是（　　）  

A． B．

C． D．

7．如图，梯子（长度不变）跟地面所成的锐角为A，关于∠A的三角函数值与梯子的倾斜程度之间，叙述正确的是（   ）

A．sinA的值越大，梯子越陡

B．cosA的值越大，梯子越陡

C．tanA的值越小，梯子越陡

D．陡缓程度与∠A的三角函数值无关

8．如图，为方便行人推车过天桥，某市政府在 高的天桥两端分别修建了 长的斜道，用科学计算器计算这条斜道的倾斜角 ，下列按键顺序正确的是（　　）． 

A．

B．

C．

D．

9．用计算器求 的值，以下按键顺序正确的是（　　） 

A．

B．

C．

D．

10．已知 ，运用科学计算器求锐角 时（在开机状态下），按下的第一个键是（　　） 

A． B． C． D．

二、填空题

11．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，则AB＝　     　 ，∠A＝　         　，∠B＝　     　．（角度精确到1′）

12．下列结论中（其中 ， 均为锐角），正确的是　     　．（填序号） 

① ；② ；③当 时， ；④ ．

13．如图，点P在正方形ABCD的BC边上，连接AP，作AP的垂直平分线，交AD延长线于点E，连接PE，交CD于点F.若点F是CD的中点，则tan∠BAP=　     　.

14．若三个锐角 满足 ，则 由小到大的顺序为　         　.

15．比较大小： 　     　 （填“ ”“ ”）．

16．如图所示的网格是正方形网格，则 　     　 (填“＞”、“=”或“＜”)． 

17．已知 ，且 为锐角，则m的取值范围是　     　．  

18．比较大小： 　     　 (填“ ”“ ”或“＞”)  

三、综合题

19．如图，AB是⊙O的弦，半径OE⊥AB，P为AB的延长线上一点，PC与⊙O相切于点C，CE与AB交于点F．

（1）求证：PC＝PF；

（2）连接OB，BC，若OB∥PC，BC＝3 ，tanP＝ ，求FB的长． 

20．今年疫情期间，针对各种入口处人工测量体温存在的感染风险高、效率低等问题，清华大学牵头研制一款“测温机器人”，如图1，机器人工作时，行人抬手在测温头处测量手腕温度，体温合格则机器人抬起臂杆行人可通行，不合格时机器人不抬臂杆并报警，从而有效阻隔病原体．

（1）为了设计“测温机器人”的高度，科研团队采集了大量数据．下表是抽样采集某一地区居民的身高数据：

根据你所学的知识，若要更准确的表示这一地区男、女的平均身高，男性应采用　     　厘米，女性应采用　     　厘米；

（2）如图2，一般的，人抬手的高度与身高之比为黄金比时给人的感觉最舒适，由此利用（1）中的数据得出测温头点P距地面105厘米．指示牌挂在两臂杆AB，AC的连接点A处，A点距地面110厘米．臂杆落下时两端点B，C在同一水平线上，BC＝100厘米，点C在点P的正下方5厘米处．若两臂杆长度相等，求两臂杆的夹角．

（参考数据表）

21．        

（1）完成下列表格，并回答下列问题，

（2）当锐角 逐渐增大时， 的值逐渐　     　， 的值逐渐　     　， 的值逐渐　     　．  

（3）　     　， 　     　 ；  

（4）　     　；  

（5）　     　；  

（6）若 ，则锐角 　     　．  

22．图1是一台实物投影仪，图2是它的示意图，折线 表示固定支架， 垂直水平桌面 于点 ，点 为旋转点， 可转动，当 绕点 顺时针旋转时，投影探头 始终垂直于水平桌面 ，经测量： ， ， ， ．（结果精确到0.1） 

（1）如图2， ， ． 

①填空： 　     　°；

②求投影探头的端点 到桌面 的距离　                                                                                                                                                    　．

（2）如图3，将（1）中的 向下旋转，当投影探头的端点 到桌面 的距离为 时，求 的大小．（参考数据： ， ， ， ）  

23．如图所示，一种适用于笔记本电脑的铝合金支架，边 ， 可绕点 开合，在 边上有一固定点 ，支柱 可绕点 转动，边 上有六个卡孔，其中离点 最近的卡孔为 ，离点 最远的卡孔为 .当支柱端点 放入不同卡孔内，支架的倾斜角发生变化.将电脑放在支架上，电脑台面的角度可达到六档调节，这样更有利于工作和身体健康.现测得 的长为 ， 为 ，支柱 为 . 

（1）当支柱的端点 放在卡孔 处时，求 的度数；  

（2）当支柱的端点 放在卡孔 处时， ，若相邻两个卡孔的距离相同，求此间距.(结果精确到十分位)  

24．如图1，已知抛物线 过点 ． 

（1）求抛物线的解析式及其顶点C的坐标；

（2）设点D是x轴上一点，当 时，求点D的坐标；  

（3）如图2．抛物线与y轴交于点E，点P是该抛物线上位于第二象限的点，线段PA交BE于点M，交y轴于点N， 和 的面积分别为 ，求 的最大值．  

25．已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AC＝BC＝10，cos∠ACB＝ ，点E在对角线AC上（不与点A、C重合），∠EDC＝∠ACB，DE的延长线与射线CB交于点F，设AD的长为x． 

（1）如图1，当DF⊥BC时，求AD的长；

（2）设EC＝y，求y关于x的函数解析式，并直接写出定义域；

（3）当△DFC是等腰三角形时，求AD的长．

答案

1．C

2．B

3．D

4．D

5．D

6．C

7．A

8．A

9．A

10．D

11．13；22°36′；67°24

12．①③④

13．

14．

15．<

16．＜

17．

18．<

19．（1）证明：连接OC，

∵PC是⊙O的切线，

∴∠OCP＝90°，

∵OE＝OC，

∴∠E＝∠OCE，

∵OE⊥AB，

∴∠E+∠EFA＝∠OCE+∠FCP＝90°，

∴∠EFA＝∠FCP，

∵∠EFA＝∠CFP，

∴∠CFP＝∠FCP，

∴PC＝PF；

（2）解：过点B作BG⊥PC于点G，

∵OB∥PC，

∴∠COB＝90°，

∵OB＝OC，BC＝3 ，

∴OB＝3，

∵BG⊥PC，

∴四边形OBGC是正方形，

∴OB＝CG＝BG＝3，

∵tanP＝ ，

∴ ，

∴PG＝4，

∴由勾股定理可知：PB＝5，

∵PF＝PC＝7，

∴FB＝PF﹣PB＝7﹣5＝2．

20．（1）176；164

（2）解：如图2中，∵AB＝AC，AF⊥BC， 

∴BF＝FC＝50cm，∠FAC＝∠FAB，

由题意AF＝10cm，

∴tan∠FAC＝ ＝ ＝5，

∴∠FAC＝78.7°，

∴∠BAC＝2∠FAC＝157.4°，

答：两臂杆的夹角为157.4°．

21．（1）解：如表， 

（2）增大；减少；增大

（3）；30°

（4）1

（5）30°

（6）45°

22．（1）160；解：过点 作 于点 ，如图2， 则 ， 投影探头的端点 到桌面 的距离为：

（2）解：过点 于点 ，过点 作 ，与 延长线相交于点 ，过 作 于点 ，如图3，  

则 ， ， ， ， ，

，

，

，

．

23．（1）解：如图1，作 ，垂足为点 ，  

在 中，根据勾股定理， .

同理， ( ， 为同一点).

∵ ， ， ，

，

解得 .

在 中 ，

∴ ，

即 .

（2）解：如图2，作 ，垂足为点 ，  

在 中， .

.

在 中， ，

∴ .( ， 为同一点)

∴ .

.

∴相邻两个卡孔的间距为 .

24．（1）解：由题意把点 代入 ，  

得， ，

解得 ，

∴此抛物线解析式为： ，顶点C的坐标为

（2）解：∵抛物线顶点 ，  

∴抛物线对称轴为直线 ，

设抛物线对称轴与x轴交于点H，

则 ，

在 中， ，

，

∴当 时，

如图1，当点D在对称轴左侧时，

，

，

，

，

，

当点D在对称轴右侧时，点D关于直线 的对称点D'的坐标为 ，

∴点D的坐标为 或

（3）解：设 ，  

将 代入 ，

得， ，

解得， ，

当 时， ，

如图2，

，

由二次函数的性质知，当 时， 有最大值 ，

和 的面积分别为m、n，

的最大值为 ．

25．（1）设∠ACB＝∠EDC＝∠α＝∠CAD， ∵cosα＝ ， ∴sinα＝ ， 过点A作AH⊥BC交于点H，

AH＝AC•sinα＝6＝DF，BH＝2，

如图1，设：FC＝4a，

∴cos∠ACB＝ ，则EF＝3a，EC＝5a，

∵∠EDC＝∠α＝∠CAD，∠ACD＝∠ACD，

 ∴△ADC∽△DCE，

∴AC•CE＝CD2＝DF2+FC2＝36+16a2＝10•5a，

解得：a＝2或 （舍去a＝2），

AD＝HF＝10﹣2﹣4a＝ ；

（2）过点C作CH⊥AD交AD的延长线于点H，

CD2＝CH2+DH2＝（ACsinα）2+（ACcosα﹣x）2，

即：CD2＝36+（8﹣x）2，

由（1）得：AC•CE＝CD2，

即：y＝ x2﹣ x+10（0＜x≤10）…①，

（3）①当DF＝DC时， ∵∠ECF＝∠FDC＝α，∠DFC＝∠DFC，

∴△DFC∽△CFE，∵DF＝DC，

 ∴FC＝EC＝y，∴x+y＝10，

即：10＝ x2﹣ x+10+x，

解得：x＝6；

②当FC＝DC，

则∠DFC＝∠FDC＝α，

则：EF＝EC＝y，DE＝AE＝10﹣y，

 在等腰△ADE中，cos∠DAE＝cosα＝ ，

即：5x+8y＝80，

将上式代入①式并解得：x＝ ；

③当FC＝FD，

则∠FCD＝∠FDC＝α，而∠ECF＝α≠∠FCD，不成立，

 故：该情况不存在； 故：AD的长为6和 ．