苏科版数学八年级上册第2章轴对称图形章末重难点题型（举一反三）（原卷+解析卷）学案

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【考点1 判断轴对称图形】
【方法点拨】掌握轴对称图形的概念：把一个图形沿着某一条直线翻折，如果直线两旁的部分能够互相重合，那么称这个图形是轴对称图形，这条直线就是对称轴。
注意：理解轴对称图形的定义应注意两点：
（1）轴对称图形是一个图形，反映的是这个图形自身的性质。
（2）符合要求的“某条直线”可能不止一条，但至少要有一条。
【例1】（2019春•相城区期中）下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【变式1-1】（2018秋•思明区校级期中）如图，四个手机应用图标中是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【变式1-2】（2018秋•开封期中）下列四个图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【变式1-3】（2018秋•宜兴市校级期中）下列图形中，不是轴对称图形的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【考点2 角平分线的应用】
【方法点拨】掌握角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等
牢记：（1）角平分线的性质是证明线段相等的一个比较简单的方法；
（2）当遇到有关角平分线的问题时，通常过角平分线上的点向角的两边作垂线，构造相等的线段。
【例2】（2019春•港南区期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，若AB＝6cm，则△DBE的周长是（ ）
A．6 cmB．7 cmC．8 cmD．9 cm
【变式2-1】（2018秋•九龙坡区校级期中）如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E，已知△ABC的面积为28．AC＝6，DE＝4，则AB的长为（ ）
A．6B．8C．4D．10
【变式2-2】（2018秋•思明区校级期中）如图，△ABC中，AB＝6，AC＝4，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F，DE＝2，则BF的长为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【变式2-3】（2018秋•西城区校级期中）如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝24，DE＝4，AB＝7，则AC长是（ ）
A．3B．4C．6D．5
【考点3 线段垂直平分线性质的应用】
【方法点拨】掌握线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等
注意：（1）这里的距离指的是点与点之间的距离，也就是两点之间线段的长度。
（2）在使用该定理时必须保证两个前提条件：一是垂直于这条线段，二是平分这条线段。
【例3】（2019春•普宁市期中）如图：在△ABC中，AB和AC的垂直平分线分别交BC于点D、E，且点D在点E的左侧，BC＝6cm，则△ADE的周长是（ ）
A．3cmB．12cmC．9cmD．6cm
【变式3-1】（2019春•南华县期中）如图，在 Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，AB的垂直平分线交BC于点D，连接AD，则△ACD的周长是（ ）
A．7B．8C．9D．10
【变式3-2】（2018秋•南岗区校级期中）如图，在△ABC中，点E在边AC上，DE是AB的垂直平分线，△ABC的周长为19，△BCE的周长为12，则线段AB的长为（ ）
A．9B．8C．7D．6
【变式3-3】（2018春•雨城区校级期中）如图，在△ABC中，PM、QN分别是AB、AC的垂直平分线，∠BAC＝100°那么∠PAQ等于（ ）
A．50°B．40°C．30°D．20°
【考点4 等腰三角形的性质】
【方法点拨】掌握等腰三角形的性质：
1.等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线所在的直线是它的对称轴。
2.等腰三角形的两底角相等（简称“等边对等角”）。
3.等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合（简称“三线合一”）。
【例4】（2018春•金水区校级期中）已知等腰三角形一腰的垂直平分线与另一腰所在的直线的夹角为40°，则此等腰三角形的顶角是（ ）
A．50°B．130°C．50°或 140°D．50°或 130°
【变式4-1】（2018秋•洪山区期中）如图，已知AB＝AC＝BD，则∠1与∠2的关系是（ ）
A．3∠1﹣∠2＝180°B．2∠1+∠2＝180°
C．∠1+3∠2＝180°D．∠1＝2∠2
【变式4-2】（2018秋•邗江区期中）如图，若AB＝AC，下列三角形能被一条直线分成两个小等腰三角形的是（ ）
A．（1）（2）（3）B．（1）（3）（4）C．（2）（3）（4）D．（1）（2）（4）
【变式4-3】（2018秋•新吴区期中）如图，在第一个△ABA1中∠B＝20°，AB＝A1B，在A1B上取一点C，延长AA1到A2，使得A1A2＝A1C，得到第二个△A1A2C；在A2C上取一点D，延长A1A2到A3，使得A2A3＝A2D；…，按此做法进行下去，则以点A4为顶点的等腰三角形的底角的度数为（ ）
A．175°B．170°C．10°D．5°
【考点5 轴对称性质的应用】
【方法点拨】掌握轴对称的性质：
1.成轴对称的两个图形全等。
2.成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分。
3.成轴对称的两个图形的任何对应部分也成轴对称。
【例5】（2019春•贵阳期末）如图，点P是△ACB外的一点，点D，E分别是△ACB两边上的点，点P关于CA的对称点P1恰好落在线段ED上，P点关于CB的对称点P2落在ED的延长线上，若PE＝2.5，PD＝3，ED＝4，则线段P1P2的长为 ．
【变式5-1】（2019春•普宁市期末）如图，在△ABC中，点D为BC边上一点，点D关于AB，AC对称的点分别为E、F，连接EF分别交AB、AC于M、N，分别连接DM、DN，已知△DMN的周长是6cm，那么EF＝ ．
【变式5-2】（2019春•山亭区期末）如图，在∠AOB的内部有一点P，点M、N分别是点P关于OA，OB的对称点，MN分别交OA，OB于C，D点，若△PCD的周长为30cm，则线段MN的长为 cm．
【变式5-3】（2018春•凤翔县期末）如图，点P是∠AOB外一点，点M、N分别是∠AOB两边上的点，点P关于OA的对称点Q恰好落在线段MN上，点P关于OB的对称点R落在线段MN的延长线上．若PM＝2.5cm，PN＝3cm，MN＝4cm，则线段QR的长为 ．
【考点6 设计轴对称图案】
【方法点拨】设计轴对称图案往往以正方形、菱形、等边三角形和网格纸（或格点纸）为基础，因为这些图形本身就是轴对称图形，利用轴对称的有关性质容易设计出它们的对称点或对称部分。设计轴对称图案时，要先确定出有几条对称轴，然后根据对称轴的不同，合理地设计出整体的轴对称图案。具体设计时，我们通常先以一条对称轴为基线，根据构思或需要，再添加其他的对称轴，进一步设计美观、完善的图案。
注意：（1）要设计的图案是由哪些基本图形组成的；
（2）是不是轴对称图形，如果是轴对称图形，要先确定它的对称轴；
（3）设计轴对称的美术图案时，除图形对称外，有时颜色也要“对称”。
【例6】（2019春•赫山区期末）如图是网格中由五个小正方形组成的图形，根据下列要求画图（涂上阴影）
（1）图①中，添加一块小正方形，使之成为轴对称图形，且有两条对称轴；
（2）图②中，添加一块小正方形，使之成为轴对称图形，且只有一条对称轴（画出一个即可）
【变式6-1】（2019春•东明县期末）如图，下列4×4网格图都是由16个相间小正方形组成，每个网格图中有4个小正方形已涂上阴影，在空白小正方形中，选取2个涂上阴影，使6个阴影小正方形组成个轴对称图形，请设计出四种方案．
【变式6-2】（2018秋•赣榆区期中）如图，在2×2的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1．请分别在下列图中画一个位置不同、顶点都在格点上的三角形，使其与△ABC成轴对称图形．
【变式6-3】（2018秋•东台市期中）方格纸中每个小方格都的边长为1的正方形，我们把以格点连线为边的多边形称为“格点多边形”．
（1）在图1中确定格点D，并画出一个以A、B、C、D为顶点的四边形，使其为轴对称图形；
（2）在图2中画一个格点正方形，使其面积等于10；
（3）直接写出图3中△FGH的面积是 ．
【考点7 等腰三角形的判定】
【方法点拨】掌握等腰三角形的判定：
等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形。简称“等角对等边”
牢记：（1）等腰三角形的性质“等边对等角”与等腰三角形的判定“等角对等边”的条件和结论正好相反，要注意区分；
（2）判定定理可以用来判定一个三角形是等腰三角形，同时也是今后证明两条线段相等的重要依据。
【例7】（2019春•深圳期中）如图，DE∥BC，CG＝GB，∠1＝∠2，求证：△DGE是等腰三角形．
【变式7-1】（2018秋•双阳区校级期中）如图，BD是△ABC的角平分线，DE∥BC，交AB于点E．求证：△BED是等腰三角形．
【变式7-2】（2018秋•鸠江区期中）已知：如图，O为△ABC的∠BAC的角平分线上一点，∠1＝∠2，求证：△ABC是等腰三角形．
【变式7-3】（2019秋•望谟县期中）已知：如图，锐角△ABC的两条高BD、CE相交于点O，且OB＝OC．
求证：△ABC是等腰三角形．
【考点8 “三线合一”性质的应用】
【方法点拨】等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合（简称“三线合一”）。
【例8】（2019秋•武昌区期中）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，BE平分∠ABC，G为EF的中点，求证：AG⊥EF．
【变式8-1】（2019秋•青山区期中）在△ABC中，BC边上的高AG平分∠BAC．
（1）如图1，求证：AB＝AC；
（2）如图2，点D、E在△ABC的边BC上，AD＝AE，BC＝10cm，DE＝6cm，求BD的长．
【变式8-2】（2019•衡阳校级期中）已知：如图，在等边三角形ABC的AC边上取中点D，BC的延长线上取一点E，使CE＝CD．求证：BD＝DE．
【变式8-3】如图所示，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC．
（1）若D为BC的中点，过D作DM⊥DN分别交AB、AC于M、N，求证：DM＝DN；
（2）若DM⊥DN分别和BA、AC延长线交于M、N，问DM和DN有何数量关系，并证明．
【考点9 等边三角形的判定与性质】
【方法点拨】等边三角形的性质：
（1）等边三角形是轴对称图形，并且具有3条对称轴；
（2）等边三角形的每个角都等于60°。
等边三角形的判定：
（1）三边相等的三角形是等边三角形。
（2）三个角都相等的三角形是等边三角形。
（3）有两个角是60°的三角形是等边三角形。
（4）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
【例9】（2018秋•松桃县期末）如图，点P，M，N分别在等边△ABC的各边上，且MP⊥AB于点P，MN⊥BC于点M，PN⊥AC于点N．
（1）求证：△PMN是等边三角形；
（2）若AB＝12cm，求CM的长．
【变式9-1】（2018秋•邵阳县期末）如图，在等边△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，且OD∥AB，OE∥AC
（1）试判定△ODE的形状，并说明你的理由；
（2）若BC＝10，求△ODE的周长．
【变式9-2】（2019秋•寿光市期末）如图，A、B、C三点在同一直线上，分别以AB、BC为边，在直线AC的同侧作等边△ABD和等边△BCE，连接AE交BD于点M，连接CD交BE于点N，连接MN得△BMN．
（1）求证：△ABE≌△DBC．
（2）试判断△BMN的形状，并说明理由．
【变式9-3】（2019秋•中江县期末）如图，△ABC中，AB＝BC＝AC＝12cm，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s．当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动．
（1）点M、N运动几秒后，M、N两点重合？
（2）点M、N运动几秒后，可得到等边三角形△AMN？
（3）当点M、N在BC边上运动时，能否得到以MN为底边的等腰三角形AMN？如存在，请求出此时M、N运动的时间．
【考点10 翻折变换】
【例10】（2018春•锦江区期末）在探索三角形全等的条件时，老师给出了定长线段a，b，且长度为b的边所对的角为n°（0＜n＜90°）小明和小亮按照所给条件分别画出了图1中的三角形，他们把两个三角形重合在一起（如图2），其中AB＝a，BD＝BC＝b，发现它们不全等，但他们对该图形产生了浓厚兴趣，并进行了进一步的探究：
（1）当n＝45时（如图2），小明测得∠ABC＝65°，请根据小明的测量结果，求∠ABD的大小；
（2）当n≠45时，将△ABD沿AB翻折，得到△ABD′（如图3），小明和小亮发现∠D′BC的大小与角度n有关，请找出它们的关系，并说明理由；
（3）如图4，在（2）问的基础上，过点B作AD′的垂线，垂足为点E，延长AE到点F，使得EF＝（AD+AC），连接BF，请判断△ABF的形状，并说明理由．
【变式10-1】（2019春•迁安市期末）已知∠MON＝90°，点A，B分别在射线OM，ON上运动（不与点O重合）
观察：
（1）如图1，若∠OBA和∠OAB的平分线交于点C，∠ACB＝ °
猜想：
（2）如图2，随着点A，B分别在射线OM，ON上运动（不与点O重合）．若BC是∠ABN的平分线，BC的反向延长线与∠OAB的平分线交于点E，∠E的大小会变吗？如果不会，求∠E的度数；如果会改变，说明理由．
拓展：
（3）如图3，在（2）基础上，小明将△ABE沿MN折叠，使点E落在四边形ABMN内点E′的位置．求∠BME′+∠ANE′的度数．
【变式10-2】（2019春•硚口区月考）如图1，点E，F分别在直线AB，CD上，点P在AB，CD之间，连接EP，FP．过FP上的点M作MN∥EP，交CD于点N，且∠MNF＝∠AEP．
（1）求证：AB∥CD；
（2）如图2，将射线FC沿FP折叠后交EP于点G，GH平分∠EGF，若GH∥AB，请写出∠EPF与∠GFC的数量关系，并证明你的结论；
（3）如图3，将射线EA沿EP折叠，射线FC沿FP折叠，折叠后两条射线相交于点Q，直接写出当∠EPF＝ 度时，EQ⊥FQ．
【变式10-3】（2019春•广陵区校级期中）发现（1）如图1，把△ABC沿DE折叠，使点A落在点A’处，请你判断∠1+∠2与∠A有何数量关系，直接写出你的结论，不必说明理由
思考（2）如图2，BI平分∠ABC，CI平分∠ACB，把△ABC折叠，使点A与点I重合，若∠1+∠2＝100°，求∠BIC的度数；
拓展（3）如图3，在锐角△ABC中，BF⊥AC于点F，CG⊥AB于点G，BF、CG交于点H，把△ABC折叠使点A和点H重合，试探索∠BHC与∠1+∠2的关系，并证明你的结论．