2021年浙江省杭州市下城区采荷中学中考数学四模试卷

2021年浙江省杭州市下城区采荷中学中考数学四模试卷

一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，共30分）

1．（3分）计算下列各式，值最小的是　　

A． B． C． D．

2．（3分）在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，则　　

A．， B．， C．， D．，

3．（3分）下图由正六边形与两条对角线所组成的图形中不是轴对称图形的是　　

A． B． C． D．

4．（3分）若的一个外角等于其中一个内角，则　　

A．必有一个内角等于 B．必有一个内角等于 

C．必有一个内角等于 D．必有一个内角等于

5．（3分）在比例尺为的地图上，相距的、两地的实际距离是　　

A． B． C． D．

6．（3分）如图，等腰的顶角为，以腰为直径作半圆，交于点，交于点，则的度数为　　

A． B． C． D．

7．（3分）若甲、乙两弹簧的长度与所挂物体质量之间的函数表达式分别为和，如图所示，所挂物体质量均为时，甲弹簧长为，乙弹簧长为，则与的大小关系为　　

A． B． C． D．不能确定

8．（3分）如图，某地修建高速公路，要从地向地修一条隧道（点、在同一水平面上）．为了测量、两地之间的距离，一架直升飞机从地出发，垂直上升800米到达处，在处观察地的俯角为，则、两地之间的距离为　　

A．米 B．米 C．米 D．米

9．（3分）已知函数，下列说法：①函数图象分布在第一、三象限；②在每个象限内，随的增大而减小；③若，、，两点在该图象上，且，则．其中说法正确的数　　

A．①③ B．② C．③ D．①②

10．（3分）已知二次函数，当取任意实数时，都有，则　　

A．，且 B．，且 C．，且 D．，且

二、填空题（本题有6个小题，每小题4分，共24分）

11．（4分）分解因式：　　．

12．（4分）一个圆锥，其母线长为，底面圆半径为3，则侧面展开图圆心角度数是 　　．

13．（4分）如图，转盘的白色扇形和黑色扇形的圆心角分别是和．让转盘自由转动1次，指针落在白色区域的概率是　　．

14．（4分）一列长米的队伍以每分钟60米的速度向前行进，队尾一名同学用1分钟从队尾走到队头，则该名同学行走的路程为　　米．

15．（4分）在直角三角形中，若，则　　．

16．（4分）如图，将等腰三角形纸片沿图中虚线剪成四块图形，用这四块图形进行拼接，恰能拼成一个没有缝隙的正方形，则正方形的边长与等腰三角形的底边长的比为　　．

三、解答题（本题有7个大题，共66分）

17．（6分）化简：．小马的解答如下，小马的解答正确吗？如果不正确，写出正确的解答．

解：

18．（8分）安全使用电瓶车可以大幅度减少因交通事故引发的人身伤害，为此交警部门在全市范围开展了安全使用电瓶车专项宣传活动．以下是宣传活动前后两次抽样统计图表．

活动前骑电瓶车戴安全帽情况统计表

（1）宣传活动前，在抽取的市民中哪一类别人数最多？占抽取人数的比例是多少？

（2）该市约有30万人使用电瓶车，请估计适动前全市骑电瓶车“都不戴”安全帽的总人数；

（3）小明认为，宣传活动后骑电瓶车“都不戴”安全帽的人数为178，比活动前增加了1人，因此交警部门开展的宣传活动没有效果．小明分析数据的方法是否合理？请结合统计图表，对小明分析数据的方法及交警部门宣传活动的效果谈谈你的看法．

19．（8分）如图，在中，以边为直径的交于，于，若且与相切．

（1）求证：．

（2）若，，求的长．

20．（10分）在一次矿难事件的调查中发现，矿井内一氧化碳浓度和时间的关系如图所示：从零时起，井内空气中一氧化碳浓度达到，此后浓度呈直线增加，在第6小时达到最高值发生爆炸，之后与成反比例关系．请根据题中相关信息回答下列问题：

（1）求爆炸前后与的函数关系式，并写出相应的自变量取值范围；

（2）当空气中浓度上升到时，井下深处的矿工接到自动报警信号，若要在爆炸前撤离到地面，问他们的逃生速度至少要多少？

（3）矿工需要在空气中一氧化碳浓度下降到及以下时，才能回到矿井开展生产自救，则矿工至少要在爆炸多少小时后才能下井？

21．（10分）如图，在边长为4的正方形中，为中点，为中点，与交于点．

（1）求证：；

（2）连结，记中点为，求的长．

22．（12分）二次函数，为实数）的图象经过点，点．

（1）求该二次函数的表达式及顶点坐标．

（2）点在该二次函数图象上．

①若，求点的坐标；

②当时，的最大值是5，最小值是1，求的取值范围．

23．（12分）如图，内接于，，为中点，与相交于点．过作，交延长线于．

（1）求证：；

（2）求证：；

（3）延长交延长线于．若，，求的长．

2021年浙江省杭州市下城区采荷中学中考数学四模试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，共30分）

1．（3分）计算下列各式，值最小的是　　

A． B． C． D．

【分析】分别根据有理数的加法、减法、乘法和除法法则求解得出结果，再比较大小即可得出答案．

【解答】解：．；

．；

．；

．；

，

值最小的是选项，

故选：．

2．（3分）在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，则　　

A．， B．， C．， D．，

【分析】关于轴对称的点的坐标特点：横坐标相同，纵坐标互为相反数．由此即可求解．

【解答】解：点与点关于轴对称，

，，

故选：．

3．（3分）下图由正六边形与两条对角线所组成的图形中不是轴对称图形的是　　

A． B． C． D．

【分析】根据轴对称图形的概念求解．

【解答】解：、不是轴对称图形，故本选项符合题意；

、是轴对称图形，故本选项不合题意；

、是轴对称图形，故本选项不合题意；

、是轴对称图形，故本选项不合题意．

故选：．

4．（3分）若的一个外角等于其中一个内角，则　　

A．必有一个内角等于 B．必有一个内角等于 

C．必有一个内角等于 D．必有一个内角等于

【分析】根据三角形的外角性质、邻补角的概念计算即可．

【解答】解：三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角，

的一个外角等于其中一个内角时，这个外角等于它的邻补角，

这个三角形必有一个内角等于，

故选：．

5．（3分）在比例尺为的地图上，相距的、两地的实际距离是　　

A． B． C． D．

【分析】设的实际距离为，根据比例尺的定义得到，利用比例的性质求得的值，注意单位统一．

【解答】解：设的实际距离为，

比例尺为，

，

．

故选：．

6．（3分）如图，等腰的顶角为，以腰为直径作半圆，交于点，交于点，则的度数为　　

A． B． C． D．

【分析】连接，取的中点，连接，．利用等腰三角形的性质以及圆周角定理求出，可得结论．

【解答】解：连接，取的中点，连接，．

是直径，

，

，

，

，

，

的度数为，

故选：．

7．（3分）若甲、乙两弹簧的长度与所挂物体质量之间的函数表达式分别为和，如图所示，所挂物体质量均为时，甲弹簧长为，乙弹簧长为，则与的大小关系为　　

A． B． C． D．不能确定

【分析】将点和点代入中求出和，将点和点代入中求出和，再将代入两式比较和大小．

【解答】解：点和点在上，

得到方程组：，

解得：，

．

点和点代入上，

得到方程组为，

解得：．

．

当时，，，

．

故选：．

8．（3分）如图，某地修建高速公路，要从地向地修一条隧道（点、在同一水平面上）．为了测量、两地之间的距离，一架直升飞机从地出发，垂直上升800米到达处，在处观察地的俯角为，则、两地之间的距离为　　

A．米 B．米 C．米 D．米

【分析】在中，，，米，根据，即可解决问题；

【解答】解：在中，，，米，

，

（米．

故选：．

9．（3分）已知函数，下列说法：①函数图象分布在第一、三象限；②在每个象限内，随的增大而减小；③若，、，两点在该图象上，且，则．其中说法正确的数　　

A．①③ B．② C．③ D．①②

【分析】由得出函数的图象在一二象限，由对称性得出函数在第二象限的图象即可得出答案．

【解答】解：，

，

该函数的图象在第一二象限，

且该函数的图象关于轴对称，

①说法错误，

，

当时，随着的增大而减小，

又图象关于轴对称，

当时，随着的增大而增大，

②说法错误，

当时，和关于轴对称，

，

③说法正确，

故选：．

10．（3分）已知二次函数，当取任意实数时，都有，则　　

A．，且 B．，且 C．，且 D．，且

【分析】二次函数开口向上，当取任意实数时，都有，则，据此即可列不等式求解．

【解答】解：由题意可知，，，

解得：，且．

故选：．

二、填空题（本题有6个小题，每小题4分，共24分）

11．（4分）分解因式：　　．

【分析】原式利用完全平方公式分解即可．

【解答】解：原式．

故答案为：．

12．（4分）一个圆锥，其母线长为，底面圆半径为3，则侧面展开图圆心角度数是 　　．

【分析】根据展开图的扇形的弧长等于圆锥底面周长计算．

【解答】解：设圆心角为，

则，

解得．

故答案为：．

13．（4分）如图，转盘的白色扇形和黑色扇形的圆心角分别是和．让转盘自由转动1次，指针落在白色区域的概率是　　．

【分析】根据概率的求法，分别求出指针落在白色以及黑色区域的概率，进而即可得出答案．

【解答】解：由图得：白色扇形的圆心角为，

故转动一次，指针落在白色区域的概率为．

故答案为．

14．（4分）一列长米的队伍以每分钟60米的速度向前行进，队尾一名同学用1分钟从队尾走到队头，则该名同学行走的路程为　　米．

【分析】这位同学走的路程队伍1分钟走的路程队伍长，把相关数值代入即可．

【解答】解：人和队伍同向而行，队尾一名同学用1分钟从队尾走到队头，队伍1分钟走60米，

队尾一名同学用1分钟从队尾走到队头，该名同学行走的路程为米，

故答案为．

15．（4分）在直角三角形中，若，则　或　．

【分析】根据锐角三角函数的定义，设辅助未知数，由勾股定理和锐角三角函数的定义进行计算即可．

【解答】解：如图1，若，

由于，设，则，

，

；

如图2，若，

由于，设，，

，

；

故答案为：或．

16．（4分）如图，将等腰三角形纸片沿图中虚线剪成四块图形，用这四块图形进行拼接，恰能拼成一个没有缝隙的正方形，则正方形的边长与等腰三角形的底边长的比为　　．

【分析】等腰三角形纸片沿图中虚线剪成四块图形，能拼成一个没有缝隙的正方形和矩形，根据题意，得，设，求出，进而求出正方形的边长与等腰三角形的底边长的比．

【解答】解：如图，等腰三角形纸片沿图中虚线剪成四块图形，能拼成一个没有缝隙的正方形和矩形，

设，

根据题意，得，

，

，

解得或（负值舍去），

，

正方形的边长与等腰三角形的底边长的比为：

．

故答案为：．

三、解答题（本题有7个大题，共66分）

17．（6分）化简：．小马的解答如下，小马的解答正确吗？如果不正确，写出正确的解答．

解：

【分析】直接利用分式的加减运算法则，首先通分运算，进而合并、化简得出答案．

【解答】解：不正确，

正确解答如下：

．

18．（8分）安全使用电瓶车可以大幅度减少因交通事故引发的人身伤害，为此交警部门在全市范围开展了安全使用电瓶车专项宣传活动．以下是宣传活动前后两次抽样统计图表．

活动前骑电瓶车戴安全帽情况统计表

（1）宣传活动前，在抽取的市民中哪一类别人数最多？占抽取人数的比例是多少？

（2）该市约有30万人使用电瓶车，请估计适动前全市骑电瓶车“都不戴”安全帽的总人数；

（3）小明认为，宣传活动后骑电瓶车“都不戴”安全帽的人数为178，比活动前增加了1人，因此交警部门开展的宣传活动没有效果．小明分析数据的方法是否合理？请结合统计图表，对小明分析数据的方法及交警部门宣传活动的效果谈谈你的看法．

【分析】（1）根据图表给出的数据得出“偶尔戴”（或类）的人数最多，用“偶尔戴”的人数除以总人数即可得出答案；

（2）用该市的总人数乘以“都不戴”安全帽的人数所占的百分比即可；

（3）分别求出宣传活动前后骑电瓶车“都不戴”安全帽所占的百分比，再进行比较，即可得出小明的分析不合理．

【解答】解：（1）宣传活动前，在抽取的市民中“偶尔戴”（或类）的人数最多，

占抽取人数的百分比为，

（2）估计活动前全市骑电瓶车“都不戴”安全帽的总人数为：（万人）；

（3）小明的分析不合理．

宣传活动后骑电瓶车“都不戴”安全帽所占的百分比为：，

活动前“都不戴”安全帽所占的百分比为，

由于，

因此交警部门开展的宣传活动有效果．

19．（8分）如图，在中，以边为直径的交于，于，若且与相切．

（1）求证：．

（2）若，，求的长．

【分析】（1）连接，根据切线的性质得到，根据平行线的性质得到，根据平行线等分线段定理即可得到结论；

（2）连接，由（1）知，，求得，根据圆周角定理得到，根据勾股定理得到，根据三角形的面积公式即可得到结论．

【解答】（1）证明：连接，

与相切，

，

，

，

，

；

（2）解：连接，

由（1）知，，

，

，

为的直径，

，

，，

，

，

．

20．（10分）在一次矿难事件的调查中发现，矿井内一氧化碳浓度和时间的关系如图所示：从零时起，井内空气中一氧化碳浓度达到，此后浓度呈直线增加，在第6小时达到最高值发生爆炸，之后与成反比例关系．请根据题中相关信息回答下列问题：

（1）求爆炸前后与的函数关系式，并写出相应的自变量取值范围；

（2）当空气中浓度上升到时，井下深处的矿工接到自动报警信号，若要在爆炸前撤离到地面，问他们的逃生速度至少要多少？

（3）矿工需要在空气中一氧化碳浓度下降到及以下时，才能回到矿井开展生产自救，则矿工至少要在爆炸多少小时后才能下井？

【分析】（1）根据图象可以得到函数关系式，再由图象所经过点的坐标，求出与的值，然后得出函数式，从而求出自变量的取值范围．再由图象知过点，求出的值，再由函数式求出自变量的取值范围．

（2）结合以上关系式，当时，由得，从而求出撤离的最长时间，再由速度．

（3）由关系式知，时，，矿工至少在爆炸后（小时）才能下井．

【解答】解：（1）爆炸前浓度呈直线型增加，

可设与的函数关系式为，

由图象知过点，，

，解得

，此时自变量的取值范围是，

爆炸后浓度成反比例下降，

可设与的函数关系式为．

由图象知过点，

，

，

，此时自变量的取值范围是；

（2）当时，由得：，解得，

撤离的最长时间为（小时）．

撤离的最小速度为；

（3）当时，由得，，

（小时）．

矿工至少在爆炸后9小时才能下井．

21．（10分）如图，在边长为4的正方形中，为中点，为中点，与交于点．

（1）求证：；

（2）连结，记中点为，求的长．

【分析】（1）由“”可证；

（2）由勾股定理可求的长，由全等三角形的性质可得，可证，由直角三角形的性质可求解．

【解答】（1）证明：四边形是正方形，

，

为中点，为中点，

，

在和中，

，

；

（2）解：，，

，

，

，

，

，

点是的中点，

．

22．（12分）二次函数，为实数）的图象经过点，点．

（1）求该二次函数的表达式及顶点坐标．

（2）点在该二次函数图象上．

①若，求点的坐标；

②当时，的最大值是5，最小值是1，求的取值范围．

【分析】（1）利用待定系数法确定函数的解析式，利用配方法求得顶点坐标；

（2）①将代入抛物线解析式，计算的值即可；

②结合二次函数的最大值，令，求出对应的 的值，根据题意即可得出结论．

【解答】解：（1）二次函数的图象经过点，点，

，

解得：．

该二次函数的解析式．

，

顶点坐标为．

（2）①当时，

．

点在该二次函数图象上，

．

②的顶点坐标为，

函数的最大值为5．

的最大值为5，点在该二次函数图象上，

的最大值为1．

令，则．

解得：，．

根据图象的取值范围为：．

23．（12分）如图，内接于，，为中点，与相交于点．过作，交延长线于．

（1）求证：；

（2）求证：；

（3）延长交延长线于．若，，求的长．

【分析】（1）利用等弧所对的圆周角相等可得，为公共角，结论可得；

（2）利用（1）中的结论可得为等腰三角形，即，则；利用平行线的性质和对顶角的性质可得，结论可得；

（3）连接，利用已知条件可以判定，利用同角的余角相等，可得；连接，设与交于点，由垂径定理可得，利用平行线的性质可得，在中，利用直角三角形的边角关系可求得，设圆的半径为，利用勾股定理列出方程，解方程即可求得圆的半径；在中，解直角三角形即可得出结论．

【解答】证明：（1）为中点，

．

．

，

；

（2），

．

，

．

．

，

．

，

．

．

解：（3）连接，，设与交于点，如图，

为中点，

，

，．

，

．

．

，

．

．

即．

．

，

，

．

．

，

，

，

，

．

．

设圆的半径为，则．

在中，

，

．

解得：．

．

在中，

，

．