高考数学(理数)一轮复习刷题小卷练习04《函数的基本性质》 (教师版)

刷题增分练 4　函数的基本性质

刷题增分练④                 小题基础练提分快

一、选择题

1．函数f(x)＝－2x的图象关于(　　)

A．y轴对称       B．直线y＝－x对称

C．坐标原点对称  D．直线y＝x对称

答案：C

解析：因为f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，f(－x)＝－(－2x)＝－＋2x＝－＝－f(x)，所以f(x)＝－2x是奇函数，所以其图象关于坐标原点对称．故选C.

2．下列函数中，图象是轴对称图形且在区间(0，＋∞)上单调递减的是(　　)

A．y＝－x3  B．y＝－x2＋1

C．y＝2x    D．y＝log2|x|

答案：B

解析：因为函数的图象是轴对称图形，所以排除A，C，又y＝－x2＋1在(0，＋∞)上单调递减，y＝log2|x|在(0，＋∞)上单调递增，所以排除D.故选B.

3．若函数f(x)＝x2＋bx＋c对一切实数都有f(2＋x) ＝f(2－x)则(　　)

A．f(2)<f(1)< f(4)  B．f(1)<f(2)< f(4)

C．f(2)<f(4)< f(1)  D．f(4)<f(2)< f(1)

答案：A

解析：由已知对称轴为x＝2，由于抛物线开口向上，所以越靠近对称轴值越小．

4．函数f(x)对于任意实数x满足条件f(x＋2)＝，若f(1)＝－5，则f[f(5)]＝(　　)

A．－5  B．5

C.     D．－

答案：D

解析：由题意得f(x＋4)＝＝f(x)，则f(5)＝f(1)＝－5，所以f[f(5)]＝f(－5)＝f(－1)＝＝－.故选D.

5．已知函数f(x)＝3x－x，则f(x)(　　)

A．是奇函数，且在R上是增函数

B．是偶函数，且在R上是增函数

C．是奇函数，且在R上是减函数

D．是偶函数，且在R上是减函数

答案：A

解析：∵ 函数f(x)的定义域为R，

f(－x)＝3－x－－x＝x－3x＝－＝－f(x)，∴ 函数f(x)是奇函数．

∵ 函数y＝x在R上是减函数，∴ 函数y＝－x在R上是增函数．

又∵ y＝3x在R上是增函数，∴ 函数f(x)＝3x－x在R上是增函数．

故选A.

6．已知f(x)＝x＋－1，f(a)＝2，则f(－a)＝(　　)

A．－4  B．－2

C．－1  D．－3

答案：A

解析：由题可得f(－x)＝－x－－1，则f(－x)＋f(x)＝－2，所以f(－a)＋f(a)＝－2，则f(－a)＝－4.故选A.

7．已知定义在R上的函数f(x)满足：y＝f(x－1)的图象关于点(1,0)对称，且当x≥0时恒有f(x)＝f(x＋2)，当x∈[0,1]时，f(x)＝ex－1，则f(2 016)＋f(－2 015)＝(　　)

A．1－e    B．e－1

C．－1－e  D．e＋1

答案：A

解析：∵y＝f(x－1)的图象关于点(1,0)对称，∴f(x)的图象关于原点对称．∵当x≥0时恒有f(x)＝f(x＋2)，∴函数f(x)的周期为2.∴f(2 016)＋f(－2 015)＝f(0)－f(1)＝1－e.故选A.

8．定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，且在[0,2)上单调递减，则下列结论正确的是(　　)

A．0<f(1)<f(3)  B．f(3)<0<f(1)

C．f(1)<0<f(3)  D．f(3)<f(1)<0

答案：C

解析：由函数f(x)是定义在R上的奇函数，得f(0)＝0.

由f(x＋2)＝－f(x)，得f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，

故函数f(x)是以4为周期的周期函数，所以f(3)＝f(－1)．

又f(x)在[0,2)上单调递减，所以函数f(x)在(－2,2)上单调递减，

所以f(－1)>f(0)>f(1)，即f(1)<0<f(3)．故选C.

二、非选择题

9．已知f(x)是定义在[m－4，m]上的奇函数，则f(0)＋m＝________.

答案：2

解析：∵f(x)是定义在[m－4，m]上的奇函数，∴m－4＋m＝0，解得m＝2，又f(0)＝0，∴f(0)＋m＝2.

10．已知定义在R上的函数f(x)满足：∀x∈R，都有f(－x)＋f(x)＝0，f(x＋1)＝f(5－x)成立．若f(－2)＝－1，则f(2 018)＝________.

答案：1

解析：由题意得f(x)＝f(6－x)＝－f(x－6)，即f(x－6)＝－f(x)，则f(x－12)＝－f(x－6)＝f(x)，所以函数f(x)的周期为12.故f(2 018)＝f(12×168＋2)＝f(2)＝－f(－2)＝1.

11．已知函数y＝f(x)是偶函数，且在[0，＋∞)上单调递减．若f(a)<f(2)，求实数a的取值范围为________．

答案：(－∞，－2)∪(2，＋∞)

解析：∵y＝f(x)是偶函数，∴f(a)＝f(|a|)．

∵f(a)<f(2)，∴f(|a|)<f(2)，

∵y＝f(x)在[0，＋∞)上是减函数，∴|a|>2，即a>2或a<－2.

∴实数a的取值范围是a>2或a<－2.

12．f(x)＝满足对任意x1≠x2，

都有<0成立，则a的取值范围是________________．

答案：

解析：∵对任意x1≠x2，都有<0成立，

∴f(x)在定义域R上为单调递减函数，

∴解得0<a≤，

∴a的取值范围是.

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一、选择题

1．下列四个函数中，在定义域上不是单调函数的是(　　)

A．y＝－2x＋1　　　　　B．y＝

C．y＝lgx               D．y＝x3

答案：B

解析：y＝－2x＋1在定义域上为单调递减函数；y＝lgx在定义域上为单调递增函数；y＝x3在定义域上为单调递增函数；y＝在(－∞，0)和(0，＋∞)上均为单调递减函数，但在定义域上不是单调函数．故选B.

2．设函数f(x)，g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论正确的是(　　)

A．f(x)＋g(x)是奇函数  B．f(x)－g(x)是偶函数

C．f(x)g(x)是奇函数    D．f(x)g(x)是偶函数

答案：C

解析：∵f(x)，g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，

∴f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)．令F(x)＝f(x)g(x)，则F(－x)＝f(－x)g(－x)＝f(x)[－g(x)]＝－f(x)g(x)＝－F(x)，∴F(x)＝f(x)g(x)为奇函数．故选C.

3．已知函数f(x)＝，则下列结论正确的是(　　)

A．函数f(x)的图象关于点(1,2)中心对称

B．函数f(x)在(－∞，1)上是增函数

C．函数f(x)的图象上存在不同的两点A，B，使得直线AB∥x轴

D．函数f(x)的图象关于直线x＝1对称

答案：A

解析：因为f(x)＝＝＝＋2，所以该函数图象可以由y＝的图象向右平移1个单位长度，向上平移2个单位长度得到，所以函数f(x)的图象关于点(1,2)中心对称，A正确，D错误；易知函数f(x)在(－∞，1)上单调递减，故B错误；易知函数f(x)的图象是由y＝的图象平移得到的，所以不存在不同的两点A，B，使得直线AB∥x轴，C错误．故选A.

4．若f(x)＝－x2＋2ax与g(x)＝在区间[1,2]上都是减函数，则a的取值范围是(　　)

A．(－1,0)∪(0,1)  B．(－1,0)∪(0,1]

C．(0,1)          D．(0,1]

答案：D

解析：由于g(x)＝在区间[1,2]上是减函数，所以a>0；由于f(x)＝－x2＋2ax在区间[1,2]上是减函数，且f(x)的对称轴为x＝a，则a≤1.综上有0<a≤1.故选D.

5．已知函数f(x)＝对任意的x1≠x2都有(x1－x2)[f(x2)－f(x1)]>0成立，则实数a的取值范围是(　　)

A．(－∞，3]  B．(－∞，3)

C．(3，＋∞)  D．[1,3)

答案：D

解析：由(x1－x2)[f(x2)－f(x1)]>0，得(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]<0，所以函数f(x)在R上单调递减，所以解得1≤a<3.故选D.

6．已知奇函数f(x)的定义域为R，当x∈(0,1]时，f(x)＝x2＋1，且函数f(x＋1)为偶函数，则f(2 016)＋f(－2 017)的值为(　　)

A．－2  B．2

C．－1  D．3

答案：A

解析：∵f(x)为R上的奇函数，f(x＋1)为偶函数，

∴f(x)＝f(x－1＋1)＝f(1－x＋1)＝f(－x＋2)＝－f(x－2)＝f(x－4)；

∴f(x)是周期为4的周期函数．又f(1)＝2，

∴f(2 016)＋f(－2 017)＝f(0)－f(1)＝0－2＝－2.故选A.

7．若函数y＝f(x)在[1,3]上单调递减，且函数f(x＋3)是偶函数，则下列结论成立的是(　　)

A．f(2)<f(π)<f(5)  B．f(π)<f(2)<f(5)

C．f(2)<f(5)<f(π)  D．f(5)<f(π)<f(2)

答案：B

解析：∵函数y＝f(x)在[1,3]上单调递减，且函数f(x＋3)是偶函数，∴f(x＋3)＝f(－x＋3)，f(x)＝f(6－x)，∴f(π)＝f(6－π)，f(5)＝f(1)．∵1<2<6－π<3，∴f(6－π)<f(2)<f(1)，∴f(π)<f(2)<f(5)．故选B.

8．设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋2)＝f(2－x)，当x∈[－2,0]时，f(x)＝x－1，若关于x的方程f(x)－loga(x＋2)＝0(a>0且a≠1)在区间(－2,6)内有且只有4个不同的实根，则实数a的取值范围是(　　)

A.  B．(1,4)

C．(1,8)  D．(8，＋∞)

答案：D

解析：∵f(x)为偶函数，且f(2＋x)＝f(2－x)，∴f(4＋x)＝f(－x)＝f(x)，

∴f(x)为偶函数且周期为4，又当－2≤x≤0时，f(x)＝x－1，

∴可画出f(x)在(－2,6)上的大致图象，如图所示．

若f(x)－loga(x＋2)＝0(a>0且a≠1)在(－2,6)内有4个不同的实根，则y＝f(x)的图象与y＝loga(x＋2)的图象在(－2,6)内有4个不同的交点，

∴所以a>8，故选D.

二、非选择题

9．设f(x)是定义在R上的奇函数，且y＝f(x)的图象关于直线x＝对称，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＝ __________.

答案：0

解析：∵f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(x)＝－f(－x)，

又∵f(x)的图象关于直线x＝对称，

∴f(x)＝f(1－x)＝－f(－x)＝－f(2－x)⇒f(x)＝f(x＋2)，在f(x)＝f(1－x)中，令x＝0，∴f(0)＝f(1)＝0，∴f(0)＝f(1)＝…＝f(5)＝0，∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＝0.

10．]函数f(x)＝x－log2(x＋4)在区间[－2,2]上的最大值为________．

答案：8

解析：由函数的解析式可知f(x)＝x－log2(x＋4)在区间[－2,2]上是单调递减函数，则函数的最大值为f(－2)＝－2－log2(－2＋4)＝9－1＝8.

11．已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f(x)满足f＝f(x1)－f(x2)，且当x>1时，f(x)<0.

(1)求f(1)的值；

(2)证明：f(x)为单调递减函数；

(3)若f(3)＝－1，求f(x)在[2,9]上的最小值．

解析：(1)令x1＝x2＞0，代入

f＝f(x1)－f(x2)中可得

f(1)＝f(x1)－f(x2)＝0.

故f(1)＝0.

(2)证明：任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1>x2，则>1，由于当x>1时，f(x)<0.所以f<0，即f(x1)－f(x2)<0.

因此f(x1)<f(x2)．

所以函数f(x)在区间(0，＋∞)上是单调递减函数．

(3)∵f(x)在(0，＋∞)上是单调递减函数，

∴f(x)的最小值为f(9)．

∵f＝f(x1)－f(x2)，

∴f＝f(9)－f(3)．

∵f(3)＝－1，

∴f(9)＝－2.

f(x)在[2,9]上的最小值为－2.