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苏科版数学八年级上册第2章轴对称图形章末重难点题型(举一反三)(原卷+解析卷)学案
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【考点1 判断轴对称图形】
【方法点拨】掌握轴对称图形的概念:把一个图形沿着某一条直线翻折,如果直线两旁的部分能够互相重合,那么称这个图形是轴对称图形,这条直线就是对称轴。
注意:理解轴对称图形的定义应注意两点:
(1)轴对称图形是一个图形,反映的是这个图形自身的性质。
(2)符合要求的“某条直线”可能不止一条,但至少要有一条。
【例1】(2019春•相城区期中)下列图形中,不是轴对称图形的是( )
A.B.C.D.
【变式1-1】(2018秋•思明区校级期中)如图,四个手机应用图标中是轴对称图形的是( )
A.B.C.D.
【变式1-2】(2018秋•开封期中)下列四个图形中,不是轴对称图形的是( )
A.B.C.D.
【变式1-3】(2018秋•宜兴市校级期中)下列图形中,不是轴对称图形的有( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
【考点2 角平分线的应用】
【方法点拨】掌握角平分线的性质定理:角平分线上的点到角两边的距离相等
牢记:(1)角平分线的性质是证明线段相等的一个比较简单的方法;
(2)当遇到有关角平分线的问题时,通常过角平分线上的点向角的两边作垂线,构造相等的线段。
【例2】(2019春•港南区期中)如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=BC,AD平分∠CAB交BC于D,DE⊥AB于E,若AB=6cm,则△DBE的周长是( )
A.6 cmB.7 cmC.8 cmD.9 cm
【变式2-1】(2018秋•九龙坡区校级期中)如图,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB于E,已知△ABC的面积为28.AC=6,DE=4,则AB的长为( )
A.6B.8C.4D.10
【变式2-2】(2018秋•思明区校级期中)如图,△ABC中,AB=6,AC=4,AD平分∠BAC,DE⊥AB于点E,BF⊥AC于点F,DE=2,则BF的长为( )
A.3B.4C.5D.6
【变式2-3】(2018秋•西城区校级期中)如图,AD是△ABC中∠BAC的角平分线,DE⊥AB于点E,S△ABC=24,DE=4,AB=7,则AC长是( )
A.3B.4C.6D.5
【考点3 线段垂直平分线性质的应用】
【方法点拨】掌握线段垂直平分线的性质定理:线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等
注意:(1)这里的距离指的是点与点之间的距离,也就是两点之间线段的长度。
(2)在使用该定理时必须保证两个前提条件:一是垂直于这条线段,二是平分这条线段。
【例3】(2019春•普宁市期中)如图:在△ABC中,AB和AC的垂直平分线分别交BC于点D、E,且点D在点E的左侧,BC=6cm,则△ADE的周长是( )
A.3cmB.12cmC.9cmD.6cm
【变式3-1】(2019春•南华县期中)如图,在 Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,AB的垂直平分线交BC于点D,连接AD,则△ACD的周长是( )
A.7B.8C.9D.10
【变式3-2】(2018秋•南岗区校级期中)如图,在△ABC中,点E在边AC上,DE是AB的垂直平分线,△ABC的周长为19,△BCE的周长为12,则线段AB的长为( )
A.9B.8C.7D.6
【变式3-3】(2018春•雨城区校级期中)如图,在△ABC中,PM、QN分别是AB、AC的垂直平分线,∠BAC=100°那么∠PAQ等于( )
A.50°B.40°C.30°D.20°
【考点4 等腰三角形的性质】
【方法点拨】掌握等腰三角形的性质:
1.等腰三角形是轴对称图形,顶角平分线所在的直线是它的对称轴。
2.等腰三角形的两底角相等(简称“等边对等角”)。
3.等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合(简称“三线合一”)。
【例4】(2018春•金水区校级期中)已知等腰三角形一腰的垂直平分线与另一腰所在的直线的夹角为40°,则此等腰三角形的顶角是( )
A.50°B.130°C.50°或 140°D.50°或 130°
【变式4-1】(2018秋•洪山区期中)如图,已知AB=AC=BD,则∠1与∠2的关系是( )
A.3∠1﹣∠2=180°B.2∠1+∠2=180°
C.∠1+3∠2=180°D.∠1=2∠2
【变式4-2】(2018秋•邗江区期中)如图,若AB=AC,下列三角形能被一条直线分成两个小等腰三角形的是( )
A.(1)(2)(3)B.(1)(3)(4)C.(2)(3)(4)D.(1)(2)(4)
【变式4-3】(2018秋•新吴区期中)如图,在第一个△ABA1中∠B=20°,AB=A1B,在A1B上取一点C,延长AA1到A2,使得A1A2=A1C,得到第二个△A1A2C;在A2C上取一点D,延长A1A2到A3,使得A2A3=A2D;…,按此做法进行下去,则以点A4为顶点的等腰三角形的底角的度数为( )
A.175°B.170°C.10°D.5°
【考点5 轴对称性质的应用】
【方法点拨】掌握轴对称的性质:
1.成轴对称的两个图形全等。
2.成轴对称的两个图形中,对应点的连线被对称轴垂直平分。
3.成轴对称的两个图形的任何对应部分也成轴对称。
【例5】(2019春•贵阳期末)如图,点P是△ACB外的一点,点D,E分别是△ACB两边上的点,点P关于CA的对称点P1恰好落在线段ED上,P点关于CB的对称点P2落在ED的延长线上,若PE=2.5,PD=3,ED=4,则线段P1P2的长为 .
【变式5-1】(2019春•普宁市期末)如图,在△ABC中,点D为BC边上一点,点D关于AB,AC对称的点分别为E、F,连接EF分别交AB、AC于M、N,分别连接DM、DN,已知△DMN的周长是6cm,那么EF= .
【变式5-2】(2019春•山亭区期末)如图,在∠AOB的内部有一点P,点M、N分别是点P关于OA,OB的对称点,MN分别交OA,OB于C,D点,若△PCD的周长为30cm,则线段MN的长为 cm.
【变式5-3】(2018春•凤翔县期末)如图,点P是∠AOB外一点,点M、N分别是∠AOB两边上的点,点P关于OA的对称点Q恰好落在线段MN上,点P关于OB的对称点R落在线段MN的延长线上.若PM=2.5cm,PN=3cm,MN=4cm,则线段QR的长为 .
【考点6 设计轴对称图案】
【方法点拨】设计轴对称图案往往以正方形、菱形、等边三角形和网格纸(或格点纸)为基础,因为这些图形本身就是轴对称图形,利用轴对称的有关性质容易设计出它们的对称点或对称部分。设计轴对称图案时,要先确定出有几条对称轴,然后根据对称轴的不同,合理地设计出整体的轴对称图案。具体设计时,我们通常先以一条对称轴为基线,根据构思或需要,再添加其他的对称轴,进一步设计美观、完善的图案。
注意:(1)要设计的图案是由哪些基本图形组成的;
(2)是不是轴对称图形,如果是轴对称图形,要先确定它的对称轴;
(3)设计轴对称的美术图案时,除图形对称外,有时颜色也要“对称”。
【例6】(2019春•赫山区期末)如图是网格中由五个小正方形组成的图形,根据下列要求画图(涂上阴影)
(1)图①中,添加一块小正方形,使之成为轴对称图形,且有两条对称轴;
(2)图②中,添加一块小正方形,使之成为轴对称图形,且只有一条对称轴(画出一个即可)
【变式6-1】(2019春•东明县期末)如图,下列4×4网格图都是由16个相间小正方形组成,每个网格图中有4个小正方形已涂上阴影,在空白小正方形中,选取2个涂上阴影,使6个阴影小正方形组成个轴对称图形,请设计出四种方案.
【变式6-2】(2018秋•赣榆区期中)如图,在2×2的正方形网格中,每个小正方形的边长均为1.请分别在下列图中画一个位置不同、顶点都在格点上的三角形,使其与△ABC成轴对称图形.
【变式6-3】(2018秋•东台市期中)方格纸中每个小方格都的边长为1的正方形,我们把以格点连线为边的多边形称为“格点多边形”.
(1)在图1中确定格点D,并画出一个以A、B、C、D为顶点的四边形,使其为轴对称图形;
(2)在图2中画一个格点正方形,使其面积等于10;
(3)直接写出图3中△FGH的面积是 .
【考点7 等腰三角形的判定】
【方法点拨】掌握等腰三角形的判定:
等腰三角形的判定定理:有两个角相等的三角形是等腰三角形。简称“等角对等边”
牢记:(1)等腰三角形的性质“等边对等角”与等腰三角形的判定“等角对等边”的条件和结论正好相反,要注意区分;
(2)判定定理可以用来判定一个三角形是等腰三角形,同时也是今后证明两条线段相等的重要依据。
【例7】(2019春•深圳期中)如图,DE∥BC,CG=GB,∠1=∠2,求证:△DGE是等腰三角形.
【变式7-1】(2018秋•双阳区校级期中)如图,BD是△ABC的角平分线,DE∥BC,交AB于点E.求证:△BED是等腰三角形.
【变式7-2】(2018秋•鸠江区期中)已知:如图,O为△ABC的∠BAC的角平分线上一点,∠1=∠2,求证:△ABC是等腰三角形.
【变式7-3】(2019秋•望谟县期中)已知:如图,锐角△ABC的两条高BD、CE相交于点O,且OB=OC.
求证:△ABC是等腰三角形.
【考点8 “三线合一”性质的应用】
【方法点拨】等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合(简称“三线合一”)。
【例8】(2019秋•武昌区期中)如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC,BE平分∠ABC,G为EF的中点,求证:AG⊥EF.
【变式8-1】(2019秋•青山区期中)在△ABC中,BC边上的高AG平分∠BAC.
(1)如图1,求证:AB=AC;
(2)如图2,点D、E在△ABC的边BC上,AD=AE,BC=10cm,DE=6cm,求BD的长.
【变式8-2】(2019•衡阳校级期中)已知:如图,在等边三角形ABC的AC边上取中点D,BC的延长线上取一点E,使CE=CD.求证:BD=DE.
【变式8-3】如图所示,△ABC是等腰直角三角形,∠BAC=90°,AB=AC.
(1)若D为BC的中点,过D作DM⊥DN分别交AB、AC于M、N,求证:DM=DN;
(2)若DM⊥DN分别和BA、AC延长线交于M、N,问DM和DN有何数量关系,并证明.
【考点9 等边三角形的判定与性质】
【方法点拨】等边三角形的性质:
(1)等边三角形是轴对称图形,并且具有3条对称轴;
(2)等边三角形的每个角都等于60°。
等边三角形的判定:
(1)三边相等的三角形是等边三角形。
(2)三个角都相等的三角形是等边三角形。
(3)有两个角是60°的三角形是等边三角形。
(4)有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
【例9】(2018秋•松桃县期末)如图,点P,M,N分别在等边△ABC的各边上,且MP⊥AB于点P,MN⊥BC于点M,PN⊥AC于点N.
(1)求证:△PMN是等边三角形;
(2)若AB=12cm,求CM的长.
【变式9-1】(2018秋•邵阳县期末)如图,在等边△ABC中,∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O,且OD∥AB,OE∥AC
(1)试判定△ODE的形状,并说明你的理由;
(2)若BC=10,求△ODE的周长.
【变式9-2】(2019秋•寿光市期末)如图,A、B、C三点在同一直线上,分别以AB、BC为边,在直线AC的同侧作等边△ABD和等边△BCE,连接AE交BD于点M,连接CD交BE于点N,连接MN得△BMN.
(1)求证:△ABE≌△DBC.
(2)试判断△BMN的形状,并说明理由.
【变式9-3】(2019秋•中江县期末)如图,△ABC中,AB=BC=AC=12cm,现有两点M、N分别从点A、点B同时出发,沿三角形的边运动,已知点M的速度为1cm/s,点N的速度为2cm/s.当点N第一次到达B点时,M、N同时停止运动.
(1)点M、N运动几秒后,M、N两点重合?
(2)点M、N运动几秒后,可得到等边三角形△AMN?
(3)当点M、N在BC边上运动时,能否得到以MN为底边的等腰三角形AMN?如存在,请求出此时M、N运动的时间.
【考点10 翻折变换】
【例10】(2018春•锦江区期末)在探索三角形全等的条件时,老师给出了定长线段a,b,且长度为b的边所对的角为n°(0<n<90°)小明和小亮按照所给条件分别画出了图1中的三角形,他们把两个三角形重合在一起(如图2),其中AB=a,BD=BC=b,发现它们不全等,但他们对该图形产生了浓厚兴趣,并进行了进一步的探究:
(1)当n=45时(如图2),小明测得∠ABC=65°,请根据小明的测量结果,求∠ABD的大小;
(2)当n≠45时,将△ABD沿AB翻折,得到△ABD′(如图3),小明和小亮发现∠D′BC的大小与角度n有关,请找出它们的关系,并说明理由;
(3)如图4,在(2)问的基础上,过点B作AD′的垂线,垂足为点E,延长AE到点F,使得EF=(AD+AC),连接BF,请判断△ABF的形状,并说明理由.
【变式10-1】(2019春•迁安市期末)已知∠MON=90°,点A,B分别在射线OM,ON上运动(不与点O重合)
观察:
(1)如图1,若∠OBA和∠OAB的平分线交于点C,∠ACB= °
猜想:
(2)如图2,随着点A,B分别在射线OM,ON上运动(不与点O重合).若BC是∠ABN的平分线,BC的反向延长线与∠OAB的平分线交于点E,∠E的大小会变吗?如果不会,求∠E的度数;如果会改变,说明理由.
拓展:
(3)如图3,在(2)基础上,小明将△ABE沿MN折叠,使点E落在四边形ABMN内点E′的位置.求∠BME′+∠ANE′的度数.
【变式10-2】(2019春•硚口区月考)如图1,点E,F分别在直线AB,CD上,点P在AB,CD之间,连接EP,FP.过FP上的点M作MN∥EP,交CD于点N,且∠MNF=∠AEP.
(1)求证:AB∥CD;
(2)如图2,将射线FC沿FP折叠后交EP于点G,GH平分∠EGF,若GH∥AB,请写出∠EPF与∠GFC的数量关系,并证明你的结论;
(3)如图3,将射线EA沿EP折叠,射线FC沿FP折叠,折叠后两条射线相交于点Q,直接写出当∠EPF= 度时,EQ⊥FQ.
【变式10-3】(2019春•广陵区校级期中)发现(1)如图1,把△ABC沿DE折叠,使点A落在点A’处,请你判断∠1+∠2与∠A有何数量关系,直接写出你的结论,不必说明理由
思考(2)如图2,BI平分∠ABC,CI平分∠ACB,把△ABC折叠,使点A与点I重合,若∠1+∠2=100°,求∠BIC的度数;
拓展(3)如图3,在锐角△ABC中,BF⊥AC于点F,CG⊥AB于点G,BF、CG交于点H,把△ABC折叠使点A和点H重合,试探索∠BHC与∠1+∠2的关系,并证明你的结论.
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