苏科版数学八年级上册第1章全等三角形章末重难点题型（举一反三）（原卷+解析卷）学案

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【考点1 利用全等三角形的性质求角】
【方法点拨】全等三角形的性质：（1）全等三角形的对应边相等、对应角相等；（2）全等三角形的周长相等、面积相等；（3）全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、高线分别相等。
【例1】（2019春•临安区期中）如图，△ACB≌△A′CB′，∠ACB＝70°，∠ACB′＝100°，则∠BCA′的度数为（ ）
A．30°B．35°C．40°D．50°
【分析】根据全等三角形的性质和角的和差即可得到结论．
【答案】解：∵△ACB≌△A′CB′，
∴∠A′CB′＝∠ACB＝70°，
∵∠ACB′＝100°，
∴∠BCB′＝∠ACB′﹣∠ACB＝30°，
∴∠BCA′＝∠A′CB′﹣∠BCB′＝40°，
故选：C．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．
【变式1-1】（2018秋•绍兴期末）如图，△ABC≌△EDC，BC⊥CD，点A，D，E在同一条直线上，∠ACB＝20°，则∠ADC的度数是（ ）
A．55°B．60°C．65°D．70°
【分析】根据全等三角形的性质和三角形内角和解答即可．
【答案】解：∵，△ABC≌△EDC．
∴∠DCE＝∠ACB＝20°，∠BCD＝∠ACE＝90°，AC＝CE，
∴∠ACD＝90°﹣20°＝70°，
∵点A，D，E在同一条直线上，
∴∠ADC+∠EDC＝180°，
∵∠EDC+∠E+∠DCE＝180°，
∴∠ADC＝∠E+20°，
∵∠ACE＝90°，AC＝CE
∴∠DAC+∠E＝90°，∠E＝∠DAC＝45°
在△ADC中，∠ADC+∠DAC+∠DCA＝180°，
即45°+70°+∠ADC＝180°，
解得：∠ADC＝65°，
故选：C．
【点睛】此题考查全等三角形的性质，关键是根据全等三角形的性质和三角形内角和解答．
【变式1-2】（2018秋•厦门期末）如图，点F，C在BE上，△ABC≌△DEF，AB和DE，AC和DF是对应边，AC，DF交于点M，则∠AMF等于（ ）
A．2∠BB．2∠ACBC．∠A+∠DD．∠B+∠ACB
【分析】根据全等三角形的性质和外角的性质即可得到结论．
【答案】解：∵△ABC≌△DEF，
∴∠ACB＝∠DFE，
∵∠AMF＝∠ACB+∠DFE，
∴∠AMF＝2∠ACB，
故选：B．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，三角形的外角的性质，熟练正确全等三角形的性质是解题的关键．
【变式1-3】（2018秋•桐梓县校级期中）如图，△ABC≌△A′B′C，∠ACB＝90°，∠B＝50°，点B′在线段AB上，AC，A′B′交于点O，则∠COA′的度数是（ ）
A．50°B．60°C．70°D．80°
【分析】根据全等三角形的性质得到∠CB′A′＝∠B＝50°，CB＝CB′，根据等腰三角形的性质，三角形内角和定理求出∠BCB′＝80°，根据三角形的外角的性质计算即可．
【答案】解：∵△ABC≌△A′B′C，
∴∠CB′A′＝∠B＝50°，CB＝CB′，
∴∠BB′C＝∠B＝50°，
∴∠BCB′＝80°，
∴∠ACB′＝10°，
∴∠COA′＝∠CB′A′+∠ACB′＝60°，
故选：B．
【点睛】本题考查的是全等三角形的性质，三角形的外角的性质，掌握全等三角形的对应边相等，对应角相等是解题的关键．
【考点2 全等三角形的判定条件】
【方法点拨】寻找并证明全等三角形还缺少的条件，其基本思路是：
（1）有两边对应相等，找夹角对应相等，或第三边对应相等.前者利用SAS判定，后者利用SSS判定.
（2）有两角对应相等，找夹边对应相等，或任一等角的对边对应相等.前者利用ASA判定，后者利用AAS判定.
（3）有一边和该边的对角对应相等，找另一角对应相等.利用AAS判定.
（4）有一边和该边的邻角对应相等，找夹等角的另一边对应相等，或另一角对应相等.前者利用SAS判定，后者利用AAS判定.
【例2】（2019春•沙坪坝区校级期中）如图，在△ABC和△AED中，已知∠1＝∠2，AC＝AD，添加一个条件后，仍然不能证明△ABC≌△AED，这个条件是（ ）
A．AB＝AEB．BC＝EDC．∠C＝∠DD．∠B＝∠E
【分析】由∠1＝∠2结合等式的性质可得∠CAB＝∠DAE，再利用全等三角形的判定定理分别进行分析即可．
【答案】解：∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠EAB＝∠2+∠EAB，
即∠CAB＝∠DAE，
A、加上条件AB＝AE可利用SAS定理证明△ABC≌△AED；
B、加上BC＝ED不能证明△ABC≌△AED；
C、加上∠C＝∠D可利用ASA证明△ABC≌△AED；
D、加上∠B＝∠E可利用AAS证明△ABC≌△AED；
故选：B．
【点睛】此题主要考查了三角形全等的判定方法，解题时注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
【变式2-1】（2019秋•潘集区期中）在△ABC与△DEF中，给出下列四组条件：
（1）AB＝DE，AC＝DF，BC＝EF （2）AB＝DE，∠B＝∠E，BC＝EF
（3）∠B＝∠E，BC＝EF，∠C＝∠F （4）AB＝DE，∠B＝∠E，AC＝DF，
其中能使△ABC≌△DEF的条件共有（ ）
A．1组B．2组C．3组D．4组
【分析】要使△ABC≌△DEF的条件必须满足SSS、SAS、ASA、AAS，可据此进行判断．
【答案】解：（1）由AB＝DE，AC＝DF，BC＝EF，依据“SSS”可判定△ABC≌△DEF；
（2）由AB＝DE，∠B＝∠E，BC＝EF，依据“SAS”可判定△ABC≌△DEF；
（3）由∠B＝∠E，BC＝EF，∠C＝∠F，依据“ASA”可判定△ABC≌△DEF；
（4）由AB＝DE，∠B＝∠E，AC＝DF不能判定△ABC≌△DEF；
故选：C．
【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
【变式2-2】（2018春•渝中区校级期中）如图，点B、F、C、E在一条直线上，∠A＝∠D，∠B＝∠E，再添一个条件仍不能证明△ABC≌△DEF的是（ ）
A．AB＝DEB．BC＝EFC．∠ACB＝∠DFED．AC＝DF
【分析】本题具备了两组角对应相等，为了再添一个条件仍不能证明△ABC≌△DEF，那么添加的条件与原来的条件可形成AAA，就不能证明△ABC≌△DEF了．
【答案】解：A、添加AB＝DE与原条件满足ASA，能证明△ABC≌△DEF，故A选项错误．
B、添加BC＝EF，根据AAS能证明△ABC≌△DEF，故B选项错误．
C、添加∠ACB＝∠DFE，不能根据AAA能证明△ABC≌△DEF，故C选项正确．
D、添加AC＝DF，根据AAS能证明△ABC≌△DEF，故D选项错误．
故选：C．
【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
【变式2-3】（2018秋•鄂尔多斯期中）如图，已知AB＝AC，AD＝AE，若要得到“△ABD≌△ACE”，必须添加一个条件，则下列所添条件不恰当的是（ ）
A．BD＝CEB．∠ABD＝∠ACEC．∠BAD＝∠CAED．∠BAC＝∠DAE
【分析】根据已知两组对应边对应相等，结合全等三角形的判定方法对各选项分析判断后利用排除法求解．
【答案】解：AB＝AC，AD＝AE，
A、若BD＝CE，则根据“SSS”，△ABD≌△ACE，恰当，故本选项错误；
B、若∠ABD＝∠ACE，则符合“SSA”，不能判定△ABD≌△ACE，不恰当，故本选项正确；
C、若∠BAD＝∠CAE，则符合“SAS”，△ABD≌△ACE，恰当，故本选项错误；
D、若∠BAC＝∠DAE，则∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
即∠BAD＝∠CAE，符合“SAS”，△ABD≌△ACE，恰当，故本选项错误．
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS，注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
【考点3 全等三角形判定的应用】
【方法点拨】解决此类题型的关键是理解题意，利用全等三角形的判定.
【例3】（2019春•郓城县期末）如图所示，要测量河两岸相对的两点A、B的距离，因无法直接量出A、B两点的距离，请你设计一种方案，求出A、B的距离，并说明理由．
【分析】根据条件证明△ABC≌△CDE，可求得AB＝DE．
【答案】解：在AB的垂线BF上取两点C，D，使CD＝BC，
再作出BF的垂线DE，使A，C，E在一条直线上，这时测得的DE的长就是AB的长，
作出的图形如图所示：
∵AB⊥BF ED⊥BF
∴∠ABC＝∠EDC＝90°
又∵CD＝BC，∠ACB＝∠ECD
∴△ACB≌△ECD（ASA），
∴AB＝DE．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法（即SSS、SAS、ASA、AAS和HL）和性质（即全等三角形的对应边相等、对应角相等）是解题的关键．
【变式3-1】（2019春•峄城区期末）如图，点C、E分别在直线AB、DF上，小华想知道∠ACE和∠DEC是否互补，但是他没有带量角器，只带了一副三角板，于是他想了这样一个办法：首先连结CF，再找出CF的中点O，然后连结EO并延长EO和直线AB相交于点B，经过测量，他发现EO＝BO，因此他得出结论：∠ACE和∠DEC互补，而且他还发现BC＝EF．小华的想法对吗？为什么？
【分析】通过全等三角形得到内错角相等，得到两直线平行，进而得到同旁内角互补．
【答案】解：∵O是CF的中点，
∴CO＝FO（中点的定义）
在△COB和△FOE中
，
∴△COB≌△FOE（SAS）
∴BC＝EF（对应边相等）
∠BCO＝∠F（对应角相等）
∴AB∥DF（内错角相等，两直线平行）
∴∠ACE和∠DEC互补（两直线平行，同旁内角互补），
【点睛】本题考查了三角形的全等的判定和性质；做题时用了两直线平行内错角相等，同旁内角互补等知识，要学会综合运用这些知识．
【变式3-2】（2019春•槐荫区期末）王强同学用10块高度都是2cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AC＝BC，∠ACB＝90°），点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合，求两堵木墙之间的距离．
【分析】根据题意可得AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，进而得到∠ADC＝∠CEB＝90°，再根据等角的余角相等可得∠BCE＝∠DAC，再证明△ADC≌△CEB即可，利用全等三角形的性质进行解答．
【答案】解：由题意得：AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，
∴∠ADC＝∠CEB＝90°，
∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠ACD+∠DAC＝90°，
∴∠BCE＝∠DAC，
在△ADC和△CEB中，
，
∴△ADC≌△CEB（AAS）；
由题意得：AD＝EC＝6cm，DC＝BE＝14cm，
∴DE＝DC+CE＝20（cm），
答：两堵木墙之间的距离为20cm．
【点睛】此题主要考查了全等三角形的应用，关键是正确找出证明三角形全等的条件．
【变式3-3】如图，两根长12m的绳子，一端系在旗杆上的同一位置，另一端分别固定在地面上的两个木桩上（绳结处的误差忽略不计），现在只有一把卷尺，如何来检验旗杆是否垂直于地面？请说明理由．
【分析】用卷尺测量出BD＝CD，然后利用“SSS”证明△ABD和△ACD全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ADB＝∠ADC，再求出∠ADB＝∠ADC＝90°，即可进行判定．
【答案】解：用卷尺测量出BD、CD，看它们是否相等，若BD＝CD，则AD⊥BC．
理由如下：∵在△ABD和△ACD中，
，
∴△ABD≌△ACD（SSS），
∴∠ADB＝∠ADC，
又∵∠ADB+∠ADC＝180°，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
即AD⊥BC．
【点睛】本题考查了全等三角形的应用，比较简单，关键在于利用全等三角形对应角相等判断∠ADB＝∠ADC＝90°．
【考点4 利用AAS证明三角形全等】
【方法点拨】两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（可简写成“AAS”)
【例4】（2018秋•仙游县期中）如图，△ABC的两条高AD，BE相交于点F，请添加一个条件，使得△ADC≌△BEC（不添加其他字母及辅助线），你添加的条件是 ．并证明结论．
【分析】添加AC＝BC，根据三角形高的定义可得∠ADC＝∠BEC＝90°，再证明∠EBC＝∠DAC，然后再添加AC＝BC可利用AAS判定△ADC≌△BEC．
【答案】解：添加AC＝BC，
∵△ABC的两条高AD，BE，
∴∠ADC＝∠BEC＝90°，
∴∠DAC+∠C＝90°，∠EBC+∠C＝90°，
∴∠EBC＝∠DAC，
在△ADC和△BEC中，
∴△ADC≌△BEC（AAS），
故答案为：AC＝BC．
【点睛】此题主要考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
【变式4-1】（2018春•揭西县期末）如图，∠ABC＝∠ACB，∠ADE＝∠AED，BE＝CD，试说明：△ABD≌△ACE．
【分析】根据AAS推出△ABD≌△ACE即可．
【答案】解：∵∠ADE＝∠AED，
∴∠ADB＝180°﹣∠ADE＝180°﹣∠AED＝∠AEC
又∵BE＝CD，
∴BD＝BE﹣DE＝CD﹣DE＝CE
在△ADB与△ACE中，
，
∴△ADB≌△ACE
【点睛】此题考查全等三角形的判定，关键是根据全等三角形的判定方法解答．
【变式4-2】（2018秋•杭州期中）如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE，AD⊥CE．求证：△ACD≌△CBE．
【分析】两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等，根据同角的余角相等推出∠BCE＝∠CAD，然后利用“角角边”证明即可．
【答案】证明：∵BE⊥CE，AD⊥CE于D，
∴∠CEB＝∠ADC＝90°，
∵∠BCE+∠ACD＝∠ACB＝90°，
∠CAD+∠ACD＝180°﹣90°＝90°，
∴∠BCE＝∠CAD，
在△ACD和△CBE中，
，
∴△ACD≌△CBE（AAS）．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，证明得到∠BCE＝∠CAD是解题的关键．
【变式4-3】（2018•雁塔区校级二模）如图，在四边形ABCD中，点E在AD上，其中∠BAE＝∠BCE＝∠ACD＝90°，且BC＝CE，求证：△ABC≌△DEC．
【分析】根据同角的余角相等可得到∠3＝∠5，结合条件可得到∠1＝∠D，再加上BC＝CE，可证得结论．
【答案】解：∵∠BCE＝∠ACD＝90°，
∴∠3+∠4＝∠4+∠5，
∴∠3＝∠5，
在△ACD中，∠ACD＝90°，
∴∠2+∠D＝90°，
∵∠BAE＝∠1+∠2＝90°，
∴∠1＝∠D，
在△ABC和△DEC中，
，
∴△ABC≌△DEC（AAS）．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键，即SSS、SAS、ASA、AAS和HL．
【考点5 利用SAS证明三角形全等】
【方法点拨】两边和它们的夹角对应相等两个三角形全等（可简写成“SAS”)
【例5】（2018春•金山区期末）如图，已知CA＝CD，CB＝CE，∠ACB＝∠DCE，试说明△ACE≌△DCB的理由．
【分析】由已知条件可知∠ACE＝∠DCB，则根据SAS可证全等．
【答案】解：∵∠ACB＝∠DCE，
∴∠ACB﹣∠ACD＝∠DCE﹣∠ACD，即：∠ACE＝∠DCB，
在△ACE与△DCB中
，
∴△ACE≌△DCB（SAS）．
【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
【变式5-1】（2018春•黄岛区期末）如图，点E在AB上，AC＝AD，∠CAB＝∠DAB，那么△BCE和△BDE全等吗？请说明理由．
【分析】根据全等三角形的判定定理，观察图形上的已知条件，已知告诉的条件是一角一边分别对应相等，加上公共边就可证两对三角形全等．
【答案】解：△BCE≌△BDE，理由如下：
在△ACB与△ADB中，
∴△ACB≌△ADB（SAS），
∴BC＝BD，∠ABC＝∠ABD，
在△BCE与△BDE中
，
∴△BCE≌△BDE（SAS）．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定；关键是根据全等三角形的判定定理证明．
【变式5-2】（2018秋•仪征市校级月考）如图，已知点B、F、C、E在同一直线上，AC、DF相交于点G，AB⊥BE，垂足为B，DE⊥BE，垂足为E，且AB＝DE，BF＝CE，说明△ABC与△DEF全等的理由．
【分析】根据垂直定义可得∠B＝∠E＝90°，根据等式的性质可得BC＝EF，然后可利用SAS判定△ABC≌△DEF即可．
【答案】证明：∵AB⊥BE，DE⊥BE，
∴∠B＝∠E＝90°，
∵BF＝CE，
∴BF+FC＝EC+FC，
即BC＝EF，
在△ABC和△DEF中，
∴△ABC≌△DEF（SAS）．
【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
【变式5-3】（2019秋•东莞市校级月考）如图：△ABC和△EAD中，∠BAC＝∠DAE，AB＝AE，AC＝AD，连接BD，CE．求证：△ABD≌△AEC．
【分析】根据∠BAC＝∠DAE，可得∠BAD＝∠CAE，再根据全等的条件可得出结论．
【答案】证明：∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠BAE＝∠DAE﹣∠BAE，
即∠BAD＝∠CAE，
在△ABD和△AEC中，
，
∴△ABD≌△AEC（SAS）．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，判断三角形全等的方法有：SSS，SAS，ASA，AAS，以及判断两个直角三角形全等的方法HL．
【考点6 利用ASA证明三角形全等】
【方法点拨】两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“ASA”)
【例6】（2019秋•利辛县期末）如图，已知AB＝AC，∠ABE＝∠ACD，BE与CD相交于O，求证：△ABE≌△ACD．
【分析】由条件AB＝AC，∠ABE＝∠ACD，再加上公共角∠A＝∠A，直接利用ASA定理判定△ABE≌△ACD即可．
【答案】证明：在△ABE与△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD（ASA）．
【点睛】此题主要考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
【变式6-1】（2018•双柏县二模）如图，∠A＝∠B，AE＝BE，点D在AC边上，∠1＝∠2，AE和BD相交于点O． 求证：△AEC≌△BED；
【分析】根据全等三角形的判定即可判断△AEC≌△BED．
【答案】证明：∵AE和BD相交于点O，
∴∠AOD＝∠BOE．
在△AOD和△BOE中，
∠A＝∠B，∴∠BEO＝∠2．
又∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠BEO，
∴∠AEC＝∠BED．
在△AEC和△BED中，
，
∴△AEC≌△BED（ASA）．
【点睛】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是熟练运用全等三角形的性质与判定．
【变式6-2】（2019•陕西模拟）如图，四边形ABCD中，E点在AD上，其中∠BAE＝∠BCE＝∠ACD＝90°，且BC＝CE，求证：△ABC≌△DEC．
【分析】由∠BAE＝∠BCE＝∠ACD＝90°，可求得∠DCE＝∠ACB，且∠B+∠CEA＝∠CEA+∠DEC＝180°，可求得∠DEC＝∠ABC，再结合条件可证明△ABC≌△DEC．
【答案】证明：
∵∠BAE＝∠BCE＝∠ACD＝90°，
∴∠DCE+∠ECA＝∠ECA+∠ACB，
∴∠DCE＝∠ACB，且∠B+∠CEA＝180°，
又∠DEC+∠CEA＝180°，
∴∠B＝∠DEC，
在△ABC和△DEC中
∴△ABC≌△DEC（ASA）．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键，即SSS、SAS、ASA、AAS和HL．
【变式6-3】（2019秋•乐清市校级期中）如图，△ABC的两条高AD、BE相交于点H，且AD＝BD，求证：△BDH≌△ADC．
【分析】证明∠DBH＝∠DAC，∠BDH＝∠ADC，从而利用ASA证明△BDH≌△ADC．
【答案】证明：∵△ABC的两条高AD、BE相交于点H，
∴∠ADC＝∠ADB＝∠BEC＝90°，
∴∠DAC+∠C＝90°，∠DBH+∠C＝90°，
∴∠DAC＝∠DBH，
在△BDH和△ADC中
∴△BDH≌△ADC（ASA）．
【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定和三角形内角和定理的应用，关键是找出能使三角形全等的条件，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．
【考点7 利用SSS证明三角形全等】
【方法点拨】三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“SSS”)
【例7】（2019春•渝中区校级月考）如图，AB＝CD，AE＝CF，E、F是BD上两点，且BF＝DE．
求证：△ABE≌△CDF．
【分析】只要证明，BE＝DF，即可根据SSS证明两个三角形全等．
【答案】证明：∵BF＝DE，
∴BE+EF＝EF+DF，
∴BE＝DF，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（SSS）．
【点睛】本题考查全等三角形的判定，线段的和差定义等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，属于中考基础题．
【变式7-1】（2019秋•扶余县校级月考）如图，在△ABC中，AD＝AE，BE＝CD，AB＝AC．
（1）求证：△ABD≌△ACE；
（2）求证：∠BAE＝∠CAD．
【分析】（1）由BE＝CD，得到BD＝CE．根据“SSS“定理即可证得△ABD≌△ACE；
（2）根据全等三角形的性质可证得∠BAE＝∠CAE，进而可证得结论．
【答案】证明：（1）∵BE＝CD，
∴BE﹣DE＝CD﹣DE，
∴BD＝CE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE；
（2）∵△ABD≌△ACE，
∴∠BAE＝∠CAE，
∴∠BAE+∠DAE＝∠CAE+∠DAE，
∴∠BAE＝∠CAD．
【点睛】本题主要考查了线段的和差与角的和差计算，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键．
【变式7-2】（2019秋•保亭县校级月考）如图，AB＝AD，DC＝BC，∠B与∠D相等吗？为什么？
【分析】连接AC，根据全等三角形的判定定理证得△ABC≌△ADC，由全等三角形的性质即可得到结论．
【答案】解：∠B与∠D相等，
理由：连接AC，
在△ABC与△ACD中，，
∴△ABC≌△ADC，
∴∠B＝∠D．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，连接AC构造全等三角形是解题的关键．
【变式7-3】（2019秋•蓬江区校级期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，D、E分别为AC、AB上的点，且AD＝BD，AE＝BC，DE＝DC，求证：DE⊥AB．
【分析】由SSS可得△ADE≌△BDC（SSS），得出∠C＝∠AED＝90°，即可得出结论．
【答案】证明：在△ADE和△BDC中，
∴△ADE≌△BDC（SSS），
∴∠C＝∠AED＝90°
即DE⊥AB．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质问题，能够熟练掌握．
【考点8 利用HL证明三角形全等】
【方法点拨】对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有HL定理（斜边、直角边定理）：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）
【例8】（2018秋•思明区校级月考）如图，在四边形ABCD中，AD⊥BD，AC⊥CB，BD＝AC．求证：△ABD≌△BAC；
【分析】根据AD⊥BD，AC⊥CB，可得∠ADB＝∠BCA＝90°，而AB＝BA，BD＝AC，利用HL可证Rt△ADB≌Rt△BCA．
【答案】证明：∵AD⊥BD，AC⊥CB，
∴∠ADB＝∠BCA＝90°，
在Rt△ADB和Rt△BCA中，
AB＝BA，BD＝AC，
∴Rt△ADB≌Rt△BCA（HL）
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，解题的关键是证明Rt△ADB≌Rt△BCA．
【变式8-1】（2019秋•睢宁县校级月考）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，一条直线MN＝AB，M、N分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AP上运动．问点M运动到什么位置，才能使△ABC和△AMN全等？并证明你的结论．
【分析】由条件可知∠C＝∠MAN＝90°，且AB＝MN，故要使△ABC和△AMN全等则有AM与CA对应或AM和BC对应，从而可确定出M的位置．
【答案】解：
当点C和点M重合或AM＝2时两个三角形全等，
证明如下：
∵PA⊥AC，
∴∠BCA＝∠MAN＝90°，
当点C、点M重合时，则有AM＝AC，
在Rt△ABC和Rt△MNA中，
∴Rt△ABC≌Rt△MNA（HL），
当AM＝BC＝2时，
在Rt△ABC和Rt△MNA中，
∴Rt△ABC≌Rt△MNA（HL），
综上可知当点C和点M重合或AM＝2时两个三角形全等．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键，即SSS、SAS、ASA、AAS和HL．
【变式8-2】（2019秋•合浦县期末）如图，已知∠A＝∠D＝90°，E、F在线段BC上，DE与AF交于点O，且AB＝CD，BE＝CF．求证：Rt△ABF≌Rt△DCE．
【分析】由于△ABF与△DCE是直角三角形，根据直角三角形全等的判定的方法即可证明．
【答案】证明：∵BE＝CF，
∴BE+EF＝CF+EF，即BF＝CE，
∵∠A＝∠D＝90°，
∴△ABF与△DCE都为直角三角形，
在Rt△ABF和Rt△DCE中，，
∴Rt△ABF≌Rt△DCE（HL）．
【点睛】此题考查了直角三角形全等的判定，解题关键是由BE＝CF通过等量代换得到BF＝CE．
【变式8-3】（2019春•醴陵市期末）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CA平分∠BCD，AE⊥BC于点E，AF⊥CD交CD的延长线于点F．
求证：△ABE≌△ADF．
【分析】首先由角平分线的性质定理得到：AE＝AF，再由HL判定Rt△ABE≌Rt△ADF即可．
【答案】证明：∵CA平分∠BCD，AE⊥BC于点E，AF⊥CD交CD的延长线于点F，
∴AE＝AF．
在Rt△ABE与Rt△ADF中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL）．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与角平分线的性质．判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
【考点9 全等三角形的判定与性质综合】
【例9】（2019•南岸区）如图，在△ABC和△ABD中，∠BAC＝∠ABD＝90°，点E为AD边上的一点，且AC＝AE，连接CE交AB于点G，过点A作AF⊥AD交CE于点F．
（1）求证：△AGE≌△AFC；
（2）若AB＝AC，求证：AD＝AF+BD．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠C＝∠AEG，利用ASA定理证明AGE≌△AFC；
（2）延长AF至点H，使AH＝AD，证明△CAH≌△BAD，根据全等三角形的性质得到CH＝BD，∠ACH＝∠ABD＝90°，得到CH∥AB，证明HC＝HF，结合图形证明结论．
【答案】证明：（1）∵∠CAB＝∠FAE＝90°，
∴∠CAB﹣∠FAG＝∠FAE﹣∠FAG，即∠CAF＝∠EAG，
∵AC＝AE，
∴∠C＝∠AEG，
在△AGE和△AFC中，
，
∴△AGE≌△AFC（ASA）；
（2）延长AF至点H，使AH＝AD，
在△CAH和△BAD中，
，
∴△CAH≌△BAD（SAS）
∴CH＝BD，∠ACH＝∠ABD＝90°，
∴CH∥AB，
∴∠CHA＝∠HAG，
∵△AGE≌△AFC，
∴∠AGE＝∠AFC，
∴∠AGF＝∠AFG，
∴∠CHA＝∠CFH，
∴HC＝HF，
∴AH＝AF+HF＝AF+CH，
∴AD＝AF+BD．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
【变式9-1】（2019•福州模拟）（1）已知，如图①，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E，求证：DE＝BD+CE．
（2）如图②，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意钝角，请问结论DE＝BD+CE是否成立？若成立，请你给出证明：若不成立，请说明理由．
【分析】（1）根据BD⊥直线m，CE⊥直线m得∠BDA＝∠CEA＝90°，而∠BAC＝90°，根据等角的余角相等得∠CAE＝∠ABD，然后根据“AAS”可判断△ADB≌△CEA，
则AE＝BD，AD＝CE，于是DE＝AE+AD＝BD+CE；
（2）利用∠BDA＝∠BAC＝α，则∠DBA+∠BAD＝∠BAD+∠CAE＝180°﹣α，得出∠CAE＝∠ABD，进而得出△ADB≌△CEA即可得出答案．
【答案】证明：（1）∵BD⊥直线m，CE⊥直线m，
∴∠BDA＝∠CEA＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAD+∠CAE＝90°，
∵∠BAD+∠ABD＝90°，
∴∠CAE＝∠ABD，
∵在△ADB和△CEA中
，
∴△ADB≌△CEA（AAS），
∴AE＝BD，AD＝CE，
∴DE＝AE+AD＝BD+CE；
（2）∵∠BDA＝∠BAC＝α，
∴∠DBA+∠BAD＝∠BAD+∠CAE＝180°﹣α，
∴∠CAE＝∠ABD，
∵在△ADB和△CEA中
，
∴△ADB≌△CEA（AAS），
∴AE＝BD，AD＝CE，
∴DE＝AE+AD＝BD+CE．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；得出∠CAE＝∠ABD是解题关键．
【变式9-2】（2018秋•天台县期末）如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D，E，若AD＝a，DE＝b，
（1）如图1，求BE的长，写出求解过程；（用含a，b的式子表示）
（2）如图2，点D在△ABC内部时，直接写出BE的长 ．（用含a，b的式子表示）
【分析】（1）根据同角的余角相等可得∠ACD＝∠CBE，根据“AAS”可证△ACD≌△CBE，可得CE＝AD＝a，即可求DE的长；
（2）根据同角的余角相等可得∠ACD＝∠CBE，根据“AAS”可证△ACD≌△CBE，可得CE＝AD＝a，即可求DE的长．
【答案】解：（1）∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠BCD＝90°
∵AD⊥CE，BE⊥CE，
∴∠D＝∠BEC＝90°，
∴∠CBE+∠BCD＝90°，
∴∠ACD＝∠CBE，且AC＝BC，∠ADC＝∠BEC＝90°
∴△ACD≌△CBE（AAS），
∴CE＝AD＝a，
∵DC＝CE+DE
∴BE＝CD＝a+b
（2）∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠BCD＝90°
∵AD⊥CE，BE⊥CE，
∴∠ADC＝∠BEC＝90°，
∴∠CBE+∠BCD＝90°，
∴∠ACD＝∠CBE，且AC＝BC，∠ADC＝∠BEC＝90°
∴△ACD≌△CBE
∴CE＝AD＝a，
∵CD＝CE﹣DE
∴BE＝CD＝a﹣b，
故答案为：a﹣b
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练运用全等三角形的判定是本题的关键．
【变式9-3】（2019春•道外区期末）如图，四边形ABCD中，∠ABC＝∠BCD＝90°，点E在BC边上，∠AED＝90°
（1）求证：∠BAE＝∠CED；
（2）若AB+CD＝DE，求证：AE+BE＝CE；
（3）在（2）的条件下，若△CDE与△ABE的面积的差为18，CD＝6，求BE的长．
【分析】（1）由∠AEB+∠CED＝180°﹣90°＝90°，∠BAE+∠AEB＝90°，即可得出结论；
（2）在ED上截取EF＝AB，过点F作FG⊥DE交BC于G，连接DG，证出∠BAE＝∠FEG，由ASA证得△ABE≌△EFG得出AE＝EG，BE＝FG，由AB+CD＝DE，EF+DF＝DE，得出DF＝CD，由HL证得Rt△DFG≌Rt△DCG得出FG＝CG，则BE＝CG，即可得出结论；
（3）由△ABE≌△EFG，Rt△DFG≌Rt△DCG，得出S△ABE＝S△EFG，S△DFG＝S△DCG，则S△CDE﹣S△ABE＝2S△CDG＝18，得出S△CDG＝9，则CG•CD＝9，即可得出结果．
【答案】（1）证明：∵∠AEB+∠CED＝180°﹣90°＝90°，∠BAE+∠AEB＝90°，
∴∠BAE＝∠CED；
（2）证明：在ED上截取EF＝AB，过点F作FG⊥DE交BC于G，连接DG，如图所示：
∵∠AEB+∠GEF＝90°，∠BAE+∠AEB＝90°，
∴∠BAE＝∠FEG，
在△ABE和△EFG中，，
∴△ABE≌△EFG（ASA），
∴AE＝EG，BE＝FG，
∵AB+CD＝DE，EF+DF＝DE，
∴DF＝CD，
在Rt△DFG和Rt△DCG中，，
∴Rt△DFG≌Rt△DCG（HL），
∴FG＝CG，
∴BE＝CG，
∴AE+BE＝EG+CG＝CE；
（3）解：∵△ABE≌△EFG，Rt△DFG≌Rt△DCG，
∴S△ABE＝S△EFG，S△DFG＝S△DCG，
∴S△CDE﹣S△ABE＝2S△CDG＝18，
∴S△CDG＝9，
∴CG•CD＝9，即×CG×6＝9，
∴CG＝BE＝3．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质、三角形面积的计算等知识，熟练掌握等三角形的判定与性质是解题的关键．
【考点10 动点问题中的全等三角形应用】
【例10】（2019春•平川区期末）如图，已知△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝8cm，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由点B向C点运动，同时，点Q在线段CA上由点C向A点运动．
（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由．
（2）若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？
【分析】（1）经过1秒后，PB＝3cm，PC＝5cm，CQ＝3cm，由已知可得BD＝PC，BP＝CQ，∠ABC＝∠ACB，即据SAS可证得△BPD≌△CQP．
（2）可设点Q的运动速度为x（x≠3）cm/s，经过ts△BPD与△CQP全等，则可知PB＝3tcm，PC＝8﹣3tcm，CQ＝xtcm，据（1）同理可得当BD＝PC，BP＝CQ或BD＝CQ，BP＝PC时两三角形全等，求x的解即可．
【答案】解：（1）经过1秒后，PB＝3cm，PC＝5cm，CQ＝3cm，
∵△ABC中，AB＝AC，
∴在△BPD和△CQP中，
，
∴△BPD≌△CQP（SAS）．
（2）设点Q的运动速度为x（x≠3）cm/s，经过ts△BPD与△CQP全等；则可知PB＝3tcm，PC＝8﹣3tcm，CQ＝xtcm，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
根据全等三角形的判定定理SAS可知，有两种情况：①当BD＝PC，BP＝CQ时，②当BD＝CQ，BP＝PC时，两三角形全等；
①当BD＝PC且BP＝CQ时，8﹣3t＝5且3t＝xt，解得x＝3，∵x≠3，∴舍去此情况；
②BD＝CQ，BP＝PC时，5＝xt且3t＝8﹣3t，解得：x＝；
故若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为cm/s时，能够使△BPD与△CQP全等．
【点睛】本题主要考查了全等三角形全等的判定，涉及到等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．
【变式10-1】（2019春•永新县期末）△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，D、E分别是AB，AC上的不动点．且BD+CE＝BC，点P是BC上的一动点．
（1）当PC＝CE时（如图1），求∠DPE的度数；
（2）若PC＝BD时（如图2），求∠DPE的度数还会与（1）的结果相同吗？若相同，请写出求解过程；若不相同，请说明理由．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得到结论；
（2）根据全等三角形的判定和性质和三角形的内角和即可得到结论．
【答案】解：（1）∵AB＝AC，∠A＝40°，
∴∠B＝∠C＝70°，
∵CE＝PC，∠EPC＝（180°﹣70°）×＝55°，
又∵BD+CE＝BP+PC，PC＝CE，
∴BD＝PB，∠BPD＝55°，
∴∠DPE＝180°﹣∠BPD﹣∠EPC＝180°﹣55°﹣55°＝70°；
（2）相同，
理由：∵PC＝BC﹣BP，BD＝BC﹣CE，PC＝BD，
∴BP＝CE，
∴△BDP≌△CPE （SAS），
∴∠CPE＝∠BDP，
又∵∠BPD+∠CPE+∠DPE＝180°，∠BPD+∠BDP+∠B＝180°，
∴∠DPE＝∠B＝70°．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练正确全等三角形的判定和性质是解题的关键．
【变式10-2】（2019春•宝安区期中）如图，在四边形ABCD中，AD＝BC＝10，AB＝CD，BD＝14，点E从D点出发，以每秒2个单位的速度沿DA向点A匀速移动，点F从点C出发，以每秒5个单位的速度沿C→B→C，作匀速移动，点G从点B出发沿BD向点D匀速移动，三个点同时出发，当有一个点到达终点时，其余两点也随之停止运动，假设移动时间为t秒．
（1）试证明：AD∥BC；
（2）在移动过程中，小明发现有△DEG与△BFG全等的情况出现，请你探究这样的情况会出现几次？并分别求出此时的移动时间t和G点的移动距离．
【分析】（1）由SSS证得△ABD≌△CDB，得出∠ADB＝∠CBD，即可得出结论；
（2）设G点的移动距离为x，当△DEG与△BFG全等时，由∠EDG＝∠FBG，得出DE＝BF、DG＝BG或DE＝BG、DG＝BF，
①当点F由点C到点B，即0＜t≤2时，则：，或，解方程组即可得出结果；
②当点F由点B到点C，即2＜t≤4时，则，或，解方程组即可得出结果．
【答案】（1）证明：在△ABD和△CDB中，，
∴△ABD≌△CDB（SSS），
∴∠ADB＝∠CBD，
∴AD∥BC；
（2）解：设G点的移动距离为x，
当△DEG与△BFG全等时，
∵∠EDG＝∠FBG，
∴DE＝BF、DG＝BG或DE＝BG、DG＝BF，
①∵BC＝10，＝2，
∴当点F由点C到点B，即0＜t≤2时，
则：，
解得：，
或，
解得：（不合题意舍去）；
②当点F由点B到点C，即2＜t≤4时，
则，
解得：，
或，
解得：，
∴综上所述：△DEG与△BFG全等的情况会出现3次，此时的移动时间分别是秒、秒、秒，G点的移动距离分别是7、7、．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的判定、分类讨论、解方程组等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
【变式10-3】（2018秋•十堰期末）在△ABC中，AB＝AC，D是直线BC上一点，以AD为一条边在AD的右侧作△ADE，使AE＝AD，∠DAE＝∠BAC，连接CE．
（1）如图，当点D在BC延长线上移动时，若∠BAC＝25°，则∠DCE＝ ．
（2）设∠BAC＝α，∠DCE＝β．
①当点D在BC延长线上移动时，α与β之间有什么数量关系？请说明理由；
②当点D在直线BC上（不与B，C两点重合）移动时，α与β之间有什么数量关系？请直接写出你的结论．
【分析】（1）证△BAD≌△CAE，推出∠B＝∠ACE，根据三角形外角性质求出即可；
（2）①证△BAD≌△CAE，推出∠B＝∠ACE，根据三角形外角性质求出即可
②α+β＝180°或α＝β，根据三角形外角性质求出即可．
【答案】（1）解：∵∠DAE＝∠BAC，
∴∠DAE+∠CAD＝∠BAC+∠CAD，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△BAD和△CAE中
∵，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠B＝∠ACE，
∵∠ACD＝∠B+∠BAC＝∠ACE+∠DCE，
∴∠BAC＝∠DCE，
∵∠BAC＝25°，
∴∠DCE＝25°，
故答案为：25°；
（2）解：当点D在线段BC的延长线上移动时，α与β之间的数量关系是α＝β，理由是：
∵∠DAE＝∠BAC，
∴∠DAE+∠CAD＝∠BAC+∠CAD，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△BAD和△CAE中
∵，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠B＝∠ACE，
∵∠ACD＝∠B+∠BAC＝∠ACE+∠DCE，
∴∠BAC＝∠DCE，
∵∠BAC＝α，∠DCE＝β，
∴α＝β；
（3）解：当D在线段BC上时，α+β＝180°，当点D在线段BC延长线或反向延长线上时，α＝β．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的外角性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．