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专题1.3 位置与坐标章末重难点题型（举一反三）（北师大版）（解析版）学案
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这是一份北师大版八年级上册本册综合导学案，共40页。学案主要包含了北师大版，考点1 确定位置，方法点拨，变式1-1，变式1-2，变式1-3，变式2-1，变式2-2等内容，欢迎下载使用。
【考点1 确定位置】
【方法点拨】在平面内，确定一个物体的位置一般需要两个数据.
若设这两个数据分别为a和b，则：a表示：排数、行数、经度、方位……b表示：座数、列数、纬度、距离……
【例1】（2019春•颍泉区校级期中）如图，军训时七（1）班的同学按教官的指令站了7排8列，如果第7排第8列的同学的位置在队列的东北角，可以用有序数对（7，8）来表示，那么表示站在西南角同学的位置的有序数对是（ ）
A．（7，8）B．（1，1）C．（1，2）D．（2，1）
【分析】根据“某同学坐在7排8列，用（7，8）表示，”得出排数写在数对中的第一个数，列数写在数对中的第二个数，由此表示站在西南角同学的位置的有序数对．
【答案】解：因为，排数写在数对中的第一个数，列数写在数对中的第二个数，
所以，表示站在西南角同学的位置的有序数对是（1，1），
故选：B．
【点睛】考查了坐标确定位置，解答此题的关键是根据所给出的同学的位置的确定方法，来确定要求同学的位置．
【变式1-1】（2019春•江城区期中）以校门所在位置为原点，分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系，如果出校门向东走60m，再向北走80m，记作（60，80），那么明明家位置（﹣30，60）的含义是（ ）
A．出校门向西走30m，再向南走60m
B．出校门向西走30m，再向北走60m
C．出校门向东走30m，再向南走60m
D．出校门向东走30m，再向北走60m
【分析】根据从原点向东为正，向北为正，可得明明家位置（﹣30，60）的含义．
【答案】解：由以校门所在位置为原点，分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系，得
明明家位置（﹣30，60）表示出校门向西走30米，向北走60米，故B符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了坐标确定位置，利用坐标表示点的位置的关键是确定原点的位置．
【变式1-2】（2018秋•桥东区期中）小明乘坐一艘游船出海游玩，游船上的雷达扫描探测得到的结果如图所示，每相邻两个圆之间距离是1km（小圆半径是1km），若小艇C在游船的正南方2km，则下列关于小艇A、B的位置描述，正确的是（ ）
A．小艇A在游船的北偏东60°，且距游船3km
B．游船在的小艇A北偏东60°，且距游船3km
C．小艇B在游船的北偏西30°，且距游船2km
D．小艇B在小艇C的北偏西30°，且距游船2km
【分析】利用方向角的表示方法对各选项进行判断．
【答案】解：小艇A在游船的北偏东30°，且距游船3km；小艇B在游船的北偏西60°，且距游船2km；游船在小艇的南偏西30°，且距游船3km；小艇B在小艇C的北偏西30°，且距游船2km．
故选：D．
【点睛】本题考查了坐标确定位置：是熟练掌握平面内特殊位置的点的坐标特征．理解方向角的表示方法．
【变式1-3】（2018春•孝义市期中）如图呈现的是一局围棋比赛中的几手棋，为记录棋谱方便，横线用字母表示，纵线用英文数字表示，这样，黑棋❶的位置可记为（C，4），则白棋⑥的位置可记为（ ）
A．（E，3）B．（F，3）C．（G，5）D．（D，6）
【分析】直接利用黑棋❶的位置表示方法，进而得出白棋⑥的位置．
【答案】解：∵黑棋❶的位置可记为（C，4），
∴白棋⑥的位置可记为：（G，5）．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了坐标确定位置，正确理解横纵坐标的意义是解题关键．
【考点2 象限内点的特征】
【方法点拨】掌握第1～4象限内点的坐标符号特点分别是：（＋，＋）、（－，＋）、（－，－）、（＋，－）.
【例2】（2019春•天门校级期中）已知点P（a，b）在第四象限，则点Q（2a﹣b，2b﹣a）在第（ ）象限．
A．一B．二C．三D．四
【分析】根据各象限内点的坐标特征解答即可．
【答案】解：由题意，得
a＞0，b＜0．
由不等式的性质，得
2a﹣b＞0，2b﹣a＜0，
点Q（2a﹣b，2b﹣a）在第四象限，
故选：D．
【点睛】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．
【变式2-1】（2019春•信丰县期中）如果P（a+b，ab）在第二象限，那么点Q（﹣a，b）在第（ ）象限．
A．一B．二C．三D．四
【分析】直接利用第二象限内点的坐标特点得出a，b的符号，进而得出答案．
【答案】解：∵P（a+b，ab）在第二象限，
∴a+b＜0，ab＞0，
∴a＜0，b＜0，
∴﹣a＞0，
∴点Q（﹣a，b）在第四象限．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了点的坐标，正确得出a，b的符号是解题关键．
【变式2-2】（2019春•卫辉市期中）若点A（a+1，b﹣2）在第二象限，则点B（﹣a，b+1）在第（ ）象限．
A．四B．三C．二D．一
【分析】根据第二象限内点的横坐标是负数，纵坐标是正数列不等式求出a、b的取值范围，然后求解即可．
【答案】解：∵点A（a+1，b﹣2）在第二象限，
∴a+1＜0，b﹣2＞0，
∴a＜﹣1，b＞2，
∴﹣a＞1，b+1＞3，
∴点B（﹣a，b+1）在第一象限．
故选：D．
【点睛】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征以及解不等式，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．
【变式2-3】（2019春•汉阳区期末）直角坐标系中点P（a+2，a﹣2）不可能所在的象限是（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【分析】确定出点P的横坐标比纵坐标大，再根据各象限内点的坐标特征解答．
【答案】解：∵（a+2）﹣（a﹣2）＝a+2﹣a+2＝4，
∴点P的横坐标比纵坐标大，
∵第二象限内点的横坐标是负数，纵坐标是正数，
∴点P不可能在第二象限．
故选：B．
【点睛】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．
【考点3 坐标轴上点的特征】
【方法点拨】坐标系内点的坐标特点：坐标原点（0，0）、x轴（x，0）、y轴（0，y）.注意若点在坐标轴上，则要分成在x轴、y轴上两种情况来讨论.
【例3】（2019秋•市北区期中）如果点P（m+3，2m+4）在y轴上，那么点Q（m﹣3，﹣3）的位置在（ ）
A．纵轴上B．横轴上C．第三象限D．第四象限
【分析】由点P在y轴上可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出m的值，将其代入点Q的坐标中可得出点Q在第三象限，此题得解．
【答案】解：∵点P（m+3，2m+4）在y轴上，
∴m+3＝0，
∴m＝﹣3，
∴点Q的坐标为（﹣6，﹣3），
∴点Q在第三象限．
故选：C．
【点睛】本题考查了点的坐标以及解一元一次方程，根据点P在y轴上找出关于m的一元一次方程是解题的关键．
【变式3-1】（2019春•邓州市期中）若点A（﹣2，n）在x轴上，则点B（n﹣1，n+1）在第（ ）象限．
A．一B．二C．三D．四
【分析】由点在x轴的条件是纵坐标为0，得出点A（﹣2，n）的n＝0，再代入求出点B的坐标及象限．
【答案】解：∵点A（﹣2，n）在x轴上，
∴n＝0，
∴点B的坐标为（﹣1，1）．
则点B（n﹣1，n+1）在第二象限．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了点的坐标，解决本题的关键是掌握好四个象限的点的坐标的特征：第一象限正正，第二象限负正，第三象限负负，第四象限正负．
【变式3-2】（2019春•柳江区期中）若点A（m+2，2m﹣5）在y轴上，则点A的坐标是（ ）
A．（0，﹣9）B．（2.5，0）C．（2.5，﹣9）D．（﹣9，0）
【分析】直接利用y轴上横坐标为0，进而得出m的值即可得出答案．
【答案】解：∵点A（m+2，2m﹣5）在y轴上，
∴m+2＝0，
解得：m＝﹣2，
故2m﹣5＝﹣9，
故点A的坐标为：（0，﹣9）．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了点的坐标，正确得出m的值是解题关键．
【变式3-3】（2018秋•章丘区期末）已知点A（2x﹣4，x+2）在坐标轴上，则x的值等于（ ）
A．2或﹣2B．﹣2C．2D．非上述答案
【分析】依据坐标轴上的点的坐标特征，即可得到x的值．
【答案】解：∵点A（2x﹣4，x+2）在坐标轴上，
∴当2x﹣4＝0时，x＝2，
当x+2＝0时，x＝﹣2，
∴x的值为±2，
故选：A．
【点睛】本题考查了点的坐标：坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的关系；解题时注意：x轴上点的纵坐标为0，y轴上点的横坐标为0．
【考点4 点到坐标轴的距离】
【方法点拨】点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值.
【例4】（2019春•兰山区期中）在平面直角坐标系中，点E在x轴上方，y轴的左侧，距离x轴3个单位，距离y轴4个单位，则E点的坐标为（ ）
A．（3，﹣4）B．（4，﹣3）C．（﹣4，3）D．（﹣3，4）
【分析】先判断出点E在第二象限，再根据点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值解答．
【答案】解：∵点E在x轴上方，y轴的左侧，
∴点E在第二象限，
∵距离x轴3个单位长度，距离y轴4个单位长度，
∴点E的横坐标为﹣4，纵坐标为3，
∴点E的坐标是（﹣4，3）．
故选：C．
【点睛】本题考查了点的坐标，熟记点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值是解题的关键．
【变式4-1】（2019春•郯城县期中）点P（a+3，b+1）在平面直角坐标系的x轴上，并且点P到y轴的距离为2，则a+b的值为（ ）
A．﹣1B．﹣2C．﹣1或﹣6D．﹣2或﹣6
【分析】根据x轴上点的纵坐标为0以及点到y轴的距离等于横坐标的长度解答．
【答案】解：∵点P（a+3，b+1）在平面直角坐标系的x轴上，并且点P到y轴的距离为2，
∴b+1＝0，|a+3|＝2，
∴a＝﹣1或﹣5，b＝﹣1，
∴a+b＝﹣2或﹣6，
故选：D．
【点睛】本题考查了点的坐标，熟记点到y轴的距离等于横坐标的长度以及x轴上点的坐标特征是解题的关键．
【变式4-2】（2018春•新罗区校级期中）若点P（2x，3x+5）在第二象限，且点P到两坐标轴的距离相等，则点Q（﹣x2，2x2+2）的坐标是（ ）
A．（1，﹣4）B．（﹣1，﹣4）C．（﹣1，4）D．（1，4）
【分析】根据第二象限角平分线上的点到两坐标轴的距离相等，可得答案．
【答案】解：由题意，得
2x+3x+5＝0，
解得x＝﹣1．
当x＝﹣1时，﹣x2＝﹣1．
2x2+2＝4，
Q（﹣x2，2x2+2）的坐标是（﹣1，4），
故选：C．
【点睛】本题考查了点的坐标，利用第二象限角平分线上的点到两坐标轴的距离相等得出2x+3x+5＝0是解题关键．
【变式4-3】（2019春•栾城区期中）已知直线MN垂直于x轴，若点M的坐标为（﹣5，2），点N距x轴的距离为3个单位，则点N的坐标为（ ）
A．（﹣5，3）B．（﹣5，3）或（﹣5，﹣3）
C．（3，2）D．（3，2）或（﹣3，2）
【分析】根据平行于y轴的直线上点的横坐标相等，点到x轴的距离是纵坐标的绝对值，可得答案．
【答案】解：由直线MN垂直于x轴，若点M的坐标为（﹣5，2），点N的横坐标为﹣5，
由点N距x轴的距离为3个单位，则点N的纵坐标为3或﹣3，
故选：B．
【点睛】本题考查了点的坐标，利用平行于y轴的直线上点的横坐标相等得出点的横坐标是解题关键．
【考点5 角平分线上点的特征】
【方法点拨】象限角平分线上点的坐标特点：第1、3象限中x＝y，第二、四象限中x＋y＝0．
【例5】（2019春•武平县校级期中）已知点A（2a+1，5a﹣2）在第一、三象限的角平分线上，点B（2m+7，m﹣1）在二、四象限的角平分线上，则（ ）
A．a＝1，m＝﹣2B．a＝1，m＝2C．a＝﹣1，m＝﹣2D．a＝﹣1，m＝2
【分析】已知一、三象限上的点的横纵坐标相等，故按照题目要求，使横纵坐标相等，可列出等式，即可求出a的值；根据第二、第四象限坐标轴夹角平分线上的点，横纵坐标互为相反数，由此就可以得到关于m的方程，解出m的值．
【答案】解：由已知条件知，点A位于一、三象限夹角平分线上，
所以有2a+4＝5a﹣2，
解得：a＝1；
∵点B（2m+7，m﹣1）在第二、四象限的夹角角平分线上，
∴（2m+7）+（m﹣1）＝0，[来源:学+科+网Z+X+X+K]
解得：m＝﹣2．
故选：A．
【点睛】本题考查了点的坐标的知识，注意掌握知识点：第二、四象限的夹角角平分线上的点的横纵坐标互为相反数．
【变式5-1】（2019春•德州期末）若点A（a+1，a﹣2）在第二、四象限的角平分线上，则点B（﹣a，1﹣a）在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象跟D．第四象限
【分析】根据第二、四象限点的横坐标与纵坐标互为相反数列出方程求出a的值，再根据各象限内点的坐标特征求解即可．
【答案】解：∵点A（a+1，a﹣2）在第二、四象限的角平分线上，
∴a+1＝﹣（a﹣2），
解得a=12．
∴﹣a=-12，1﹣a＝1-12=12，
∴点B（﹣a，1﹣a）在第二象限．
故选：B．
【点睛】本题考查了点的坐标，掌握第二、四象限点的横坐标与纵坐标互为相反数以及各象限内点的坐标特征是解题的关键．
【变式5-2】若A（a，﹣b），B（﹣b，a）表示同一个点，那这个点一定在（ ）
A．第二、四象限的角平分线上
B．第一、三象限的角平分线上
C．平行于x轴的直线上
D．平行于y轴的直线上
【分析】先判断出a＝﹣b，则点的横坐标与纵坐标符号相反．
【答案】解：∵点A（a，﹣b），B（﹣b，a）表示同一个点，
∴a＝﹣b，
∴这个点一定在第一、三象限的角平分线上．
故选：B．
【点睛】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．
【变式5-3】（2019春•福州校级月考）已知点M（a﹣1，﹣a+3）向右平移3个单位，之后又向下移7个单位，得到点N、若点N恰在第三象限的角平分线上，则a的值为（ ）
A．2B．0C．3D．﹣3
【分析】让点M的横坐标加3，纵坐标减7得到点N的坐标，让点N的横纵坐标相等即可求得a的值．
【答案】解：∵点M（a﹣1，﹣a+3）向右平移3个单位，之后又向下移7个单位，得到点N，
∴点N的横坐标为a﹣1+3＝a+2；纵坐标为﹣a+3﹣7＝﹣a﹣4；
∵点N恰在第三象限的角平分线上，
∴a+2＝﹣a﹣4，
∴a＝﹣3，
故选：D．
【点睛】本题考查了平移中点的变化规律：左右移动改变点的横坐标，左减，右加；上下移动改变点的纵坐标，下减，上加．注意第三象限上点的横纵坐标相等．
【考点6 点的坐标确定位置】
【方法点拨】首先由点的坐标确定坐标系，进而可确定所求位置的坐标.
【例6】（2019春•郯城县期中）课间操时，小华、小军、小刚的位置如图，小军对小华说，如果我的位置用（0，﹣2）表示，小刚的位置用（2，0）表示，那么你的位置可以表示为（ ）
A．（﹣2，﹣3）B．（﹣3，﹣2）C．（﹣3，﹣4）D．（﹣4，﹣3）
【分析】根据小军和小刚的坐标建立平面直角坐标系，据此可得答案．
【答案】解：由小军和小华的坐标可建立如图所示平面直角坐标系：
则小华的位置可表示为（﹣2，﹣3），
故选：A．
【点睛】本题考查了坐标确定位置：平面内的点与有序实数对一一对应；记住直角坐标系中特殊位置点的坐标特征．
【变式6-1】（2019春•蒙阴县期中）如图是中国象棋的一盘残局，如果用（2，﹣3）表示“帅”的位置，用（6，4）表示的“炮”位置，那么“将”的位置应表示为（ ）
A．（6，4）B．（4，6）C．（1，6）D．（6，1）
【分析】以帅的坐标向左两个单位，向上3个单位为坐标原点建立平面直角坐标系，然后写出将的坐标即可．
【答案】解：建立平面直角坐标系如图所示，将（1，6）．
故选C．
【点睛】本题考查了坐标确定位置，读懂题目信息，准确确定出坐标原点是解题的关键．
【变式6-2】（2018春•越秀区期中）如图所示为某战役潜伏敌人防御工亭坐标地图的碎片，一号墙堡的坐标为（4，2），四号墙堡的坐标为（﹣2，4），由原有情报得知：敌军指挥部的坐标为（0，0），你认为敌军指挥部的位置大概（ ）
A．A处B．B处C．C处D．D处
【分析】根据一号暗堡的坐标和四号暗堡的横坐标为一正一负分析，于是四点中只有B点可能为坐标原点．
【答案】解：∵一号墙堡的坐标为（4，2），四号墙堡的坐标为（﹣2，4），
∴一号暗堡的坐标和四号暗堡的横坐标为一正一负，
∴B点可能为坐标原点，
∴敌军指挥部的位置大约是B处．
故选：B．
【点睛】本题考查了坐标确定位置：平面直角坐标系中点与有序实数对一一对应；记住各象限内的点的坐标特征和坐标轴上的坐标特征．
【变式6-3】（2018春•阳信县期中）如图中的一张脸，小明说：“如果我用（0，2）表示左眼，用（2，2）表示右眼”，那么嘴的位置可以表示成（ ）
A．（0，1）B．（2，1）C．（1，0）D．（1，﹣1）
【分析】先根据左眼和右眼所在位置点的坐标画出直角坐标系，然后写出嘴的位置所在点的坐标即可．
【答案】解：如图，[来源:Z。xx。k.Cm]
嘴的位置可以表示成（1，0）．
故选：C．
【点睛】本题考查了坐标确定位置：平面内的点与有序实数对一一对应；记住直角坐标系中特殊位置点的坐标特征．
【考点7 坐标与图形的性质】
【方法点拨】与坐标轴平行的直线上点的坐标特点：与x轴平行，纵坐标y相等；与y轴平行，横坐标x相等．
【例7】（2019春•海安县期中）已知直线a平行于x轴，点M（﹣2，﹣3）是直线a上的一个点．若点N也是直线a上的一个点，MN＝5，则点N的坐标为 ．
【分析】根据平行于x轴的直线上点的距离等于横坐标之差的绝对值可列出方程|﹣2﹣x|＝5，求出x即可．
【答案】解：设M（x，﹣3），
|﹣2﹣x|＝5，
∴x＝3或﹣7，
∴N（﹣7，﹣3）或（3，﹣3）；
故答案为（﹣7，﹣3）或（3，﹣3）．
【点睛】本题考查了坐标与图形性质，正确理解坐标系内点的特征是解题的关键．
【变式7-1】（2018春•繁昌县期中）已知A（﹣3，2）与点B（x，y）在同一条平行于y轴的直线上，且点B到x轴的距离等于3，则B点的坐标为 ．
【分析】利用平行于y轴的直线上所有点的横坐标相同得到x＝﹣3，再根据B点到x轴的矩离等于3得到|y|＝3，然后求出y即可得到B点坐标．
【答案】解：∵A（﹣3，2）与点B（x，y）在同一条平行于y轴的直线上，
∴x＝﹣3，
∵点B到x轴的距离等于3，
∴|y|＝3，
∴y＝3或y＝﹣3，
则点B的坐标为（﹣3，3）或（﹣3，﹣3），
故答案为：（﹣3，3）或（﹣3，﹣3）．
【点睛】本题考查了坐标与图形性质：利用点的坐标计算相应线段的长和判断线段与坐标轴的位置关系．点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关．
【变式7-2】（2018春•邹城市期中）已知点M的坐标为（a﹣2，2a﹣3），点N的坐标为（1，5），直线MN∥x轴，则点M的横坐标为 ．
【分析】根据平行于x轴的直线上任意两点的纵坐标相同列出方程求出a的值，然后即可得解．
【答案】解：∵直线MN∥x轴，点M的坐标为（a﹣2，2a﹣3），点N的坐标为（1，5），
∴2a﹣3＝5，
解得a＝4，
a﹣2＝4﹣2＝2，
所以，点M的横坐标为2．
故答案为2．
【点睛】本题考查了坐标与图形性质，掌握平行于x轴的直线的上的点的坐标特征是解题的关键．
【变式7-3】（20197秋•汝州市校级期中）已知点A（b﹣4，3+b），B（3b﹣1，2），AB⊥x轴，则点A的坐标是 ．
【分析】根据AB⊥x轴知b﹣4＝3b﹣1，解之求得b的值，继而可得坐标．
【答案】解：∵AB⊥x轴，
∴b﹣4＝3b﹣1，
解得：b=-32，
则b﹣4=-32-4=-112，3+b＝3-32=32，
所以点A的坐标为（-112，32），
故答案为：（-112，32）
【点睛】本题主要考查坐标与图形的性质，解题的关键是根据垂直于x轴得出横坐标相等．
【考点8 图形在坐标系中的平移】
向右平移a个单位
【方法点拨】平面直角坐标内点的平移规律，设a>0，b>0
（1）一次平移：P（x，y） P'（x＋a，y）
向下平移b个单位
P（x，y） P'（x，y －b）
P（x，y）
P（x－ a，y＋b）
向左平移a个单位
再向上平移b个单位
（2）二次平移：
【例8】（2019春•番禺区期中）△ABC与△A′B′C′在平面直角坐标系中的位置如图
（1）分别写出下列各点的坐标：
A′ ；B′ ；C′
（2）若点P（m，n）是△ABC内部一点，则平移后△A′B′C′内的对应点P′的坐标为 ．
（3）求△ABC的面积．
【分析】（1）根据平面直角坐标系的特点直接写出坐标；
（2）首先根据A与A′的坐标观察变化规律，P的坐标变换与A点的变换一样，写出点P′的坐标；
（3）先求出△ABC所在的矩形的面积，然后减去△ABC四周的三角形的面积即可．
【答案】解：（1）如图所示：
A′（﹣3，﹣4），B′（0，﹣1）、C′（2，﹣3）；
（2）A（1，0）变换到点A′的坐标是（﹣3，﹣4），
横坐标减4，纵坐标减4，
∴点P的对应点P′的坐标是（m﹣4，n﹣4）；
（3）△ABC的面积为：3×5-12×1×5-12×2×2-12×3×3＝6．
故答案为：（﹣3，﹣4），（0，﹣1）、（2，﹣3）；（m﹣4，n﹣4）．
【点睛】此题主要考查了平移变换作图，三角形的面积，网格图形中经常利用三角形所在的矩形的面积减去四周三角形的面积的方法求解．
【变式8-1】（2019春•兰陵县期中）△ABC与△A′B′C′在平面直角坐标系中的位置如图所示．
（1）分别写出下列各点的坐标：A ； B ；C ；
（2）△ABC由△A′B′C′经过怎样的平移得到？答： ．
（3）若点P（x，y）是△ABC内部一点，则△A'B'C'内部的对应点P'的坐标为 ；
（4）求△ABC的面积．
【分析】（1）根据平面直角坐标系写出各点的坐标即可；
（2）根据对应点A、A′的变化写出平移方法即可；
（3）根据平移规律逆向写出点P′的坐标；
（4）利用△ABC所在的矩形的面积减去四周三个小直角三角形的面积，列式计算即可得解．
【答案】解：（1）A（1，3）； B（2，0）；C（3，1）；
（2）先向右平移4个单位，再向上平移2个单位；
或：先向上平移2个单位，再向右平移4个单位；
（3）P′（x﹣4，y﹣2）；
（4）△ABC的面积＝2×3-12×1×3-12×1×1-12×2×2
＝6﹣1.5﹣0.5﹣2
＝2．
故答案为：（1）（1，3）； （2，0）；（3，1）；（2）先向右平移4个单位，再向上平移2个单位；（3）（x﹣4，y﹣2）．
【点睛】本题考查了利用平移变换作图，熟练掌握网格结构，根据对应点的坐标确定出平移的方法是解题的关键．
【变式8-2】（2019春•金平区校级期中）已知，△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．
（1）写出A、B、C三点的坐标．
（2）△ABC中任意一点P（x0，y0）经平移后对应点为P1（x0+4，y0﹣3），先将△ABC作同样的平移得到△A1B1C1，并写出B1、C1的坐标．
（3）求△ABC的面积．
【分析】（1）根据平面坐标系得出A、B、C三点的坐标即可；
（2）根据点P（x0，y0）经平移后对应点为P1（x0+4，y0﹣3），得出平移变换的规律即可得出△ABC的三个顶点的对应点；
（3）根据各点坐标，利用梯形面积与三角形面积公式求出即可．
【答案】解：（1）如图所示：A、B、C三点的坐标分别为：（﹣2，4），（﹣6，2），（﹣9，7）；
（2）∵△ABC中任意一点P（x0，y0）经平移后对应点为P1（x0+4，y0﹣3），
∴P点象右平移4个单位，又向下平移3个单位，
∴将△ABC作同样的平移得到△A1B1C1，B1、C1的坐标分别为：（﹣2，﹣1），（﹣5，4）；
（3）△ABC的面积＝S梯形CDEA﹣S△CDB﹣S△ABE=12×（5+2）×7-12×5×3-12×2×4＝13
【点睛】此题主要考查了平移的性质以及平移图形的画法和三角形面积求法，根据平移的性质正确平移对应顶点是解题关键．
【变式8-3】（2019春•厦门期末）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，将三角形ABC进行平移，平移后点A、B、C的对应点分别是点D、E、F，点A（0，a），点B（0，b），点D（a，12a），点E（m﹣b，12a+4）．
（1）若a＝1，求m的值；
（2）若点C（﹣a，14m+3），其中a＞0．直线CE交y轴于点M，且三角形BEM的面积为1，试探究AF和BF的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）当a＝1时，得出A、B、D、E四点的坐标，再根据平移的规律得到m-b=1b-92=1-12，即可求出m的值；
（2）由平移的规律得出a=m-b①a-12a=b-(12a+4)②，变形整理得到14m+3=12a+4，那么CE∥x轴，根据三角形BEM的面积=12BM•EM＝1，求出a＝2，A（0，2），B（0，6），C（﹣2，5）．根据点F与点C是对应点，得出F（0，4），求出AF＝BF＝2．
【答案】解：（1）当a＝1时，
由三角形ABC平移得到三角形DEF，
A（0，1），B（0，b）的对应点分别为D（1，12），E（m﹣b，92），
可得m-b=1b-92=1-12，解得b=5m=6．
故m的值为6；
（2）AF＝BF．理由如下：
由三角形ABC平移得到三角形DEF，
点A（0，a），点B（0，b）的对应点分别为D（a，12a），点E（m﹣b，12a+4），
可得a=m-b①a-12a=b-(12a+4)②，
由②得b＝a+4③，
把③代入①，得m＝2a+4，
∴14m+3=12a+4，
∴点C与点E的纵坐标相等，
∴CE∥x轴，
∴点M（0，12a+4），
∴三角形BEM的面积=12BM•EM＝1，
∵a＞0，
∴BM＝a+4﹣（12a+4）=12a，EM＝a，
∴14a2＝1，
∴a＝2，
∴A（0，2），B（0，6），C（﹣2，5）．
又∵在平移中，点F与点C是对应点，
∴F（0，4），
∴AF＝4﹣2＝2，BF＝6﹣4＝2，
∴AF＝BF．
【点睛】本题考查了坐标与图形变化﹣平移，在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．也考查了三角形的面积，有一定难度．
【考点9 坐标与图形的变化—对称】
【例9】（2018秋•南昌期中）在平面直角坐标系中，有点A（a，1）、点B（2，b）．
（1）当A、B两点关于直线y＝﹣1对称时，求△AOB的面积；
（2）当线段AB∥x轴，且AB＝4时，求a﹣b的值．
【分析】（1）利用对称的性质得a＝2，b＝﹣3，进而得到A（2，1），B（2，﹣3），然后根据三角形面积公式求解；
（2）利用AB∥x轴得到A、B的纵坐标相同，则b＝1，所以|a﹣2|＝4，解得b＝﹣2或b＝6，然后分别计算对应的a﹣b的值．
【答案】解：（1）由题意，得a＝2，b＝﹣3，则A（2，1），B（2，﹣3）．
设AB与x轴相交于点D，则OD＝2，AB＝4．
∴S△AOB＝AB×OD＝×4×2＝4．
（2）∵AB∥x轴，
∴A、B的纵坐标相同，
∴b＝1．
∴B（2，1）
∵AB＝4，
∴|a﹣2|＝4．
解得a＝﹣2或a＝6．
当a＝﹣2，b＝1时，a﹣b＝﹣3．
当a＝6，b＝1时，a﹣b＝5．
【点睛】本题考查了坐标与图形变化﹣对称：关于x轴对称，横坐标相等，纵坐标互为相反数；关于y轴对称，纵坐标相等，横坐标互为相反数．
【变式9-1】（2018秋•蔡甸区期中）如图，在平面直角坐标系中有一个轴对称图形，A（3，﹣2），B（3，﹣6）两点在此图形上且互为对称点，若此图形上有一个点C（﹣2，+1）．
（1）求点C的对称点的坐标．
（2）求△ABC的面积．
【分析】（1）根据A、B的坐标，求出对称轴方程，即可据此求出C点对称点坐标．
（2）根据三角形面积公式可得结论．
【答案】解：∵A、B关于某条直线对称，且A、B的横坐标相同，
∴对称轴平行于x轴，
又∵A的纵坐标为﹣2，B的纵坐标为﹣6，
∴故对称轴为y＝＝﹣4，
∴y＝﹣4．
则设C（﹣2，1）关于y＝﹣4的对称点为（﹣2，m），
于是＝﹣4，
解得m＝﹣9．
则C的对称点坐标为（﹣2，﹣9）．
（2）如图所示，S△ABC＝×（﹣2+6）×（3+2）＝10．
【点睛】此题考查了坐标与图形变化﹣对称，要知道，以关于x轴平行的直线为对称轴的点的横坐标不变，纵坐标之和的平均数为对称轴上点的纵坐标．
【变式9-2】（2019秋•抚州期中）如图，在平面直角坐标系中，直线l过点M（3，0），且平行于y轴．
（1）如果△ABC三个顶点的坐标分别是A（﹣2，0），B（﹣1，0），C（﹣1，2），△ABC关于y轴的对称图形是△A1B1C1，△A1B1C1关于直线l的对称图形是△A2B2C2，写出△A2B2C2的三个顶点的坐标；
（2）如果点P的坐标是（﹣a，0），其中0＜a＜3，点P关于y轴的对称点是P1，点P1关于直线l的对称点是P2，求PP2的长．
【分析】（1）根据关于y轴对称点的坐标特点是横坐标互为相反数，纵坐标相同可以得到△A1B1C1各点坐标，又关于直线l的对称图形点的坐标特点是纵坐标相同，横坐标之和等于3的二倍，由此求出△A2B2C1的三个顶点的坐标；
（2）P与P1关于y轴对称，利用关于y轴对称点的特点：纵坐标不变，横坐标变为相反数，求出P1的坐标，再由直线l的方程为直线x＝3，利用对称的性质求出P2的坐标，即可得出PP2的长．
【答案】解：（1）△A2B2C2的三个顶点的坐标分别是A2（4，0），B2（5，0），C2（5，2）；
（2）如图1，当0＜a＜3时，∵P与P1关于y轴对称，P（﹣a，0），
∴P1（a，0），
又∵P1与P2关于l：直线x＝3对称，
设P2（x，0），可得：＝3，即x＝6﹣a，
∴P2（6﹣a，0），
则PP2＝6﹣a﹣（﹣a）＝6﹣a+a＝6．
【点睛】本题考查学生“轴对称”与坐标的相关知识的试题，掌握轴对称的性质是解本题的关键．
【变式9-3】（2019•南京校级期中）在平面直角坐标系中，直线l过点M（3，0），且平行于y轴．
（1）如果△ABC三个顶点的坐标分别是A（﹣2，0），B（﹣1，0），C（﹣1，2），△ABC关于y轴的对称图形是△A1B1C1，△A1B1C1关于直线l的对称图形是△A2B2C2，写出△A2B2C2的三个顶点的坐标；
（2）如果点P的坐标是（﹣a，0），其中a＞0，点P关于y轴的对称点是P1，点P1关于直线l的对称点是P2，求PP2的长．
【分析】（1）根据关于y轴对称点的坐标特点是横坐标互为相反数，纵坐标相同可以得到△A1B1C1各点坐标，又关于直线l的对称图形点的坐标特点是纵坐标相同，横坐标之和等于3的二倍，由此求出△A2B2C1的三个顶点的坐标；
（2）P与P1关于y轴对称，利用关于y轴对称点的特点：纵坐标不变，横坐标变为相反数，求出P1的坐标，再由直线l的方程为直线x＝3，利用对称的性质求出P2的坐标，即可PP2的长．
【答案】解：（1）△A2B2C2的三个顶点的坐标分别是A2（4，0），B2（5，0），C2（5，2）；
（2）如图1，当0＜a≤3时，∵P与P1关于y轴对称，P（﹣a，0），
∴P1（a，0），
又∵P1与P2关于l：直线x＝3对称，
设P2（x，0），可得：＝3，即x＝6﹣a，
∴P2（6﹣a，0），
则PP2＝6﹣a﹣（﹣a）＝6﹣a+a＝6．
如图2，当a＞3时，
∵P与P1关于y轴对称，P（﹣a，0），
∴P1（a，0），
又∵P1与P2关于l：直线x＝3对称，
设P2（x，0），可得：＝3，即x＝6﹣a，
∴P2（6﹣a，0），
则PP2＝6﹣a﹣（﹣a）＝6﹣a+a＝6．
【点睛】本题考查学生“轴对称”与坐标的相关知识的试题，尤其是第（2）小题设置的问题既具有一定的开放性又重点考查了分类的数学思想，使试题的考查有较高的效度．
【考点10 坐标与图形的变化—旋转】
【例10】（2019春•无锡期中）△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中每个小正方形的边长为1个单位长度．△ABC关于原点O的中心对称图形为△A1B1C1，写出点A的对应点A1的坐标；画出将△ABC绕点O顺时针旋转90°得到的△A2B2C2；若P（a，b）为△ABC边上一点，则在△A2B2C2中，点P对应的点Q的坐标为 ．请直接写出：以A、B、C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标．
【分析】（1）找出点A、B、C关于原点O的对称点的位置，然后顺次连接即可；
（2）根据网格结构以及平面直角坐标系的特点，找出点A、B绕点O顺时针旋转90°的对应点的位置，然后顺次连接即可；
（3）由图形再根据平面直角坐标系的特点写出点的坐标即可；
（4）根据网格结构以及平面直角坐标系的特点，找出点D的位置，即可得到坐标．
【答案】解：（1）点A1的坐标（2，﹣4）；
（2）如图：找出点A、B绕点O顺时针旋转90°的对应点的位置，然后顺次连接；
（3）若P（a，b）为△ABC边上一点，则在△A2B2C2中，点P对应的点Q的坐标为（b，﹣a），
故答案为（b，﹣a）；
（4）以A、B、C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标（﹣3，5）、（﹣1，3）、（﹣5，﹣1）．
【点睛】本题考查了利用旋转变换与中心对称作图，熟悉网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键．
【变式10-1】（2019春•会宁县校级月考）（1）如图，在方格纸中先通过 ，由图形A得到图形B，再由图形B先 （怎样平移），再 （怎样旋转）得到图形C（对于平移变换要求回答出平移的方向和平移的距离；对于旋转变换要求回答出旋转中心、旋转方向和旋转角度）；
（2）如图，如果点P、P3的坐标分别为（0，0）、（2，1），写出点P2的坐标是 ；
（3）图形B能绕某点Q顺时针旋转90°得到图形C，则点Q的坐标是 ；
（4）图形A能绕某点R顺时针旋转90°得到图形C，则点R的坐标是 ；
注：方格纸中的小正方形的边长为1个单位长度．
【分析】根据平移变换的定义，旋转变换的定义，即可一一解答．
【答案】解：（1）根据题意可知，向上平移4个单位长度图形A得到图形B，图形B向右平移4个单位长度，再绕点P2顺时针旋转90°得到图形C．
故答案为向上平移4个单位长，向右平移4个单位长度，绕点P2顺时针旋转90°．
（2）根据题意建立如图坐标系，根据图象可知P2（4，4）．
故答案为（4，4）．
（3）观察图形可知旋转中心Q（2，2）．
故答案为（2，2）．
（4）观察图形可知旋转中心C（4，0）．
故答案为（4，0）．
【点睛】本题考查再不要图形变化﹣旋转，坐标与图形变化﹣平移等知识，解题的关键是熟练掌握旋转变换的性质，平移变换的性质，属于基础题，中考常考题型．
【变式10-2】（2019•聊城期中）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，5），B（﹣2，1），C（﹣1，3）．
（1）若△ABC经过平移后得到△A1B1C1，已知点C1的坐标为（4，0），写出顶点A1，B1的坐标；
（2）若△ABC和△A2B2C2关于原点O成中心对称图形，写出△A2B2C2的各顶点的坐标；
（3）将△ABC绕着点O按顺时针方向旋转90°得到△A3B3C3，写出△A3B3C3的各顶点的坐标．
【分析】（1）利用点C和点C1的坐标变化得到平移的方向与距离，然后利用此平移规律写出顶点A1，B1的坐标；
（2）根据关于原点对称的点的坐标特征求解；
（3）利用网格和旋转的性质画出△A2B3C3，然后写出△A2B3C3的各顶点的坐标．
【答案】解：（1）如图，△A1B1C1为所作，
因为点C（﹣1，3）平移后的对应点C1的坐标为（4，0），
所以△ABC先向右平移5个单位，再向下平移3个单位得到△A1B1C1，
所以点A1的坐标为（2，2），B1点的坐标为（3，﹣2）；
（2）因为△ABC和△A1B2C2关于原点O成中心对称图形，
所以A2（3，﹣5），B2（2，﹣1），C2（1，﹣3）；
（3）如图，△A2B3C3为所作，A3（5，3），B3（1，2），C3（3，1）；
【点睛】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．
【变式10-3】（2019•淮阴区校级模拟）阅读材料：
如图（一），在已建立直角坐标系的方格纸中，图形①的顶点为A、B、C，要将它变换到图④（变换过程中图形的顶点必须在格点上，且不能超出方格纸的边界）．
例如：将图形①作如下变换（如图二）．
第一步：平移，使点C（6，6）移至点（4，3），得图②；
第二步：旋转，绕着点（4，3）旋转180°，得图③；
第三步：平移，使点（4，3）移至点O（0，0），得图④．
则图形①被变换到了图④．
解决问题：
（1）在上述变化过程中A点的坐标依次为：
（4，6）→（ ， ）→（ ， ）→（ ， ）
（2）如图（三），仿照例题格式，在直角坐标系的方格纸中将△DEF经过平移、旋转、翻折等变换得到△OPQ．（写出变换步骤，并画出相应的图形）
【分析】（1）根据序号，观察图形，可直接得出A点变化过程中的坐标；
（2）可以将图形先翻折，再旋转，最后平移得到．
【答案】解：（1）（2，3）→（6，3）→（2，0），
（2）第一步：翻折，沿DE所在直线翻折180°，得图2；
第二步：旋转，绕着点（5，4）逆时针旋转90°，得图3；
第三步：平移，使点（3，4）移至点O（0，0），得图4．
【点睛】本题考查了坐标系中的平移，旋转，翻折变换，形数结合，培养学生动手能力及合理的设计能力，本题答案不唯一．
【考点11 点在坐标系内的移动规律】
【例11】（2019春•博兴县期中）如图，在平面直角坐标系中，从点p1（﹣1，0），p2（﹣1，﹣1），p3（1，﹣1），p4（1，1），p5（﹣2，1），p6（﹣2，﹣2），…依次扩展下去，则p2019的坐标为（ ）
A．（505，﹣505）B．（﹣505，505）C．（﹣505，504）D．（﹣506，505）
【分析】根据点的下标发现规律：下标是4的倍数的点在第一象限，下标是4的倍数余1的点在第二象限，下标是4的倍数余2的点在第三象限，下标是4的倍数余3的点在第四象限，只需判断2019除以4的余数即可；
【答案】解：根据给出的点发现：下标是4的倍数的点在第一象限，下标是4的倍数余1的点在第二象限，下标是4的倍数余2的点在第三象限，下标是4的倍数余3的点在第四象限，
∴2019在第四象限，
故选：A．
【点睛】本题考查平面内点的特点，点的规律；能够结合图形和点的坐标，寻找到每个象限内点的下标特点是解题的关键．
【变式11-1】（2018春•武昌区期中）一只跳蚤在第一象限及x、y轴上跳动，第一次它从原点跳到（0.1），然后按图中箭头所示方向跳动（0，0）→（0，1）→（1，1）→（1，0）→……，每次跳一个单位长度，则第2018次跳到点（ ）
A．（6，44）B．（7，45）C．（44，7）D．（7，44）
【分析】根据跳蚤运动的速度确定：（0，1）用的次数是1（12）次，到（0，2）是第8（2×4）次，到（0，3）是第9（32）次，到（0，4）是第24（4×6）次，到（0，5）是第25（52）次，到（0，6）是第48（6×8）次，依此类推，到（0，45）是第2025次，后退7次可得2018次所对应的坐标．
【答案】解：跳蚤运动的速度是每秒运动一个单位长度，（0，1）用的次数是1（12）次，到（0，2）是第8（2×4）次，到（0，3）是第9（32）次，到（0，4）是第24（4×6）次，到（0，5）是第25（52）次，到（0，6）第48（6×8）次，依此类推，到（0，45）是第2025次．
2025﹣1﹣6＝2018，
故第2018次时跳蚤所在位置的坐标是（6，44）．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了数字变化规律，解决本题的关键是正确读懂题意，能够正确确定点运动的顺序，确定运动的距离，从而可以得到到达每个点所用的时间．
【变式11-2】（2019春•武城县期中）如图，在平面直角坐标系中，有若干个横纵坐标分别为整数的点，其顺序为（1，0）、（2，0）、（2，1）、（1，1）、（1，2）、（2，2）…根据这个规律，第2019个点的坐标为（ ）
A．（45，6）B．（45，13）C．（45，22）D．（45，0）
【分析】到每一个横坐标结束，经过整数点的个数等于最后横坐标的平方，横坐标是奇数时最后以横坐标为该数，纵坐标为0结束，横坐标为偶数时以横坐标为1，纵坐标以横坐标减1结束，横坐标以n结束的有n2个点，
【答案】解：观察图形可知，到每一个横坐标结束，经过整数点的个数等于最后横坐标的平方，
横坐标是奇数时最后以横坐标为该数，纵坐标为0结束，
横坐标为偶数时以横坐标为1，纵坐标以横坐标减1结束，
∴横坐标以n结束的有n2个点，
第2025个点是（45，0），
∴2019个点的坐标是（45，6）；
故选：A．
【点睛】本题考查了点的坐标，观察出点的个数与横坐标存在平方关系是解题的关键．
【变式11-3】（2019春•新左旗期中）如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点（1，1），第2次接着运动到点（2，0），第3次接着运动到点（3，2），…，按这样的运动规律，经过第2018次运动后，动点P的坐标是（ ）
A．（2018，1）B．（2018，0）C．（2018，2）D．（2019，0）
【分析】分析点P的运动规律找到循环规律即可．
【答案】解：点P坐标运动规律可以看做每运动四次一个循环，每个循环向右移动4个单位，则2018＝504×4+2
所以，前504次循环运动点P共向右运动504×4＝2016个单位，剩余两次运动向右走2个单位，且在x轴上．
故点P坐标为（2018，0）
故选：B．
【点睛】本题是平面直角坐标系下的坐标规律探究题，解答关键是利用数形结合解决问题．
【考点1 确定位置】
【方法点拨】在平面内，确定一个物体的位置一般需要两个数据.
若设这两个数据分别为a和b，则：a表示：排数、行数、经度、方位……b表示：座数、列数、纬度、距离……
【例1】（2019春•颍泉区校级期中）如图，军训时七（1）班的同学按教官的指令站了7排8列，如果第7排第8列的同学的位置在队列的东北角，可以用有序数对（7，8）来表示，那么表示站在西南角同学的位置的有序数对是（ ）
A．（7，8）B．（1，1）C．（1，2）D．（2，1）
【分析】根据“某同学坐在7排8列，用（7，8）表示，”得出排数写在数对中的第一个数，列数写在数对中的第二个数，由此表示站在西南角同学的位置的有序数对．
【答案】解：因为，排数写在数对中的第一个数，列数写在数对中的第二个数，
所以，表示站在西南角同学的位置的有序数对是（1，1），
故选：B．
【点睛】考查了坐标确定位置，解答此题的关键是根据所给出的同学的位置的确定方法，来确定要求同学的位置．
【变式1-1】（2019春•江城区期中）以校门所在位置为原点，分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系，如果出校门向东走60m，再向北走80m，记作（60，80），那么明明家位置（﹣30，60）的含义是（ ）
A．出校门向西走30m，再向南走60m
B．出校门向西走30m，再向北走60m
C．出校门向东走30m，再向南走60m
D．出校门向东走30m，再向北走60m
【分析】根据从原点向东为正，向北为正，可得明明家位置（﹣30，60）的含义．
【答案】解：由以校门所在位置为原点，分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系，得
明明家位置（﹣30，60）表示出校门向西走30米，向北走60米，故B符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了坐标确定位置，利用坐标表示点的位置的关键是确定原点的位置．
【变式1-2】（2018秋•桥东区期中）小明乘坐一艘游船出海游玩，游船上的雷达扫描探测得到的结果如图所示，每相邻两个圆之间距离是1km（小圆半径是1km），若小艇C在游船的正南方2km，则下列关于小艇A、B的位置描述，正确的是（ ）
A．小艇A在游船的北偏东60°，且距游船3km
B．游船在的小艇A北偏东60°，且距游船3km
C．小艇B在游船的北偏西30°，且距游船2km
D．小艇B在小艇C的北偏西30°，且距游船2km
【分析】利用方向角的表示方法对各选项进行判断．
【答案】解：小艇A在游船的北偏东30°，且距游船3km；小艇B在游船的北偏西60°，且距游船2km；游船在小艇的南偏西30°，且距游船3km；小艇B在小艇C的北偏西30°，且距游船2km．
故选：D．
【点睛】本题考查了坐标确定位置：是熟练掌握平面内特殊位置的点的坐标特征．理解方向角的表示方法．
【变式1-3】（2018春•孝义市期中）如图呈现的是一局围棋比赛中的几手棋，为记录棋谱方便，横线用字母表示，纵线用英文数字表示，这样，黑棋❶的位置可记为（C，4），则白棋⑥的位置可记为（ ）
A．（E，3）B．（F，3）C．（G，5）D．（D，6）
【分析】直接利用黑棋❶的位置表示方法，进而得出白棋⑥的位置．
【答案】解：∵黑棋❶的位置可记为（C，4），
∴白棋⑥的位置可记为：（G，5）．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了坐标确定位置，正确理解横纵坐标的意义是解题关键．
【考点2 象限内点的特征】
【方法点拨】掌握第1～4象限内点的坐标符号特点分别是：（＋，＋）、（－，＋）、（－，－）、（＋，－）.
【例2】（2019春•天门校级期中）已知点P（a，b）在第四象限，则点Q（2a﹣b，2b﹣a）在第（ ）象限．
A．一B．二C．三D．四
【分析】根据各象限内点的坐标特征解答即可．
【答案】解：由题意，得
a＞0，b＜0．
由不等式的性质，得
2a﹣b＞0，2b﹣a＜0，
点Q（2a﹣b，2b﹣a）在第四象限，
故选：D．
【点睛】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．
【变式2-1】（2019春•信丰县期中）如果P（a+b，ab）在第二象限，那么点Q（﹣a，b）在第（ ）象限．
A．一B．二C．三D．四
【分析】直接利用第二象限内点的坐标特点得出a，b的符号，进而得出答案．
【答案】解：∵P（a+b，ab）在第二象限，
∴a+b＜0，ab＞0，
∴a＜0，b＜0，
∴﹣a＞0，
∴点Q（﹣a，b）在第四象限．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了点的坐标，正确得出a，b的符号是解题关键．
【变式2-2】（2019春•卫辉市期中）若点A（a+1，b﹣2）在第二象限，则点B（﹣a，b+1）在第（ ）象限．
A．四B．三C．二D．一
【分析】根据第二象限内点的横坐标是负数，纵坐标是正数列不等式求出a、b的取值范围，然后求解即可．
【答案】解：∵点A（a+1，b﹣2）在第二象限，
∴a+1＜0，b﹣2＞0，
∴a＜﹣1，b＞2，
∴﹣a＞1，b+1＞3，
∴点B（﹣a，b+1）在第一象限．
故选：D．
【点睛】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征以及解不等式，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．
【变式2-3】（2019春•汉阳区期末）直角坐标系中点P（a+2，a﹣2）不可能所在的象限是（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【分析】确定出点P的横坐标比纵坐标大，再根据各象限内点的坐标特征解答．
【答案】解：∵（a+2）﹣（a﹣2）＝a+2﹣a+2＝4，
∴点P的横坐标比纵坐标大，
∵第二象限内点的横坐标是负数，纵坐标是正数，
∴点P不可能在第二象限．
故选：B．
【点睛】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．
【考点3 坐标轴上点的特征】
【方法点拨】坐标系内点的坐标特点：坐标原点（0，0）、x轴（x，0）、y轴（0，y）.注意若点在坐标轴上，则要分成在x轴、y轴上两种情况来讨论.
【例3】（2019秋•市北区期中）如果点P（m+3，2m+4）在y轴上，那么点Q（m﹣3，﹣3）的位置在（ ）
A．纵轴上B．横轴上C．第三象限D．第四象限
【分析】由点P在y轴上可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出m的值，将其代入点Q的坐标中可得出点Q在第三象限，此题得解．
【答案】解：∵点P（m+3，2m+4）在y轴上，
∴m+3＝0，
∴m＝﹣3，
∴点Q的坐标为（﹣6，﹣3），
∴点Q在第三象限．
故选：C．
【点睛】本题考查了点的坐标以及解一元一次方程，根据点P在y轴上找出关于m的一元一次方程是解题的关键．
【变式3-1】（2019春•邓州市期中）若点A（﹣2，n）在x轴上，则点B（n﹣1，n+1）在第（ ）象限．
A．一B．二C．三D．四
【分析】由点在x轴的条件是纵坐标为0，得出点A（﹣2，n）的n＝0，再代入求出点B的坐标及象限．
【答案】解：∵点A（﹣2，n）在x轴上，
∴n＝0，
∴点B的坐标为（﹣1，1）．
则点B（n﹣1，n+1）在第二象限．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了点的坐标，解决本题的关键是掌握好四个象限的点的坐标的特征：第一象限正正，第二象限负正，第三象限负负，第四象限正负．
【变式3-2】（2019春•柳江区期中）若点A（m+2，2m﹣5）在y轴上，则点A的坐标是（ ）
A．（0，﹣9）B．（2.5，0）C．（2.5，﹣9）D．（﹣9，0）
【分析】直接利用y轴上横坐标为0，进而得出m的值即可得出答案．
【答案】解：∵点A（m+2，2m﹣5）在y轴上，
∴m+2＝0，
解得：m＝﹣2，
故2m﹣5＝﹣9，
故点A的坐标为：（0，﹣9）．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了点的坐标，正确得出m的值是解题关键．
【变式3-3】（2018秋•章丘区期末）已知点A（2x﹣4，x+2）在坐标轴上，则x的值等于（ ）
A．2或﹣2B．﹣2C．2D．非上述答案
【分析】依据坐标轴上的点的坐标特征，即可得到x的值．
【答案】解：∵点A（2x﹣4，x+2）在坐标轴上，
∴当2x﹣4＝0时，x＝2，
当x+2＝0时，x＝﹣2，
∴x的值为±2，
故选：A．
【点睛】本题考查了点的坐标：坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的关系；解题时注意：x轴上点的纵坐标为0，y轴上点的横坐标为0．
【考点4 点到坐标轴的距离】
【方法点拨】点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值.
【例4】（2019春•兰山区期中）在平面直角坐标系中，点E在x轴上方，y轴的左侧，距离x轴3个单位，距离y轴4个单位，则E点的坐标为（ ）
A．（3，﹣4）B．（4，﹣3）C．（﹣4，3）D．（﹣3，4）
【分析】先判断出点E在第二象限，再根据点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值解答．
【答案】解：∵点E在x轴上方，y轴的左侧，
∴点E在第二象限，
∵距离x轴3个单位长度，距离y轴4个单位长度，
∴点E的横坐标为﹣4，纵坐标为3，
∴点E的坐标是（﹣4，3）．
故选：C．
【点睛】本题考查了点的坐标，熟记点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值是解题的关键．
【变式4-1】（2019春•郯城县期中）点P（a+3，b+1）在平面直角坐标系的x轴上，并且点P到y轴的距离为2，则a+b的值为（ ）
A．﹣1B．﹣2C．﹣1或﹣6D．﹣2或﹣6
【分析】根据x轴上点的纵坐标为0以及点到y轴的距离等于横坐标的长度解答．
【答案】解：∵点P（a+3，b+1）在平面直角坐标系的x轴上，并且点P到y轴的距离为2，
∴b+1＝0，|a+3|＝2，
∴a＝﹣1或﹣5，b＝﹣1，
∴a+b＝﹣2或﹣6，
故选：D．
【点睛】本题考查了点的坐标，熟记点到y轴的距离等于横坐标的长度以及x轴上点的坐标特征是解题的关键．
【变式4-2】（2018春•新罗区校级期中）若点P（2x，3x+5）在第二象限，且点P到两坐标轴的距离相等，则点Q（﹣x2，2x2+2）的坐标是（ ）
A．（1，﹣4）B．（﹣1，﹣4）C．（﹣1，4）D．（1，4）
【分析】根据第二象限角平分线上的点到两坐标轴的距离相等，可得答案．
【答案】解：由题意，得
2x+3x+5＝0，
解得x＝﹣1．
当x＝﹣1时，﹣x2＝﹣1．
2x2+2＝4，
Q（﹣x2，2x2+2）的坐标是（﹣1，4），
故选：C．
【点睛】本题考查了点的坐标，利用第二象限角平分线上的点到两坐标轴的距离相等得出2x+3x+5＝0是解题关键．
【变式4-3】（2019春•栾城区期中）已知直线MN垂直于x轴，若点M的坐标为（﹣5，2），点N距x轴的距离为3个单位，则点N的坐标为（ ）
A．（﹣5，3）B．（﹣5，3）或（﹣5，﹣3）
C．（3，2）D．（3，2）或（﹣3，2）
【分析】根据平行于y轴的直线上点的横坐标相等，点到x轴的距离是纵坐标的绝对值，可得答案．
【答案】解：由直线MN垂直于x轴，若点M的坐标为（﹣5，2），点N的横坐标为﹣5，
由点N距x轴的距离为3个单位，则点N的纵坐标为3或﹣3，
故选：B．
【点睛】本题考查了点的坐标，利用平行于y轴的直线上点的横坐标相等得出点的横坐标是解题关键．
【考点5 角平分线上点的特征】
【方法点拨】象限角平分线上点的坐标特点：第1、3象限中x＝y，第二、四象限中x＋y＝0．
【例5】（2019春•武平县校级期中）已知点A（2a+1，5a﹣2）在第一、三象限的角平分线上，点B（2m+7，m﹣1）在二、四象限的角平分线上，则（ ）
A．a＝1，m＝﹣2B．a＝1，m＝2C．a＝﹣1，m＝﹣2D．a＝﹣1，m＝2
【分析】已知一、三象限上的点的横纵坐标相等，故按照题目要求，使横纵坐标相等，可列出等式，即可求出a的值；根据第二、第四象限坐标轴夹角平分线上的点，横纵坐标互为相反数，由此就可以得到关于m的方程，解出m的值．
【答案】解：由已知条件知，点A位于一、三象限夹角平分线上，
所以有2a+4＝5a﹣2，
解得：a＝1；
∵点B（2m+7，m﹣1）在第二、四象限的夹角角平分线上，
∴（2m+7）+（m﹣1）＝0，[来源:学+科+网Z+X+X+K]
解得：m＝﹣2．
故选：A．
【点睛】本题考查了点的坐标的知识，注意掌握知识点：第二、四象限的夹角角平分线上的点的横纵坐标互为相反数．
【变式5-1】（2019春•德州期末）若点A（a+1，a﹣2）在第二、四象限的角平分线上，则点B（﹣a，1﹣a）在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象跟D．第四象限
【分析】根据第二、四象限点的横坐标与纵坐标互为相反数列出方程求出a的值，再根据各象限内点的坐标特征求解即可．
【答案】解：∵点A（a+1，a﹣2）在第二、四象限的角平分线上，
∴a+1＝﹣（a﹣2），
解得a=12．
∴﹣a=-12，1﹣a＝1-12=12，
∴点B（﹣a，1﹣a）在第二象限．
故选：B．
【点睛】本题考查了点的坐标，掌握第二、四象限点的横坐标与纵坐标互为相反数以及各象限内点的坐标特征是解题的关键．
【变式5-2】若A（a，﹣b），B（﹣b，a）表示同一个点，那这个点一定在（ ）
A．第二、四象限的角平分线上
B．第一、三象限的角平分线上
C．平行于x轴的直线上
D．平行于y轴的直线上
【分析】先判断出a＝﹣b，则点的横坐标与纵坐标符号相反．
【答案】解：∵点A（a，﹣b），B（﹣b，a）表示同一个点，
∴a＝﹣b，
∴这个点一定在第一、三象限的角平分线上．
故选：B．
【点睛】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．
【变式5-3】（2019春•福州校级月考）已知点M（a﹣1，﹣a+3）向右平移3个单位，之后又向下移7个单位，得到点N、若点N恰在第三象限的角平分线上，则a的值为（ ）
A．2B．0C．3D．﹣3
【分析】让点M的横坐标加3，纵坐标减7得到点N的坐标，让点N的横纵坐标相等即可求得a的值．
【答案】解：∵点M（a﹣1，﹣a+3）向右平移3个单位，之后又向下移7个单位，得到点N，
∴点N的横坐标为a﹣1+3＝a+2；纵坐标为﹣a+3﹣7＝﹣a﹣4；
∵点N恰在第三象限的角平分线上，
∴a+2＝﹣a﹣4，
∴a＝﹣3，
故选：D．
【点睛】本题考查了平移中点的变化规律：左右移动改变点的横坐标，左减，右加；上下移动改变点的纵坐标，下减，上加．注意第三象限上点的横纵坐标相等．
【考点6 点的坐标确定位置】
【方法点拨】首先由点的坐标确定坐标系，进而可确定所求位置的坐标.
【例6】（2019春•郯城县期中）课间操时，小华、小军、小刚的位置如图，小军对小华说，如果我的位置用（0，﹣2）表示，小刚的位置用（2，0）表示，那么你的位置可以表示为（ ）
A．（﹣2，﹣3）B．（﹣3，﹣2）C．（﹣3，﹣4）D．（﹣4，﹣3）
【分析】根据小军和小刚的坐标建立平面直角坐标系，据此可得答案．
【答案】解：由小军和小华的坐标可建立如图所示平面直角坐标系：
则小华的位置可表示为（﹣2，﹣3），
故选：A．
【点睛】本题考查了坐标确定位置：平面内的点与有序实数对一一对应；记住直角坐标系中特殊位置点的坐标特征．
【变式6-1】（2019春•蒙阴县期中）如图是中国象棋的一盘残局，如果用（2，﹣3）表示“帅”的位置，用（6，4）表示的“炮”位置，那么“将”的位置应表示为（ ）
A．（6，4）B．（4，6）C．（1，6）D．（6，1）
【分析】以帅的坐标向左两个单位，向上3个单位为坐标原点建立平面直角坐标系，然后写出将的坐标即可．
【答案】解：建立平面直角坐标系如图所示，将（1，6）．
故选C．
【点睛】本题考查了坐标确定位置，读懂题目信息，准确确定出坐标原点是解题的关键．
【变式6-2】（2018春•越秀区期中）如图所示为某战役潜伏敌人防御工亭坐标地图的碎片，一号墙堡的坐标为（4，2），四号墙堡的坐标为（﹣2，4），由原有情报得知：敌军指挥部的坐标为（0，0），你认为敌军指挥部的位置大概（ ）
A．A处B．B处C．C处D．D处
【分析】根据一号暗堡的坐标和四号暗堡的横坐标为一正一负分析，于是四点中只有B点可能为坐标原点．
【答案】解：∵一号墙堡的坐标为（4，2），四号墙堡的坐标为（﹣2，4），
∴一号暗堡的坐标和四号暗堡的横坐标为一正一负，
∴B点可能为坐标原点，
∴敌军指挥部的位置大约是B处．
故选：B．
【点睛】本题考查了坐标确定位置：平面直角坐标系中点与有序实数对一一对应；记住各象限内的点的坐标特征和坐标轴上的坐标特征．
【变式6-3】（2018春•阳信县期中）如图中的一张脸，小明说：“如果我用（0，2）表示左眼，用（2，2）表示右眼”，那么嘴的位置可以表示成（ ）
A．（0，1）B．（2，1）C．（1，0）D．（1，﹣1）
【分析】先根据左眼和右眼所在位置点的坐标画出直角坐标系，然后写出嘴的位置所在点的坐标即可．
【答案】解：如图，[来源:Z。xx。k.Cm]
嘴的位置可以表示成（1，0）．
故选：C．
【点睛】本题考查了坐标确定位置：平面内的点与有序实数对一一对应；记住直角坐标系中特殊位置点的坐标特征．
【考点7 坐标与图形的性质】
【方法点拨】与坐标轴平行的直线上点的坐标特点：与x轴平行，纵坐标y相等；与y轴平行，横坐标x相等．
【例7】（2019春•海安县期中）已知直线a平行于x轴，点M（﹣2，﹣3）是直线a上的一个点．若点N也是直线a上的一个点，MN＝5，则点N的坐标为 ．
【分析】根据平行于x轴的直线上点的距离等于横坐标之差的绝对值可列出方程|﹣2﹣x|＝5，求出x即可．
【答案】解：设M（x，﹣3），
|﹣2﹣x|＝5，
∴x＝3或﹣7，
∴N（﹣7，﹣3）或（3，﹣3）；
故答案为（﹣7，﹣3）或（3，﹣3）．
【点睛】本题考查了坐标与图形性质，正确理解坐标系内点的特征是解题的关键．
【变式7-1】（2018春•繁昌县期中）已知A（﹣3，2）与点B（x，y）在同一条平行于y轴的直线上，且点B到x轴的距离等于3，则B点的坐标为 ．
【分析】利用平行于y轴的直线上所有点的横坐标相同得到x＝﹣3，再根据B点到x轴的矩离等于3得到|y|＝3，然后求出y即可得到B点坐标．
【答案】解：∵A（﹣3，2）与点B（x，y）在同一条平行于y轴的直线上，
∴x＝﹣3，
∵点B到x轴的距离等于3，
∴|y|＝3，
∴y＝3或y＝﹣3，
则点B的坐标为（﹣3，3）或（﹣3，﹣3），
故答案为：（﹣3，3）或（﹣3，﹣3）．
【点睛】本题考查了坐标与图形性质：利用点的坐标计算相应线段的长和判断线段与坐标轴的位置关系．点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关．
【变式7-2】（2018春•邹城市期中）已知点M的坐标为（a﹣2，2a﹣3），点N的坐标为（1，5），直线MN∥x轴，则点M的横坐标为 ．
【分析】根据平行于x轴的直线上任意两点的纵坐标相同列出方程求出a的值，然后即可得解．
【答案】解：∵直线MN∥x轴，点M的坐标为（a﹣2，2a﹣3），点N的坐标为（1，5），
∴2a﹣3＝5，
解得a＝4，
a﹣2＝4﹣2＝2，
所以，点M的横坐标为2．
故答案为2．
【点睛】本题考查了坐标与图形性质，掌握平行于x轴的直线的上的点的坐标特征是解题的关键．
【变式7-3】（20197秋•汝州市校级期中）已知点A（b﹣4，3+b），B（3b﹣1，2），AB⊥x轴，则点A的坐标是 ．
【分析】根据AB⊥x轴知b﹣4＝3b﹣1，解之求得b的值，继而可得坐标．
【答案】解：∵AB⊥x轴，
∴b﹣4＝3b﹣1，
解得：b=-32，
则b﹣4=-32-4=-112，3+b＝3-32=32，
所以点A的坐标为（-112，32），
故答案为：（-112，32）
【点睛】本题主要考查坐标与图形的性质，解题的关键是根据垂直于x轴得出横坐标相等．
【考点8 图形在坐标系中的平移】
向右平移a个单位
【方法点拨】平面直角坐标内点的平移规律，设a>0，b>0
（1）一次平移：P（x，y） P'（x＋a，y）
向下平移b个单位
P（x，y） P'（x，y －b）
P（x，y）
P（x－ a，y＋b）
向左平移a个单位
再向上平移b个单位
（2）二次平移：
【例8】（2019春•番禺区期中）△ABC与△A′B′C′在平面直角坐标系中的位置如图
（1）分别写出下列各点的坐标：
A′ ；B′ ；C′
（2）若点P（m，n）是△ABC内部一点，则平移后△A′B′C′内的对应点P′的坐标为 ．
（3）求△ABC的面积．
【分析】（1）根据平面直角坐标系的特点直接写出坐标；
（2）首先根据A与A′的坐标观察变化规律，P的坐标变换与A点的变换一样，写出点P′的坐标；
（3）先求出△ABC所在的矩形的面积，然后减去△ABC四周的三角形的面积即可．
【答案】解：（1）如图所示：
A′（﹣3，﹣4），B′（0，﹣1）、C′（2，﹣3）；
（2）A（1，0）变换到点A′的坐标是（﹣3，﹣4），
横坐标减4，纵坐标减4，
∴点P的对应点P′的坐标是（m﹣4，n﹣4）；
（3）△ABC的面积为：3×5-12×1×5-12×2×2-12×3×3＝6．
故答案为：（﹣3，﹣4），（0，﹣1）、（2，﹣3）；（m﹣4，n﹣4）．
【点睛】此题主要考查了平移变换作图，三角形的面积，网格图形中经常利用三角形所在的矩形的面积减去四周三角形的面积的方法求解．
【变式8-1】（2019春•兰陵县期中）△ABC与△A′B′C′在平面直角坐标系中的位置如图所示．
（1）分别写出下列各点的坐标：A ； B ；C ；
（2）△ABC由△A′B′C′经过怎样的平移得到？答： ．
（3）若点P（x，y）是△ABC内部一点，则△A'B'C'内部的对应点P'的坐标为 ；
（4）求△ABC的面积．
【分析】（1）根据平面直角坐标系写出各点的坐标即可；
（2）根据对应点A、A′的变化写出平移方法即可；
（3）根据平移规律逆向写出点P′的坐标；
（4）利用△ABC所在的矩形的面积减去四周三个小直角三角形的面积，列式计算即可得解．
【答案】解：（1）A（1，3）； B（2，0）；C（3，1）；
（2）先向右平移4个单位，再向上平移2个单位；
或：先向上平移2个单位，再向右平移4个单位；
（3）P′（x﹣4，y﹣2）；
（4）△ABC的面积＝2×3-12×1×3-12×1×1-12×2×2
＝6﹣1.5﹣0.5﹣2
＝2．
故答案为：（1）（1，3）； （2，0）；（3，1）；（2）先向右平移4个单位，再向上平移2个单位；（3）（x﹣4，y﹣2）．
【点睛】本题考查了利用平移变换作图，熟练掌握网格结构，根据对应点的坐标确定出平移的方法是解题的关键．
【变式8-2】（2019春•金平区校级期中）已知，△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．
（1）写出A、B、C三点的坐标．
（2）△ABC中任意一点P（x0，y0）经平移后对应点为P1（x0+4，y0﹣3），先将△ABC作同样的平移得到△A1B1C1，并写出B1、C1的坐标．
（3）求△ABC的面积．
【分析】（1）根据平面坐标系得出A、B、C三点的坐标即可；
（2）根据点P（x0，y0）经平移后对应点为P1（x0+4，y0﹣3），得出平移变换的规律即可得出△ABC的三个顶点的对应点；
（3）根据各点坐标，利用梯形面积与三角形面积公式求出即可．
【答案】解：（1）如图所示：A、B、C三点的坐标分别为：（﹣2，4），（﹣6，2），（﹣9，7）；
（2）∵△ABC中任意一点P（x0，y0）经平移后对应点为P1（x0+4，y0﹣3），
∴P点象右平移4个单位，又向下平移3个单位，
∴将△ABC作同样的平移得到△A1B1C1，B1、C1的坐标分别为：（﹣2，﹣1），（﹣5，4）；
（3）△ABC的面积＝S梯形CDEA﹣S△CDB﹣S△ABE=12×（5+2）×7-12×5×3-12×2×4＝13
【点睛】此题主要考查了平移的性质以及平移图形的画法和三角形面积求法，根据平移的性质正确平移对应顶点是解题关键．
【变式8-3】（2019春•厦门期末）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，将三角形ABC进行平移，平移后点A、B、C的对应点分别是点D、E、F，点A（0，a），点B（0，b），点D（a，12a），点E（m﹣b，12a+4）．
（1）若a＝1，求m的值；
（2）若点C（﹣a，14m+3），其中a＞0．直线CE交y轴于点M，且三角形BEM的面积为1，试探究AF和BF的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）当a＝1时，得出A、B、D、E四点的坐标，再根据平移的规律得到m-b=1b-92=1-12，即可求出m的值；
（2）由平移的规律得出a=m-b①a-12a=b-(12a+4)②，变形整理得到14m+3=12a+4，那么CE∥x轴，根据三角形BEM的面积=12BM•EM＝1，求出a＝2，A（0，2），B（0，6），C（﹣2，5）．根据点F与点C是对应点，得出F（0，4），求出AF＝BF＝2．
【答案】解：（1）当a＝1时，
由三角形ABC平移得到三角形DEF，
A（0，1），B（0，b）的对应点分别为D（1，12），E（m﹣b，92），
可得m-b=1b-92=1-12，解得b=5m=6．
故m的值为6；
（2）AF＝BF．理由如下：
由三角形ABC平移得到三角形DEF，
点A（0，a），点B（0，b）的对应点分别为D（a，12a），点E（m﹣b，12a+4），
可得a=m-b①a-12a=b-(12a+4)②，
由②得b＝a+4③，
把③代入①，得m＝2a+4，
∴14m+3=12a+4，
∴点C与点E的纵坐标相等，
∴CE∥x轴，
∴点M（0，12a+4），
∴三角形BEM的面积=12BM•EM＝1，
∵a＞0，
∴BM＝a+4﹣（12a+4）=12a，EM＝a，
∴14a2＝1，
∴a＝2，
∴A（0，2），B（0，6），C（﹣2，5）．
又∵在平移中，点F与点C是对应点，
∴F（0，4），
∴AF＝4﹣2＝2，BF＝6﹣4＝2，
∴AF＝BF．
【点睛】本题考查了坐标与图形变化﹣平移，在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．也考查了三角形的面积，有一定难度．
【考点9 坐标与图形的变化—对称】
【例9】（2018秋•南昌期中）在平面直角坐标系中，有点A（a，1）、点B（2，b）．
（1）当A、B两点关于直线y＝﹣1对称时，求△AOB的面积；
（2）当线段AB∥x轴，且AB＝4时，求a﹣b的值．
【分析】（1）利用对称的性质得a＝2，b＝﹣3，进而得到A（2，1），B（2，﹣3），然后根据三角形面积公式求解；
（2）利用AB∥x轴得到A、B的纵坐标相同，则b＝1，所以|a﹣2|＝4，解得b＝﹣2或b＝6，然后分别计算对应的a﹣b的值．
【答案】解：（1）由题意，得a＝2，b＝﹣3，则A（2，1），B（2，﹣3）．
设AB与x轴相交于点D，则OD＝2，AB＝4．
∴S△AOB＝AB×OD＝×4×2＝4．
（2）∵AB∥x轴，
∴A、B的纵坐标相同，
∴b＝1．
∴B（2，1）
∵AB＝4，
∴|a﹣2|＝4．
解得a＝﹣2或a＝6．
当a＝﹣2，b＝1时，a﹣b＝﹣3．
当a＝6，b＝1时，a﹣b＝5．
【点睛】本题考查了坐标与图形变化﹣对称：关于x轴对称，横坐标相等，纵坐标互为相反数；关于y轴对称，纵坐标相等，横坐标互为相反数．
【变式9-1】（2018秋•蔡甸区期中）如图，在平面直角坐标系中有一个轴对称图形，A（3，﹣2），B（3，﹣6）两点在此图形上且互为对称点，若此图形上有一个点C（﹣2，+1）．
（1）求点C的对称点的坐标．
（2）求△ABC的面积．
【分析】（1）根据A、B的坐标，求出对称轴方程，即可据此求出C点对称点坐标．
（2）根据三角形面积公式可得结论．
【答案】解：∵A、B关于某条直线对称，且A、B的横坐标相同，
∴对称轴平行于x轴，
又∵A的纵坐标为﹣2，B的纵坐标为﹣6，
∴故对称轴为y＝＝﹣4，
∴y＝﹣4．
则设C（﹣2，1）关于y＝﹣4的对称点为（﹣2，m），
于是＝﹣4，
解得m＝﹣9．
则C的对称点坐标为（﹣2，﹣9）．
（2）如图所示，S△ABC＝×（﹣2+6）×（3+2）＝10．
【点睛】此题考查了坐标与图形变化﹣对称，要知道，以关于x轴平行的直线为对称轴的点的横坐标不变，纵坐标之和的平均数为对称轴上点的纵坐标．
【变式9-2】（2019秋•抚州期中）如图，在平面直角坐标系中，直线l过点M（3，0），且平行于y轴．
（1）如果△ABC三个顶点的坐标分别是A（﹣2，0），B（﹣1，0），C（﹣1，2），△ABC关于y轴的对称图形是△A1B1C1，△A1B1C1关于直线l的对称图形是△A2B2C2，写出△A2B2C2的三个顶点的坐标；
（2）如果点P的坐标是（﹣a，0），其中0＜a＜3，点P关于y轴的对称点是P1，点P1关于直线l的对称点是P2，求PP2的长．
【分析】（1）根据关于y轴对称点的坐标特点是横坐标互为相反数，纵坐标相同可以得到△A1B1C1各点坐标，又关于直线l的对称图形点的坐标特点是纵坐标相同，横坐标之和等于3的二倍，由此求出△A2B2C1的三个顶点的坐标；
（2）P与P1关于y轴对称，利用关于y轴对称点的特点：纵坐标不变，横坐标变为相反数，求出P1的坐标，再由直线l的方程为直线x＝3，利用对称的性质求出P2的坐标，即可得出PP2的长．
【答案】解：（1）△A2B2C2的三个顶点的坐标分别是A2（4，0），B2（5，0），C2（5，2）；
（2）如图1，当0＜a＜3时，∵P与P1关于y轴对称，P（﹣a，0），
∴P1（a，0），
又∵P1与P2关于l：直线x＝3对称，
设P2（x，0），可得：＝3，即x＝6﹣a，
∴P2（6﹣a，0），
则PP2＝6﹣a﹣（﹣a）＝6﹣a+a＝6．
【点睛】本题考查学生“轴对称”与坐标的相关知识的试题，掌握轴对称的性质是解本题的关键．
【变式9-3】（2019•南京校级期中）在平面直角坐标系中，直线l过点M（3，0），且平行于y轴．
（1）如果△ABC三个顶点的坐标分别是A（﹣2，0），B（﹣1，0），C（﹣1，2），△ABC关于y轴的对称图形是△A1B1C1，△A1B1C1关于直线l的对称图形是△A2B2C2，写出△A2B2C2的三个顶点的坐标；
（2）如果点P的坐标是（﹣a，0），其中a＞0，点P关于y轴的对称点是P1，点P1关于直线l的对称点是P2，求PP2的长．
【分析】（1）根据关于y轴对称点的坐标特点是横坐标互为相反数，纵坐标相同可以得到△A1B1C1各点坐标，又关于直线l的对称图形点的坐标特点是纵坐标相同，横坐标之和等于3的二倍，由此求出△A2B2C1的三个顶点的坐标；
（2）P与P1关于y轴对称，利用关于y轴对称点的特点：纵坐标不变，横坐标变为相反数，求出P1的坐标，再由直线l的方程为直线x＝3，利用对称的性质求出P2的坐标，即可PP2的长．
【答案】解：（1）△A2B2C2的三个顶点的坐标分别是A2（4，0），B2（5，0），C2（5，2）；
（2）如图1，当0＜a≤3时，∵P与P1关于y轴对称，P（﹣a，0），
∴P1（a，0），
又∵P1与P2关于l：直线x＝3对称，
设P2（x，0），可得：＝3，即x＝6﹣a，
∴P2（6﹣a，0），
则PP2＝6﹣a﹣（﹣a）＝6﹣a+a＝6．
如图2，当a＞3时，
∵P与P1关于y轴对称，P（﹣a，0），
∴P1（a，0），
又∵P1与P2关于l：直线x＝3对称，
设P2（x，0），可得：＝3，即x＝6﹣a，
∴P2（6﹣a，0），
则PP2＝6﹣a﹣（﹣a）＝6﹣a+a＝6．
【点睛】本题考查学生“轴对称”与坐标的相关知识的试题，尤其是第（2）小题设置的问题既具有一定的开放性又重点考查了分类的数学思想，使试题的考查有较高的效度．
【考点10 坐标与图形的变化—旋转】
【例10】（2019春•无锡期中）△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中每个小正方形的边长为1个单位长度．△ABC关于原点O的中心对称图形为△A1B1C1，写出点A的对应点A1的坐标；画出将△ABC绕点O顺时针旋转90°得到的△A2B2C2；若P（a，b）为△ABC边上一点，则在△A2B2C2中，点P对应的点Q的坐标为 ．请直接写出：以A、B、C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标．
【分析】（1）找出点A、B、C关于原点O的对称点的位置，然后顺次连接即可；
（2）根据网格结构以及平面直角坐标系的特点，找出点A、B绕点O顺时针旋转90°的对应点的位置，然后顺次连接即可；
（3）由图形再根据平面直角坐标系的特点写出点的坐标即可；
（4）根据网格结构以及平面直角坐标系的特点，找出点D的位置，即可得到坐标．
【答案】解：（1）点A1的坐标（2，﹣4）；
（2）如图：找出点A、B绕点O顺时针旋转90°的对应点的位置，然后顺次连接；
（3）若P（a，b）为△ABC边上一点，则在△A2B2C2中，点P对应的点Q的坐标为（b，﹣a），
故答案为（b，﹣a）；
（4）以A、B、C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标（﹣3，5）、（﹣1，3）、（﹣5，﹣1）．
【点睛】本题考查了利用旋转变换与中心对称作图，熟悉网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键．
【变式10-1】（2019春•会宁县校级月考）（1）如图，在方格纸中先通过 ，由图形A得到图形B，再由图形B先 （怎样平移），再 （怎样旋转）得到图形C（对于平移变换要求回答出平移的方向和平移的距离；对于旋转变换要求回答出旋转中心、旋转方向和旋转角度）；
（2）如图，如果点P、P3的坐标分别为（0，0）、（2，1），写出点P2的坐标是 ；
（3）图形B能绕某点Q顺时针旋转90°得到图形C，则点Q的坐标是 ；
（4）图形A能绕某点R顺时针旋转90°得到图形C，则点R的坐标是 ；
注：方格纸中的小正方形的边长为1个单位长度．
【分析】根据平移变换的定义，旋转变换的定义，即可一一解答．
【答案】解：（1）根据题意可知，向上平移4个单位长度图形A得到图形B，图形B向右平移4个单位长度，再绕点P2顺时针旋转90°得到图形C．
故答案为向上平移4个单位长，向右平移4个单位长度，绕点P2顺时针旋转90°．
（2）根据题意建立如图坐标系，根据图象可知P2（4，4）．
故答案为（4，4）．
（3）观察图形可知旋转中心Q（2，2）．
故答案为（2，2）．
（4）观察图形可知旋转中心C（4，0）．
故答案为（4，0）．
【点睛】本题考查再不要图形变化﹣旋转，坐标与图形变化﹣平移等知识，解题的关键是熟练掌握旋转变换的性质，平移变换的性质，属于基础题，中考常考题型．
【变式10-2】（2019•聊城期中）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，5），B（﹣2，1），C（﹣1，3）．
（1）若△ABC经过平移后得到△A1B1C1，已知点C1的坐标为（4，0），写出顶点A1，B1的坐标；
（2）若△ABC和△A2B2C2关于原点O成中心对称图形，写出△A2B2C2的各顶点的坐标；
（3）将△ABC绕着点O按顺时针方向旋转90°得到△A3B3C3，写出△A3B3C3的各顶点的坐标．
【分析】（1）利用点C和点C1的坐标变化得到平移的方向与距离，然后利用此平移规律写出顶点A1，B1的坐标；
（2）根据关于原点对称的点的坐标特征求解；
（3）利用网格和旋转的性质画出△A2B3C3，然后写出△A2B3C3的各顶点的坐标．
【答案】解：（1）如图，△A1B1C1为所作，
因为点C（﹣1，3）平移后的对应点C1的坐标为（4，0），
所以△ABC先向右平移5个单位，再向下平移3个单位得到△A1B1C1，
所以点A1的坐标为（2，2），B1点的坐标为（3，﹣2）；
（2）因为△ABC和△A1B2C2关于原点O成中心对称图形，
所以A2（3，﹣5），B2（2，﹣1），C2（1，﹣3）；
（3）如图，△A2B3C3为所作，A3（5，3），B3（1，2），C3（3，1）；
【点睛】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．
【变式10-3】（2019•淮阴区校级模拟）阅读材料：
如图（一），在已建立直角坐标系的方格纸中，图形①的顶点为A、B、C，要将它变换到图④（变换过程中图形的顶点必须在格点上，且不能超出方格纸的边界）．
例如：将图形①作如下变换（如图二）．
第一步：平移，使点C（6，6）移至点（4，3），得图②；
第二步：旋转，绕着点（4，3）旋转180°，得图③；
第三步：平移，使点（4，3）移至点O（0，0），得图④．
则图形①被变换到了图④．
解决问题：
（1）在上述变化过程中A点的坐标依次为：
（4，6）→（ ， ）→（ ， ）→（ ， ）
（2）如图（三），仿照例题格式，在直角坐标系的方格纸中将△DEF经过平移、旋转、翻折等变换得到△OPQ．（写出变换步骤，并画出相应的图形）
【分析】（1）根据序号，观察图形，可直接得出A点变化过程中的坐标；
（2）可以将图形先翻折，再旋转，最后平移得到．
【答案】解：（1）（2，3）→（6，3）→（2，0），
（2）第一步：翻折，沿DE所在直线翻折180°，得图2；
第二步：旋转，绕着点（5，4）逆时针旋转90°，得图3；
第三步：平移，使点（3，4）移至点O（0，0），得图4．
【点睛】本题考查了坐标系中的平移，旋转，翻折变换，形数结合，培养学生动手能力及合理的设计能力，本题答案不唯一．
【考点11 点在坐标系内的移动规律】
【例11】（2019春•博兴县期中）如图，在平面直角坐标系中，从点p1（﹣1，0），p2（﹣1，﹣1），p3（1，﹣1），p4（1，1），p5（﹣2，1），p6（﹣2，﹣2），…依次扩展下去，则p2019的坐标为（ ）
A．（505，﹣505）B．（﹣505，505）C．（﹣505，504）D．（﹣506，505）
【分析】根据点的下标发现规律：下标是4的倍数的点在第一象限，下标是4的倍数余1的点在第二象限，下标是4的倍数余2的点在第三象限，下标是4的倍数余3的点在第四象限，只需判断2019除以4的余数即可；
【答案】解：根据给出的点发现：下标是4的倍数的点在第一象限，下标是4的倍数余1的点在第二象限，下标是4的倍数余2的点在第三象限，下标是4的倍数余3的点在第四象限，
∴2019在第四象限，
故选：A．
【点睛】本题考查平面内点的特点，点的规律；能够结合图形和点的坐标，寻找到每个象限内点的下标特点是解题的关键．
【变式11-1】（2018春•武昌区期中）一只跳蚤在第一象限及x、y轴上跳动，第一次它从原点跳到（0.1），然后按图中箭头所示方向跳动（0，0）→（0，1）→（1，1）→（1，0）→……，每次跳一个单位长度，则第2018次跳到点（ ）
A．（6，44）B．（7，45）C．（44，7）D．（7，44）
【分析】根据跳蚤运动的速度确定：（0，1）用的次数是1（12）次，到（0，2）是第8（2×4）次，到（0，3）是第9（32）次，到（0，4）是第24（4×6）次，到（0，5）是第25（52）次，到（0，6）是第48（6×8）次，依此类推，到（0，45）是第2025次，后退7次可得2018次所对应的坐标．
【答案】解：跳蚤运动的速度是每秒运动一个单位长度，（0，1）用的次数是1（12）次，到（0，2）是第8（2×4）次，到（0，3）是第9（32）次，到（0，4）是第24（4×6）次，到（0，5）是第25（52）次，到（0，6）第48（6×8）次，依此类推，到（0，45）是第2025次．
2025﹣1﹣6＝2018，
故第2018次时跳蚤所在位置的坐标是（6，44）．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了数字变化规律，解决本题的关键是正确读懂题意，能够正确确定点运动的顺序，确定运动的距离，从而可以得到到达每个点所用的时间．
【变式11-2】（2019春•武城县期中）如图，在平面直角坐标系中，有若干个横纵坐标分别为整数的点，其顺序为（1，0）、（2，0）、（2，1）、（1，1）、（1，2）、（2，2）…根据这个规律，第2019个点的坐标为（ ）
A．（45，6）B．（45，13）C．（45，22）D．（45，0）
【分析】到每一个横坐标结束，经过整数点的个数等于最后横坐标的平方，横坐标是奇数时最后以横坐标为该数，纵坐标为0结束，横坐标为偶数时以横坐标为1，纵坐标以横坐标减1结束，横坐标以n结束的有n2个点，
【答案】解：观察图形可知，到每一个横坐标结束，经过整数点的个数等于最后横坐标的平方，
横坐标是奇数时最后以横坐标为该数，纵坐标为0结束，
横坐标为偶数时以横坐标为1，纵坐标以横坐标减1结束，
∴横坐标以n结束的有n2个点，
第2025个点是（45，0），
∴2019个点的坐标是（45，6）；
故选：A．
【点睛】本题考查了点的坐标，观察出点的个数与横坐标存在平方关系是解题的关键．
【变式11-3】（2019春•新左旗期中）如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点（1，1），第2次接着运动到点（2，0），第3次接着运动到点（3，2），…，按这样的运动规律，经过第2018次运动后，动点P的坐标是（ ）
A．（2018，1）B．（2018，0）C．（2018，2）D．（2019，0）
【分析】分析点P的运动规律找到循环规律即可．
【答案】解：点P坐标运动规律可以看做每运动四次一个循环，每个循环向右移动4个单位，则2018＝504×4+2
所以，前504次循环运动点P共向右运动504×4＝2016个单位，剩余两次运动向右走2个单位，且在x轴上．
故点P坐标为（2018，0）
故选：B．
【点睛】本题是平面直角坐标系下的坐标规律探究题，解答关键是利用数形结合解决问题．
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