2023年浙江省杭州市下城区采荷中学中考数学模拟试卷（4月份）（含解析）

2023年浙江省杭州市下城区采荷中学中考数学模拟试卷（4月份）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的相反数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  小明家购买了一款新型吹风机．如图所示，吹风机的主体是由一个空心圆柱体构成，手柄可近似看作一个圆柱体，这个几何体的主视图为(    )

A.
B.
C.
D.

3.  年月日，在北京冬奥会自由式女子大跳台金牌决赛中，中国选手谷爱凌以分夺得金牌．北京冬奥会大数据报告显示，这场比赛受到我国超过万人的关注，万这个数字用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

5.  不等式的解在数轴上的表示正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  甲、乙、丙、丁四名射击运动员参加射击预选赛，他们射击成绩的平均数及方差如表所示，要选一个成绩较好且稳定的运动员去参赛，应选运动员(    )

A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁

7.  某书店分别用元和元两次购进一本小说，第二次数量比第一次多套，且两次进价相同．若设该书店第一次购进套，根据题意，列方程正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  已知现有的瓶饮料中有瓶已过了保质期，从这瓶饮料中任取瓶，恰好取到已过了保质期的饮料的概率是(    )

A.  B.  C.  D.

9.  现由边长为的正方形制作的一副如图所示的七巧板，将这副七巧板在矩形内拼成如图所示的“老虎”造型，则矩形与“老虎”的面积之比为(    )

A.  B.  C.  D.

10.  已知二次函数的图象与轴交于，两点，且满足，当时，该函数的最大值与满足的关系式是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11.  分解因式： ______ ．

12.  二元一次方程组的解是______．

13.  某仓储中心有一斜坡，其坡比：，顶部处的高为米，、在同一水平面上．则斜坡的水平宽度为______米．

14.  如图，已知四边形内接于，，则的度数是______．

15.  如图，反比例函数上有一点，经过点的直线交反比例函数于点，且以为圆心为半径作圆，的角平分线交于点，若的面积为，则______．

16.  如图，是的边上一点，沿翻折，点落在点处，与相交于点，若，，，则 ______ ．

三、解答题（本大题共7小题，共56.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：．
化简：．

18.  本小题分
为了解某学校疫情期间学生在家体育锻炼情况，从全体学生中机抽取若干名学生进行调查以下是根据调查数据绘制的统计图表的一部分，根据信息回答下列问题．

本次调查共抽取______ 名学生．
抽查结果中，组有______ 人
在抽查得到的数据中，中位数位于______ 组填组别．
若这所学校共有学生人，则估计平均每日锻炼超过分钟有多少人？

19.  本小题分
已知，如图，矩形，延长至点，使得，连接、．
求证：．
若，，连接，求的值．

20.  本小题分
图是新冠疫情期间测温员用“额温枪”对居民张阿姨测温时的实景图，图是其侧面示意图，其中枪柄和手臂始终在同一条直线上，枪身与额头保持垂直．胳膊，，肘关节与枪身端点之间的水平宽度为即的长度，枪身．

求的度数；
测温时规定枪身端点与额头规定范围为在图中若，张阿姨与测温员之间的距离为问此时枪身端点与张阿姨额头的距离是否在规定范围内，并说明理由．
结果保留小数点后两位．参考数据：

21.  本小题分
某学校社团在进行项目化学习时，根据古代的沙漏模型图制作了一套“沙漏计时装置”，该装置由沙漏和精密电子秤组成，电子秤上放置盛沙容器．沙子缓慢匀速地从沙漏孔漏到精密电子称上的容器内，可以通过读取电子秤的读数计算时间假设沙子足够该实验小组从函数角度进行了如下实验探究：
实验观察：实验小组通过观察，每两小时记录一次电子秤读数，得到下表．

探索发现：建立平面直角坐标系，如图，横轴表示漏沙时间，纵坐标表示精密电子称的读数，描出以表中的数据为坐标的各点．
观察上述各点的分布规律，判断它们是否在同一条直线上，如果在同一条直线上，请你建立适当的函数模型，并求出函数表达式，如果不在同一条直线上，请说明理由．
结论应用：应用上述发现的规律估算：
若漏沙时间为小时，精密电子称的读数为多少？
若本次实验开始记录的时间是上午：，当精密电子秤的读数为克时是几点钟？
 

22.  本小题分
如图已知二次函数为常数的图象经过点，点，顶点为点，过点作轴，交轴于点，交二次函数的图象于点，连接．

求该二次函数的表达式及点的坐标：
若将该二次函数图象向上平移个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在的内部不包括的边界，求的取值范围；
若为轴上且位于点下方的一点，为直线上一点，在第四象限的抛物线上是否存在一点，使以、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点的横坐标：若不存在，请说明理由．

23.  本小题分
如图，正方形中，为对角线，点在线段上运动，以为边向右作正方形，连接；
【初步探究】
则与的数量关系是______，与的夹角度数为______；
【探索发现】
点在线段及其延长线上运动时，如图，图，探究线段，和三者之间的数量关系，并说明理由；
【拓展延伸】
点在对角线的延长线上时，如图，连接，若，，求四边形的面积．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的相反数是．
故选：．
只有符号不同的两个数叫做互为相反数，由此即可得到答案．
本题考查相反数，关键是掌握相反数的定义．
 

2.【答案】 

【解析】解：根据主视图的概念可知，从物体的正面看得到的视图是选项C．
故选：．
根据主视图是从物体正面看所得到的图形即可解答．
本题考查了简单几何体的主视图，注意主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看所得到的图形．
 

3.【答案】 

【解析】解：万．
故选：．
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，且比原来的整数位数少，据此判断即可．
此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，确定与的值是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：、与不是同类二次根式，不能合并计算，故此选项不符合题意；
B、原式，故此选项不符合题意；
C、原式，故此选项不符合题意；
D、原式，故此选项符合题意；
故选：．
根据二次根式的加法运算法则判断，根据合并同类项的运算法则判断，根据完全平方公式判断，根据积的乘方运算法则判断．
本题考查整式的混合运算，掌握积的乘方运算法则，完全平方公式是解题关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：，
，
则，
，
将不等式解集表示在数轴上如下：

故选：．
根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项、系数化为可得．
本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
 

6.【答案】 

【解析】解：从表格中的数据可知，乙和丙的平均数大，而且丙的方差较小，故选丙．
故选：．
根据平均数及方差的意义直接求解即可．
本题主要考查平均数及方差的意义，熟练掌握平均数及方差的意义是解答此题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：设该书店第一次购进套，
根据题意可列方程：，
故选：．
根据“第一次购买的单价第二次购买的单价”可列方程．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程．
 

8.【答案】 

【解析】解：从这瓶饮料中任取瓶，恰好取到已过了保质期的饮料的概率．
故选：．
直接利用概率公式求解．
本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件的概率事件可能出现的结果数所有可能出现的结果数．
 

9.【答案】 

【解析】解：“老虎”是由七巧板拼成的，
“老虎”的面积为，
由七巧板各边的关系可以得出，矩形的长为，宽为，
矩形的面积为，
矩形与“老虎”的面积之比为，
故选：．
根据七巧板的面积不变，可以根据正方形的面积求出“老虎”面积，再根据七巧板各边的关系求出矩形面积然后求出比值即可．
本题主要考查七巧板的知识，熟练掌握七巧板各边的数量关系是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：二次函数的图象与轴交于，两点，
图象开口向上，对称轴为直线，
，
对称轴在之间，
当时，函数的最大值是时所对应的的函数值，
，
故选A．
由二次函数的图象与轴交于，两点，得出对称轴为直线，即可得出对称轴在之间，根据二次的性质即可得出函数的最大值是时所对应的的函数值．
本题考查了抛物线与轴的交点，二次函数的性质，判断对称轴在之间是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
直接提取公因式，进而得出答案．
此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确得出公因式是解题关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：两个方程相加，得，
，
把代入，得，
此方程组的解：，
故答案为：，
两个方程相加，得的解，把代入，得．
此题考查的是解二元一次方程组，掌握用加减法消元法解方程组是解题关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：坡度为：，米，
米，
故答案为：．
根据坡度定义直接解答即可．
本题考查了解直角三角形的应用--坡度坡角问题，熟悉坡度坡角的定义是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：四边形内接于，，
，
故答案为：．
根据圆内接四边形的性质即可得到结论．
本题考查了圆内接四边形的性质，熟练掌握圆内接四边形的性质是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：如图，过点作于点，过点作于点，过点作于点，

为的角平分线，
，
，
，
，
，
，
，
，
设点的横坐标为，则，
，，
，，
，
，，
∽，
，
：：：：，
，
点在反比例函数上，
，
，
：：，
，
，
，，
∽，
：：，
，
，
，
故答案为：．
过点作于点，过点作于点，过点作于点，可证，所以，可得，设点的横坐标为，则，证明∽，可得：：：：，则，由此表示点的坐标，再证明∽，根据比例求解即可．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，相似三角形的性质与判定，平行线分线段成比例，解题的关键是正确作出辅助线，构造相似．
 

16.【答案】 

【解析】解：连接，延长交于点，取中点，连接，取中点，连接，如图，

根据折叠的性质可得，，，
垂直平分，
，点为中点，
点为中点，
为的中位线，
，，，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
点为的中点，
，，
，，
，即，
，
∽，
，
设，则，，，
，
解得：或舍去，
．
故答案为：．
连接，延长交于点，取中点，连接，取中点，连接，根据折叠的性质可得，，进而可得垂直平分，则为的中位线，，，由等边对等角得，再根据对顶角相等，两直线平行内错角相等可得推出，则，，，由等腰三角形的性质可得，以此可证明∽，设，则，，根据相似三角形的性质列出方程求解即可．
本题主要考查折叠的性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形中位线的判定与性质，根据题意正确作出辅助线，构建合适的相似三角形解决问题是解题关键．
 

17.【答案】解：


；



． 

【解析】先算乘方，二次根式的化简，特殊角的三角函数值，再算乘法，最后算加减即可；
利用分式的加法的法则进行运算即可．
本题主要考查分式的加减法，特殊角的三角函数值，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

18.【答案】       

【解析】解：本次调查的人数有：名，
故答案为：；
抽查结果中，组有人，
故答案为：；
共有个数据，其中位数是第、个数据的平均数，而第、个数据均落在组，
在抽查得到的数据中，中位数位于组；
故答案为：；
人，
答：估计平均每日锻炼超过分钟有人．
用组的人数除以其所占百分比可得；
总人数减去其他类别人数即可求得组的人数；
根据中位数的定义即可求解；
用总人数乘以样本中平均每日锻炼超过分钟的人数所占比例即可求解．
本题考查频数率分布表、扇形统计图、中位数、样本估计总体等知识，灵活运用所学知识是解题的关键．
 

19.【答案】证明：四边形为矩形，
，，
在和中，
，
≌，
；
，
，
，
又，，
，
． 

【解析】由“”可证≌，可得结论；
由勾股定理可求的长，即可求解．
本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，锐角三角函数，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
 

20.【答案】解：过点作于，则，，
，
，
，
；
在规定范围内，理由如下：
过点作交的延长线于点，过点作于，
则，，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
在中，，
，
又，
，
规定范围为，
在规定范围内． 

【解析】过点作于，则，，由锐角三角函数定义求出，即可解决问题；
过点作交的延长线于点，过点作于，则，，先证是等腰直角三角形，得，再求出，即可解决问题．
本题主要考查了解直角三角形的应用，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
 

21.【答案】解：【探索发现】如图，

观察上述各点的分布规律，可知它们在同一条直线上，
设这条直线所对应的函数表达式为，
则，，
解得：，
；
【结论应用】应用上述发现的规律估算：
时，，
漏沙时间达到小时时，精密电子称的读数为厘米；
时，，解得：，
漏沙时间为小时，
本次实验记录的开始时间是上午：，
当精密电子称的读数为克时是下午点半． 

【解析】【探索发现】在平面直角坐标系中描出以表格中数据为坐标的各点即可；
观察上述各点的分布规律，可知它们在同一条直线上，设这条直线所对应的函数表达式为，利用待定系数法即可求解；
【结论应用】应用上述发现的规律估算：
利用前面求得的函数表达式求出时，的值即可得出精密电子称的读数；
利用前面求得的函数表达式求出时，的值，由本次实验记录的开始时间是上午：，即可求解．
本题考查了一次函数的应用，利用了待定系数法求解析式，利用函数值求自变量的值，将图象中的与的含义理解透彻是解题关键．
 

22.【答案】解：将点，点代入，
，
解得，
，
，
顶点；
由题可得平移后的函数解析式为，
抛物线的顶点为，
设直线的解析式为，
，
解得，
，
当顶点在直线上时，，
，
轴，
，
当点在上时，，
，
；
存在一点，使以、、、为顶点的四边形是菱形，理由如下：
设，，，
点在点下方，
，
点在第四象限，
，
当为菱形对角线时，，
，
解得舍或，
点横坐标为；
当为对角线时，，
，
解得，
点横坐标为；
当为菱形对角线时，，
，
解得舍或，
点横坐标为；
综上所述：点横坐标为或或． 

【解析】将点，点代入，即可求解；
求出平移后的抛物线的顶点，再求出直线的解析式，当顶点在直线上时，，当点在上时，，则；
设，，，分三种情况讨论：当为菱形对角线时，，，点横坐标为；当为对角线时，，，点横坐标为；当为菱形对角线时，，，点横坐标为．
本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，函数图象平移的性质，菱形的性质，分类讨论是解题的关键．
 

23.【答案】   

【解析】解：四边形是正方形，
，，，
四边形是正方形，
，，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
故答案为：，；
如图，，理由如下：
由可得，
，
，
如图，，理由如下：
四边形是正方形，
，，，，
四边形是正方形，
，，
，
在和中，
，
≌，
，，
；
连接，

≌，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，，
．
由“”可证≌，可得，，即可求解；
由“”可证≌，可得，可得结论；
利用全等三角形的性质和勾股定理可求，，的长，即可求解．
本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，利用勾股定理求的长是解题的关键．