2021年浙江省杭州市滨江区中考数学一模试卷(含解析)

这是一份2021年浙江省杭州市滨江区中考数学一模试卷(含解析)，共21页。试卷主要包含了选择题.，填空题.，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．|﹣7|＝（ ）
A．﹣7B．7C．±7D．
2．数据1900000用科学记数法表示为（ ）
A．1.96B．1.9×106C．19×105D．19×106
3．下列因式分解中正确的是（ ）
A．m2+n2＝（m+n）（m﹣n）B．﹣3x﹣6＝﹣3（x﹣2）
C．a2﹣a＝a（a﹣1）D．a2+a+1＝a（a+1）+1
4．若点A（m，2）与点B（﹣1，n）关于y轴对称，则m+n＝（ ）
A．﹣3B．﹣1C．1D．3
5．若x＞y，则（ ）
A．2x＜2yB．x＞y+1
C．﹣2x﹣2＜﹣2y﹣2D．x﹣1＜y﹣1
6．某女子排球队6名场上队员的身高（单位：cm）是：170，174，178，180，180，184．现用身高为178cm的队员替换场上身高为174cm的队员，与换人前相比，场上队员的身高（ ）
A．平均数变大，中位数不变
B．平均数变大，中位数变大
C．平均数变小，中位数不变
D．平均数变小，中位数变大
7．已知，如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E．若AE＝2，CD＝6，则OB的长度为（ ）
A．B．C．D．5
8．下列命题中（ ）
①底边和顶角对应相等的两个等腰三角形全等；
②对角线相等的四边形是矩形．
A．①正确②正确B．①正确②错误C．①错误②正确D．①错误②错误
9．一个门框的尺寸如图所示，下列长×宽型号（单位：m）的长方形薄木板能从门框中通过的是（ ）
A．2.9×2.2B．2.8×2.3C．2.7×2.4D．2.6×2.5
10．已知函数y＝x2﹣4ax+5（a为常数），当x≥4时，y随x的增大而增大，P（x1，y1），Q（x2，y2）是该函数图象上的两点，对任意的2a﹣1≤x1≤5和2a﹣1≤x2≤5，y1，y2总满足y1﹣y2≤5+4a2，则实数a的取值范围是（ ）
A．﹣1≤a≤2B．1≤a≤2C．2≤a≤3D．2≤a≤4
二、填空题（共6小题）.
11．如图，a∥b，若∠1＝58°，则∠2＝ ．
12．已知函数y＝（m为常数，m≠0），在图象所在的每一象限内，y随x的增大而增大，则m取值范围是 ．
13．已知a+b＝3，且a﹣b＝﹣1，则a2+b2＝ ．
14．从﹣2，3中任取一个数，再从0，﹣1，4中任取一个数，则所取两个数的乘积为负数的概率是 ．
15．如图，若∠CAB＝30°，AE＝1，EF＝3，AD＝2，则ED2+FD2＝ ．
16．已知，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝9，点F在AB边上，且AF＝2，点E是BC边上的一个点，连接EF，作线段EF的垂直平分线HG，分别交边AD，BC于点H，G，连接FH，EH．当点E和点C重合时（如图1），DH＝ ；当点B，M，D三点共线时（如图2），DH＝ ．
三、解答题：本大题有7个小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．计算：
（1）﹣．
（2）解方程：﹣＝1．
18．进入夏季，为了解某品牌电风扇销售量的情况，厂家对某商场7月份该品牌甲、乙、丙三种型号的电风扇销售量进行统计，绘制如下两个统计图（均不完整）．请你结合图中的信息，解答下列问题：
（1）该商场7月份售出这种品牌三种型号的电风扇共多少台？补全条形统计图．
（2）若该商场计划订购这三种型号的电风扇共5000台，根据7月份销售量的情况，求该商场应订购丙种型号电风扇多少台比较合理？
19．已知，如图，△ABC中，线段AE，AF，AB，AC满足AE•AC＝AF•AB．
（1）求证：△ABC∽△AEF．
（2）若AC＝6，BC＝5，EF＝CF，求AF的长．
20．在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b（k，b都是常数，且k≠0）的图象经过点（1，0）和（0，﹣1）．
（1）当﹣1＜x≤2时，y的取值范围．
（2）已知点P（m，n）在该函数的图象上，且m+n＝5，求点P的坐标．
21．如图，矩形ABCD中，点E为BC边上一点，把△ABE沿着AE折叠得到△AEF，点F落在AD边的上方，线段EF与AD边交于点G．
（1）求证：△AGE是等腰三角形．
（2）试写出线段FG、GD、EC三者之间的数量关系式（用同一个等式表示），并证明．
22．某位同学做实验考察电流变化情况时，可以选择若干定值电阻进行并联，（假设可以选择任何数值的电阻），已知电源电压U为3V．（注：公式I＝，其中I是电流强度，U是电压，R是电阻）
（1）若只选择一个电阻，测得电流强度I为0.1A，求该电阻R的值．
（2）若所选的两个电阻分别为R1，R2，且R1+R2＝20Ω，恰好使总电流强度I最小，求对应电阻R1，R2的值．（注：并联时总电阻R＝）（在求对应R1，R2的值时，用数学的方法书写过程）
23．已知，如图，△ABC内接于⊙O，边BC为直径，且AC＝3，AB＝4．点P是直径BC下方圆弧上一点，AP与BC交于点Q．
（1）求⊙O的半径．
（2）当＝，求AP的长度．
（2）若＝，求弦BP的长度．
参考答案
一、选择题（共10小题）.
1．|﹣7|＝（ ）
A．﹣7B．7C．±7D．
解：∵﹣7＜0，
∴|﹣7|＝7．
故选：B．
2．数据1900000用科学记数法表示为（ ）
A．1.96B．1.9×106C．19×105D．19×106
解：1 900 000＝1.9×106．
故选：B．
3．下列因式分解中正确的是（ ）
A．m2+n2＝（m+n）（m﹣n）B．﹣3x﹣6＝﹣3（x﹣2）
C．a2﹣a＝a（a﹣1）D．a2+a+1＝a（a+1）+1
解：A、原式不能进行因式分解，不符合题意．
B、原式＝﹣3（x+2），不符合题意．
C、原式＝a（a﹣1），符合题意．
D、原式的变换形式不是因式分解，不符合题意．
故选：C．
4．若点A（m，2）与点B（﹣1，n）关于y轴对称，则m+n＝（ ）
A．﹣3B．﹣1C．1D．3
【分析】根据关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变，进而得出答案．
解：∵点A（m，2）与点B（﹣1，n）关于y轴对称，
∴m＝1，n＝2，
故m+n＝3．
故选：D．
5．若x＞y，则（ ）
A．2x＜2yB．x＞y+1
C．﹣2x﹣2＜﹣2y﹣2D．x﹣1＜y﹣1
【分析】根据不等式的性质逐个判断即可．
解：A、∵、∵x＞y，∴2x＞2y，原说法错误，故本选项不符合题意；
B、∵x＞y，x＞y+1，原说法错误，故本选项不符合题意；
C、∵x＞y，∴﹣2x﹣2＜﹣2y﹣2，原说法正确，故本选项符合题意；
D、∵x＞y，x﹣1＜y﹣1，原说法错误，故本选项不符合题意．
故选：C．
6．某女子排球队6名场上队员的身高（单位：cm）是：170，174，178，180，180，184．现用身高为178cm的队员替换场上身高为174cm的队员，与换人前相比，场上队员的身高（ ）
A．平均数变大，中位数不变
B．平均数变大，中位数变大
C．平均数变小，中位数不变
D．平均数变小，中位数变大
【分析】根据平均数、中位数的意义进行判断即可．
解：用身高为178cm的队员替换场上身高为174cm的队员，使总身高增加，进而平均数身高变大，
但换人后，从小到大排列的顺序不变，因此中位数不变，
故选：A．
7．已知，如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E．若AE＝2，CD＝6，则OB的长度为（ ）
A．B．C．D．5
【分析】连接OD，设⊙O的半径为R，由垂径定理得DE＝CE＝CD＝3，在Rt△ODE中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
解：连接OD，如图所示：
设⊙O的半径为R，
∵弦CD⊥AB于点E．CD＝6，
∴DE＝CE＝CD＝3，∠OED＝90°，
在Rt△ODE中，由勾股定理得：DE2+OE2＝OD2，
即32+（R﹣2）2＝R2，
解得：R＝，
即OB的长为，
故选：B．
8．下列命题中（ ）
①底边和顶角对应相等的两个等腰三角形全等；
②对角线相等的四边形是矩形．
A．①正确②正确B．①正确②错误C．①错误②正确D．①错误②错误
【分析】根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理、三角形全等的判定定理判断①；
根据矩形的判定定理判断②．
解：①当两个等腰三角形的顶角对应相等时，它们的底角也对应相等，
∴这两个等腰三角形全等，
∴底边和顶角对应相等的两个等腰三角形全等，说法正确；
②对角线相等的平行四边形是矩形，故本小题说法错误；
故选：B．
9．一个门框的尺寸如图所示，下列长×宽型号（单位：m）的长方形薄木板能从门框中通过的是（ ）
A．2.9×2.2B．2.8×2.3C．2.7×2.4D．2.6×2.5
【分析】解答此题先要弄清题意，只要求出门框对角线的长再与已知薄木板的宽相比较即可得出答案．
解：薄木板不能从门框内通过．理由如下：
连接AC，则AC与AB、BC构成直角三角形，
根据勾股定理得AC＝＝＝≈2.236＞2.2．
∴只有2.9×2.2薄木板不能从门框内通过，
故选：A．
10．已知函数y＝x2﹣4ax+5（a为常数），当x≥4时，y随x的增大而增大，P（x1，y1），Q（x2，y2）是该函数图象上的两点，对任意的2a﹣1≤x1≤5和2a﹣1≤x2≤5，y1，y2总满足y1﹣y2≤5+4a2，则实数a的取值范围是（ ）
A．﹣1≤a≤2B．1≤a≤2C．2≤a≤3D．2≤a≤4
【分析】由x≥4时，y随x的增大而增大，可得2a≤4，即a≤2；又由二次函数的增减性可知，x＝2a时，ymin＝5﹣4a2；x＝5时，ymax＝30﹣20a；根据y1﹣y2≤5+4a2，建立等式，并求出a的取值范围，即可得出结论．
解：有题意可得，抛物线开口向上，
∵当x≥4时，y随x的增大而增大，
∴对称轴x＝2a≤4，即a≤2；
又5﹣2a≥1，2a﹣（2a﹣1）＝1，得
x＝2a时，ymin＝5﹣4a2，
x＝5时，ymax＝30﹣20a，
∴30﹣20a﹣（5﹣4a2）≤5+4a2，
解得，a≥1，
∴1≤a≤2．
故选：B．
二、填空题：本大题有6个小题，每小题4分，共24分
11．如图，a∥b，若∠1＝58°，则∠2＝ 122° ．
【分析】根据平角的性质可计算出∠3的度数，再根据平行线的性质，两直线平行同位角相等，∠2＝∠3即可得出答案．
解：∵∠1＝58°，
∴∠3＝180°﹣∠1＝180°﹣58°＝122°，
又∵a∥b，
∴∠2＝∠3＝122°．
故答案为：122°．
12．已知函数y＝（m为常数，m≠0），在图象所在的每一象限内，y随x的增大而增大，则m取值范围是 m＜0 ．
【分析】由反比例函数的性质可求解．
解：∵y＝的图象所在的每一象限内，y随x的增大而增大，
∴m＜0，
故答案为m＜0．
13．已知a+b＝3，且a﹣b＝﹣1，则a2+b2＝ 5 ．
【分析】根据完全平方公式把已知条件的两多项式平方，然后相加即可得到a2+b2的值．
解：∵a+b＝3，a﹣b＝﹣1，
∴a2+2ab+b2＝9①，a2﹣2ab+b2＝1②，
①+②得，2（a2+b2）＝9+1＝10，
∴a2+b2＝5．
故应填5．
14．从﹣2，3中任取一个数，再从0，﹣1，4中任取一个数，则所取两个数的乘积为负数的概率是 ．
【分析】画树状图，共有6个等可能的结果，再找出符合条件的结果数，然后由概率公式求解即可．
解：画树状图如图：
共有6个等可能的结果，所取两个数的乘积为负数的结果有2个，
∴所取两个数的乘积为负数的概率为＝，
故答案为：．
15．如图，若∠CAB＝30°，AE＝1，EF＝3，AD＝2，则ED2+FD2＝ 25﹣10 ．
【分析】过点D作DH⊥EF于点H，由直角三角形的性质得出DH＝AD＝1，AH＝，求出EH，FH的长，则由勾股定理可得出答案．
解：过点D作DH⊥EF于点H，
∵∠CAB＝30°，AD＝2，
∴DH＝AD＝1，AH＝，
在Rt△DEH中，ED2＝EH2+DH2，
在Rt△DHF中，FD2＝HF2+DH2，
∴ED2+FD2＝EH2+1+HF2+1，
∵AE＝1，EF＝3，
∴EH＝﹣1，
∴HF＝EF﹣EH＝3﹣（﹣1）＝4﹣，
∴ED2+FD2＝+1
＝25﹣10．
故答案为：25﹣10．
16．已知，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝9，点F在AB边上，且AF＝2，点E是BC边上的一个点，连接EF，作线段EF的垂直平分线HG，分别交边AD，BC于点H，G，连接FH，EH．当点E和点C重合时（如图1），DH＝ ；当点B，M，D三点共线时（如图2），DH＝ ．
【分析】当点E和点C重合时，由垂直平分线的性质可得，FH＝CH，设DH＝t，则AH＝9﹣t，分别在Rt△DHC和Rt△AHF中，利用勾股定理建等式，求出t，即求出DH的长；当点B，M，D三点共线时，过点M作MP⊥BC于点P，并延长PM交AD于点Q，由中位线定理可得，MP＝BF＝2，由MP∥CD，可得△BMP∽△BDC，可得BP的长，再利用一线三等角，可证明△EMP∽△MHQ，可得QH＝，最后由DH＝9﹣AQ﹣QH，可得DH＝．
解：如图1，设DH＝t，则AH＝9﹣t，
∵GH垂直平分EF，
∴FH＝CH，
∴＝，即22+（9﹣t）2＝t2+62，
解得t＝，即DH＝；
故答案为：；
如图2，过点M作MP⊥BC于点P，并延长PM交AD于点Q，则PQ⊥AD，
∵GH垂直平分EF，则点M是EF中点，
∵MP⊥BC，BF⊥BC，
∴MP＝BF＝（6﹣2）＝2，BP＝PE，
∴MQ＝4，
∵MP∥CD，
∴，
∴BP＝BC＝3，
∴PE＝AQ＝BP＝3，
∵GH⊥EF，
∴∠HME＝90°，
∴∠QMH+∠EMP＝90°，
又∠HQM＝∠MPE＝90°，
∴∠QMH+∠QHM＝90°，
∴∠EMP＝∠QHM，
∴△EMP∽△MHQ，
∴，即，
解得，QH＝，
∴DH＝9﹣AQ﹣QH＝9﹣3﹣＝．
故答案为：．
三、解答题：本大题有7个小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．计算：
（1）﹣．
（2）解方程：﹣＝1．
【分析】（1）原式通分并利用同分母分数的减法法则计算即可求出值；
（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
解：（1）原式＝﹣
＝﹣；
（2）去分母得：3﹣4＝6x，
解得：x＝﹣，
检验：把x＝﹣代入得：6x＝﹣1≠0，
则分式方程的解为x＝﹣．
18．进入夏季，为了解某品牌电风扇销售量的情况，厂家对某商场7月份该品牌甲、乙、丙三种型号的电风扇销售量进行统计，绘制如下两个统计图（均不完整）．请你结合图中的信息，解答下列问题：
（1）该商场7月份售出这种品牌三种型号的电风扇共多少台？补全条形统计图．
（2）若该商场计划订购这三种型号的电风扇共5000台，根据7月份销售量的情况，求该商场应订购丙种型号电风扇多少台比较合理？
【分析】（1）从两个统计图可知，销售甲型号的电风扇400台，占本月销售量的40%，可求出本月的销售量，进而求出丙型号销售的台数，补全条形统计图；
（2）求出样本中丙型号的电风扇所占得百分比即可．
解：（1）该商场7月份售出这种品牌三种型号的电风扇的总台数：400÷40%＝1000（台），
丙型号的电风扇的台数为：1000﹣400﹣250＝350（台），
补全条形统计图如图所示：
答：该商场7月份售出这种品牌三种型号的电风扇共1000台；
（2）300×＝105（台），
答：商场应订购丙种型号电风扇105台比较合理．
19．已知，如图，△ABC中，线段AE，AF，AB，AC满足AE•AC＝AF•AB．
（1）求证：△ABC∽△AEF．
（2）若AC＝6，BC＝5，EF＝CF，求AF的长．
【分析】（1）根据AE•AC＝AF•AB得到边成比例，即可求证．
（2）根据三角形相似，对应边成比例即可求解．
【解答】证明：（1）∵AE•AC＝AF•AB．
∴．
∵∠EAF＝∠BAC．
∴△ABC∽△AEF．
（2）设AF＝x，则EF＝FC＝6﹣x．
由（1）得到：，即：．
解得：x＝．
即：AF＝．
20．在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b（k，b都是常数，且k≠0）的图象经过点（1，0）和（0，﹣1）．
（1）当﹣1＜x≤2时，y的取值范围．
（2）已知点P（m，n）在该函数的图象上，且m+n＝5，求点P的坐标．
【分析】（1）由一次函数图象经过点的坐标，即可得出关于k，b的方程，解之即可得出一次函数的解析式，分别代入x＝﹣1和x＝2，求出与之对应的y值，再利用一次函数的性质即可求出当﹣1＜x≤2时，y的取值范围．
（2）由一次函数图象上点的坐标特征及m+n＝5，即可求出m，n的值，进而可得出点P的坐标．
解：（1）∵一次函数y＝kx+b（k，b都是常数，且k≠0）的图象经过点（1，0）和（0，﹣1），
∴，
解得：，
∴一次函数的解析式为y＝x﹣1．
当x＝﹣1时，y＝﹣1﹣1＝﹣2，
当x＝2时，y＝2﹣1＝1．
∵k＝1＞0，
∴y随x的增大而增大，
∴当﹣1＜x≤2时，﹣2＜y≤1．
（2）∵点P（m，n）在该函数的图象上，且m+n＝5，
∴，
解得：，
∴点P的坐标为（3，2）．
21．如图，矩形ABCD中，点E为BC边上一点，把△ABE沿着AE折叠得到△AEF，点F落在AD边的上方，线段EF与AD边交于点G．
（1）求证：△AGE是等腰三角形．
（2）试写出线段FG、GD、EC三者之间的数量关系式（用同一个等式表示），并证明．
【分析】（1）根据矩形得到AD∥BC，根据折叠的性质得到∠AEB＝∠AEG即可求证．
（2）先写出关系，根据已知条件和等腰三角形的性质，进行线段和差计算即可求解．
【解答】（1）证明：在矩形ABCD中，有：AD∥BC且AD＝BC．
∴∠DAE＝∠BEA．
∵△ABE沿着AE折叠得到△AEF．
∴∠AEB＝∠AEG．
∴∠GAE＝∠GEA．
∴GA＝GE．
∴△AGE是等腰三角形．
（2）GD＝GF+EC．
证明：根据折叠的性质：BE＝EF．
∵GE＝GA、AG+GD＝BE+EC．
∴AG+GD＝EF+EC．
.∵EF＝FG+GE＝FG+GA．
∴AG+GD＝FG+GA+EC．
∴GD＝GF+EC．
22．某位同学做实验考察电流变化情况时，可以选择若干定值电阻进行并联，（假设可以选择任何数值的电阻），已知电源电压U为3V．（注：公式I＝，其中I是电流强度，U是电压，R是电阻）
（1）若只选择一个电阻，测得电流强度I为0.1A，求该电阻R的值．
（2）若所选的两个电阻分别为R1，R2，且R1+R2＝20Ω，恰好使总电流强度I最小，求对应电阻R1，R2的值．（注：并联时总电阻R＝）（在求对应R1，R2的值时，用数学的方法书写过程）
【分析】（1）根据公式I＝，代入即可求解．
（2）根据题意写出总电流表达式，利用R1+R2＝20Ω进行化简配方即可求出最小值．
解：（1）根据题意知：U＝3V，I＝0.1A．
∴．
（2）∵R1+R2＝20Ω．
∴并联时总电阻R＝＝．
∵I＝．
∴总电流强度I＝＝＝＝＝＝．
故当R1＝10Ω时，总电流强度I取最小值，此时R2＝10Ω．
即：恰好使总电流强度I最小，对应电阻R1，R2的值都为10Ω．
23．已知，如图，△ABC内接于⊙O，边BC为直径，且AC＝3，AB＝4．点P是直径BC下方圆弧上一点，AP与BC交于点Q．
（1）求⊙O的半径．
（2）当＝，求AP的长度．
（2）若＝，求弦BP的长度．
【分析】（1）利用圆的性质和勾股定理即可得到半径．
（2）连接OP，并延长交圆于点D，连接AD，作AE⊥PD于点E，通过证明△AEP∽△DAP，得到AP2＝PD•PE＝5PE，在通过点A作AF⊥BC于点F，AF＝，进而AP2＝5（OP+OE）＝12+＝，从而得到结果．
（3）分别过A，P作AM，PN垂直于BC于点M，N，得到△AMQ∽△PNQ，在利用三角形的面积可得BP•CP＝PN•BC＝10，在利用勾股定理求出结果．
解：（1）∵BC是直径，
∴∠BAC＝90°，
在Rt△ABC中，BC＝＝5，
∴：半径为，
（2）连接OP，并延长交圆于点D，连接AD，作AE⊥PD于点E，
∵，
∴DP⊥BC，
∴∠AEP＝∠DAP＝90°，
∵∠APE＝∠APD，
∴△AEP∽△DAP，
∴，
∴AP2＝PD•PE＝5PE，
过点A作AF⊥BC于点F，
∴AF＝OE，四边形AEOF是矩形，
在Rt△ABC中，AF＝，
∴OE＝AF＝，
∴AP2＝5（OP+OE）＝12+＝，
∴AP＝，
（3）分别过A，P作AM，PN垂直于BC于点M，N，
∴∠AMQ＝∠PNQ＝90°，
∠AQM＝∠PQN，
∴△AMQ∽△PNQ，
在Rt△ABC中，
，
∴AM＝，
∴PN＝2，
∴，
∴BP•CP＝PN•BC＝10．
∵△BPC是直角三角形，
∴BP2+CP2＝BC2＝25，
∴BP2+CP2+2BP．CP＝45＝（BP+CP）2，
∴BP+CP＝±，﹣3舍去，
∴BP+CP＝3，
设BP＝x，则CP＝3﹣x，
∵BP﹣CP＝10，
∴x（﹣x）＝10，
解得x＝或2．