2021年浙江省杭州市下城区中考数学学情调查试卷（三）（word版 含答案）

2021年浙江省杭州市下城区中考数学学情调查试卷（三）

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．求的值是（　　）

A．2 B．﹣2 C．1 D．±2

2．在平面直角坐标系中，点A（m﹣1，2）与点B（3，n）关于y轴对称，则（　　）

A．m＝3，n＝2 B．m＝﹣2，n＝3 C．m＝2，n＝3 D．m＝﹣2，n＝2

3．在两个暗盒中，各自装有编号为1、2的二个球，二个球除编号外无其它区别，则在两个暗盒中各取一个球，两球上的编号的积为偶数的概率为（　　）

A． B． C． D．

4．如图，P为半径是3的圆O外一点，PA切圆O于A，若AP＝4，则OP＝（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5

5．用配方法解方程时，配方结果正确的是（    ）

A． B．

C． D．

6．一个几何体的三视图（图中尺寸单位：cm）如图所示，根据图中所示数据计算这个几何的表面积为（　　）cm2．

A．2π B．3π C．4π D．5π

7．王阿姨以每个m元的价格买进苹果100个，现以每个比进价多20%价格卖出70个后，再以每个比进价低n元的价格将剩下的30个卖出，则全部卖出100个苹果所得的金额是W元，下列等式正确的是（   ）

A． B．

C． D．

8．如图，在直角中，延长斜边到点C，使，连接，若tanB=，则的值（    ）

A． B． C． D．

9．关于函数y＝（mx+m﹣1）（x﹣1）．下列说法正确的是（　　）

A．无论m取何值，函数图象总经过点（1，0）和（﹣1，﹣2）

B．当m≠时，函数图像与x轴总有2个交点

C．若m＞，则当x＜1时，y随x的增大而减小

D．若m＞0时，函数有最小值是﹣m+1

10．如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，△BPC是等边三角形，连接DP并延长交CB的延长线于点H，连接BD交PC于点Q，下列结论：①∠BPD＝135°；②△BDP∽△HDB；③DQ：BQ＝1：2；④S△BDP＝．其中正确的有（　　）

A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③

二、填空题

11．因式分解：______．

12．已知一组数据：2，4，5，6，8，则它的方差为__________.

13．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝8，按下列步骤作图：①以点A为圆心，适当的长度为半径作弧，分别交AB，AC于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径作弧相交于点H，作射线AH；②分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径作弧相交于点M，N，作直线MN，交射线AH于点O；③以点O为圆心，线段OA长为半径作圆．则⊙O的半径为______．

14．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点D在AB边上，点E是BC边上一点（不与点B、C重合），且DA＝DE，则AD的取值范围是___．

三、解答题

15．计算：

（1）4sin60°﹣（﹣2）﹣2+；

（2）解方程：．

16．某班组织学生进行交通安全知识竞赛活动，竞赛成绩分为A、B、C、D四个等级，根据竞赛成绩分别制作了条形统计图和扇形统计图．

请根据相关信息，解答下列问题：

（1）求该班的学生总人数，并补全条形统计图；（温馨提示：请画在答题卷相对应的图上）

（2）求出扇形统计图中C等级所对应的扇形圆心角度数；

（3）已知A等的5名学生中有3名男生，2名女生，现从这5名学生中抽取两名同学参加校级竞赛，用树状图或列表法求出被抽到的两名学生恰好是一名男生，一名女生的概率．

17．如图，已知：在中，，延长BA到点D，使，点E，F分别是边BC，AC的中点．求证：．

18．某蔬菜生产基地的气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬菜．如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度y （℃）与时间x（h）之间的函数关系，其中线段AB、BC表示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分CD表示恒温系统关闭阶段．

请根据图中信息解答下列问题：

（1）求这天的温度y与时间x（0≤x≤24）的函数关系式；

（2）求恒温系统设定的恒定温度；

（3）若大棚内的温度低于10℃时，蔬菜会受到伤害．问这天内，恒温系统最多可以关闭多少小时，才能使蔬菜避免受到伤害？

19．小明尝试着将矩形纸片ABCD（如图①，AD＞CD）沿过A点的直线折叠，使得B点落在AD边上的点F处，折痕为AE（如图②）；再沿过D点的直线折叠，使得C点落在DA边上的点N处，E点落在AE边上的点M处，折痕为DG（如图③）．如果第二次折叠后，M点正好在∠NDG的平分线上．求矩形ABCD长与宽的比值．

20．已知二次函数y＝x2﹣6ax+9（a为常数）．

（1）若该函数图像经过点P（2，7）试求a的值和图像顶点坐标；

（2）在（1）的情况下，当﹣1≤x＜2时，求y的取值范围；

（3）当x≥3，y随x的增大而增大，P（x1，y1），Q（x2，y2）是该函数图象上的两个点，对任意的3a﹣2≤x1≤5，3a﹣2≤x2≤5，y1，y2总满足y1﹣y2≤9a2+25，试求a的取值范围．

21．如图，点E是正方形ABCD边BC上一点（点E不与B、C重合），连接AE交对角线BD于点F，△ADF的外接圆O交边CD于点G，连接GA、GE，设＝α．

（1）求∠EAG的度数．

（2）当α＝时，求tan∠AEG．

（3）用α的代数式表示，并说明理由．

参考答案

1．A

【分析】

根据算术平方根的定义得出即为4的算术平方根，进而求出即可．

【详解】

解：=2，

故选：A．

【点睛】

此题主要考查了算术平方根的定义，熟练利用算术平方根的定义是解题关键．

2．D

【分析】

直接利用关于y轴对称点的性质得出答案．

【详解】

解：∵点A（m-1，2）与点B（3，n）关于y轴对称，

∴m-1+3=0，n=2，

∴m=-2，

故选：D．

【点睛】

此题主要考查了关于y轴对称点的性质，正确掌握关于y轴对称点的横坐标相同，纵坐标互为相反数是解题关键．

3．C

【分析】

利用列举法得到所有情况，再利用概率公式计算．

【详解】

解：由题意可得：

取到的组合为（1，1），（1，2），（2，1），（2，2），

积为偶数的有（1，2），（2，1），（2，2），三种，

所以两球上的编号的积为偶数的概率=，

故选：C．

【点睛】

本题考查了概率的计算，解题的关键是利用列举法将所有情况列举出来．

4．D

【分析】

连接OA，OP，切线的性质得到OA⊥AP，然后利用勾股定理计算OP的长．

【详解】

解：连接OA，OP，

∵PA切圆O与点A，

可得OA=3，OA⊥AP，

∵AP=4，

∴OP==5，

故选D．

【点睛】

本题考查了切线的性质，圆的切线垂直于经过切点的半径，勾股定理，熟记切线的性质是解题的关键．

5．A

【分析】

利用配方法把方程变形即可.

【详解】

用配方法解方程x2﹣6x﹣8＝0时，配方结果为（x﹣3）2＝17，

故选A．

【点睛】

本题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握配方法解一元二次方程的基本步骤是解本题的关键．

6．C

【分析】

由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状，确定圆锥的母线长和底面半径，从而确定其表面积．

【详解】

解：由主视图和左视图为三角形判断出是锥体，由俯视图是圆形可判断出这个几何体应该是圆锥；

根据三视图知：该圆锥的母线长为3cm，底面半径为1cm，

故表面积=πrl+πr2=π×1×3+π×12=4πcm2．

故选：C．

【点睛】

考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，关键是根据圆锥的母线长和底面半径，从而确定其表面积．

7．B

【分析】

王阿姨全部苹果共卖得金额＝先卖70个苹果的总价＋剩下的30个苹果卖出的总价．根据等量关系直接列式即可．

【详解】

解：依题意得，先卖70个苹果的单价是（1＋20%）m元，剩下的30个苹果卖出的单价是（m−n）元，

∴全部苹果共卖得金额W=70×（1＋20%）m＋30（m−n）．

故选B．

【点睛】

本题考查了列代数式的知识，解题关键是正确理解文字语言中的关键词，从而明确其中的运算关系．

8．D

【分析】

延长，过点作，垂足为，由，即，设，则，然后可证明，然后相似三角形的对应边成比例可得：，进而可得，，从而可求．

【详解】

解：如图，延长，过点作，垂足为，

，即，

设，则，

，，

，

，

，，

，

．

故选：．

【点睛】

本题考查了锐角三角函数的定义，相似三角形的判定和性质以及直角三角形的性质，是基础知识要熟练掌握，解题的关键是：正确添加辅助线，将放在直角三角形中．

9．D

【分析】

根据函数的图象和性质逐一求解即可．

【详解】

解：A、当m=0时，

，

当x=-1时，y=2，则不经过（-1，-2），故错误；

B、，

当m=0时，，函数图像与x轴只有1个交点，故错误；

C、，

函数的对称轴为直线x=，

当m＞时，＜1，故当x＜时，y随x的增大而减小，故错误；

D、当m＞0时，函数开口向上，

函数的最小值是，故正确；

故选D．

【点睛】

本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．

10．C

【分析】

由等边三角形及正方形的性质求出、，从而判断①；证可判断②；作，设，则，，，由求出，从而求得、的长，据此可判断③，证，根据求解可判断④．

【详解】

解：是等边三角形，四边形是正方形，

，，，

，

则，故①正确；

，

，

又，

，故②正确；

如图，过点作于，

设，则，，

，

由知，

解得，

，

，

，

则，故③错误；

，，

，

又，

，

，

，故④正确；

故选：C．

【点睛】

本题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握等边三角形和正方形的性质、等腰三角形的判定与性质及相似三角形的判定等知识点．

11．

【分析】

根据平方差公式分解即可．

【详解】

解：．

故答案为：．

【点睛】

本题考查了多项式的因式分解，属于基础题型，熟练掌握平方差公式是解此题的关键．

12．4

【分析】

先求出这组数据的平均数，再由方差的计算公式计算方差．

【详解】

解：一组数据2，4，5，6，8，
这组数据的平均数为：，

∴这组数据的方差为：．

故答案为：4．

【点睛】

本题考查求一组数的方程．掌握平均数和方差的计算公式是解决此题的关键．

13．5

【分析】

如图，设交于．解直角三角形求出，再在中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．

【详解】

解：如图，设交于．半径为，

，平分，

，，

，

在中，则有，

解得，

故答案为：5．

【点睛】

本题考查作图-复杂作图，等腰三角形的性质，垂径定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．

14．

【分析】

首先由中，，，，可求得的长，然后根据题意画出图形，分别从当与相切时与当与相交时，去分析求解即可求得答案．

【详解】

解：中，，，，

，

以为圆心，的长为半径画，

①如图1，当与相切时，时，

设，则，，

，是公共角，

，

，

即，

解得：；

②如图2，当与相交时，若交点为或，则，

的取值范围是．

故答案为：．

【点睛】

此题考查了直线与圆的位置关系、勾股定理以及相似三角形的判定与性质．注意根据题意画出图形，结合图形求解是关键．

15．（1）；（2）x=

【分析】

（1）原式利用负整数指数幂法则，特殊角的三角函数值，二次根式性质化简，计算即可得到结果；

（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．

【详解】

解：（1）

=

=

=；

（2）去分母得：3==2x+2-2，

解得：x=，

经检验x=是分式方程的解．

【点睛】

此题考查了解分式方程，以及实数的混合运算，涉及的知识有：负整数指数幂，特殊角的三角函数值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

16．（1）50人，见解析；（2）108°；（3）

【分析】

（1）利用A等级的人数除以A等级人数所占的百分比即可得到总人数，再求出C等级的人数补充图形即可；

（2）求出C等级的百分比再乘以360度即可；

（3）画出树状图，再根据概率公式即可得到答案．

【详解】

（1）总人数：人；

C：，如图．

（2）．

（3）树状图如下

总共有20种情况，其中一男一女的情况有12种

∴．

【点睛】

本题考查条形统计图与扇形统计图的应用以及用树状图法求概率，能够正确画出树状图是解题关键．

17．见解析.

【分析】

证出FE是△ABC的中位线，由三角形中位线定理得出，FE∥AB，得出∠EFC=∠BAC=90°，得出∠DAF=∠EFC，AD=FE，证明△ADF≌△FEC得出DF=EC，即可得出结论．

【详解】

证明：∵，

∴，

∵点E，F分别是边BC，AC的中点，

∴，，FE是的中位线，

∴，，

∴，

∴，

∵，

∴，

在和中，，

∴，

∴，

∴．

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理、平行线的性质；熟练掌握三角形中位线定理，证明三角形全等是解题的关键．

18．（1）y关于x的函数解析式为；（2）恒温系统设定恒温为20°C；（3）恒温系统最多关闭10小时，蔬菜才能避免受到伤害．

【详解】

分析：（1）应用待定系数法分段求函数解析式；

（2）观察图象可得；

（3）代入临界值y=10即可．

详解：（1）设线段AB解析式为y=k1x+b（k≠0）

∵线段AB过点（0，10），（2，14）

代入得

解得

∴AB解析式为：y=2x+10（0≤x＜5）

∵B在线段AB上当x=5时，y=20

∴B坐标为（5，20）

∴线段BC的解析式为：y=20（5≤x＜10）

设双曲线CD解析式为：y=（k2≠0）

∵C（10，20）

∴k2=200

∴双曲线CD解析式为：y=（10≤x≤24）

∴y关于x的函数解析式为：

（2）由（1）恒温系统设定恒温为20°C

（3）把y=10代入y=中，解得，x=20

∴20-10=10

答：恒温系统最多关闭10小时，蔬菜才能避免受到伤害．

点睛：本题为实际应用背景的函数综合题，考查求得一次函数、反比例函数和常函数关系式．解答时应注意临界点的应用．

19．

【分析】

连接DE，由翻折的性质知，四边形ABEF为正方形，∠EAD=45°，而M点正好在∠NDG的平分线上，则DE平分∠GDC，由折叠性质得出Rt△DGE≌Rt△DCE，得到DC=DG，而△AGD为等腰直角三角形，得到AD=DG=CD，因此BC=AB．

【详解】

解：连接DE，如图，

∵沿过A点的直线折叠，使得B点落在AD边上的点F处，

∴四边形ABEF为正方形，

∴∠EAD=45°，同法可证：∠ADG=45°，

∴∠AGD=90°，

由第二次折叠知，M点正好在∠NDG的平分线上，

∴DE平分∠GDC，Rt△DGE≌Rt△DCE，

∴DC=DG，

又∵△AGD为等腰直角三角形，

∴AD=DG=CD，

∴BC=AB，

∴．

【点睛】

本题考查了翻折的性质：翻折前后的两个图形全等．也考查了正方形、角的平分线的性质以及等腰直角三角形的性质；熟记翻折变换和正方形的性质是解决问题的关键．

20．（1），（，）；（2）≤y≤13；（3）0≤a≤1

【分析】

（1）将点P坐标代入表达式，即可求出a值，再代入表达式，配成顶点式可得顶点坐标；

（2）根据x的范围结合开口方向和对称轴可得y的最值；

（3）由x≥3时，y随x的增大而增大，可得3a≤3，即a≤1；又由二次函数的增减性可知，x=3a时，ymin=9-9a2；x=5时，ymax=34-30a；根据y1-y2≤9a2+25，建立不等式，并求出a的取值范围，即可得出结论．

【详解】

解：（1）∵该函数图像经过点P（2，7），

∴，

解得：，

∴，

∴顶点坐标为（，）；

（2）∵函数图像的对称轴为直线x=，开口向上，

当-1≤x＜2时，，，，

∴当x=时，y取最小值，且为，

当x=-1时，y取最大值，且为13，

∴y的取值范围是：≤y≤13；

（3）由题意可得，抛物线开口向上，

∵当x≥3时，y随x的增大而增大，

∴x=3a≤3，即a≤1；

又5-3a≥2，3a-（3a-2）=2，得

x=3a时，ymin=9-9a2，

x=5时，ymax=34-30a，

∴34-30a-（9-9a2）≤9a2+25，

解得，a≥0，

∴0≤a≤1．

【点睛】

本题主要考查二次函数图象的性质及二次函数最值问题，弄清楚二次函数的增减性与二次函数的最值何时取到是解题基础．

21．（1）45°；（2）3；（3）

【分析】

（1）根据同弧所对的圆周角相等即可求出结果；

（2）连接，根据正方形推出，再根据圆的内接四边形对角互补推出，然后根据第一问推得，即，然后利用已知得出，再根据即可得出结果；

（3）过点作，连接然后根据正方形的对称性得，由（2）得，由和三线合一得，然后根据已知得出，再根据得出，根据利用比例线段得出，然后根据，等量代换即可得到结果．

【详解】

解：（1）是正方形的对角线，

，

，

，

；

（2）连接，

在正方形中，

又在圆的内接四边形中，

，由（1）得，

，

，

，

，

，

，

，，

，

正方形中，，

，

，

；

（2）过作，垂足为，连接，

利用正方形轴对称可得，

由（2）知

，

，

，

，，

，

，

，

，，

，

，

，

，，

．

【点睛】

本题考查了圆的综合题，圆的相关概念同弧所对的圆周角，圆的内接四边形是解本题的必备条件．利用平行出相似，平行出比例线段以及线段的等量代换是解本题的关键．