高中数学人教版新课标A选修2-22.1合情推理与演绎推理同步达标检测题

这是一份高中数学人教版新课标A选修2-22.1合情推理与演绎推理同步达标检测题，共12页。试卷主要包含了1　合情推理与演绎推理等内容，欢迎下载使用。

2.1.2综合拔高练
五年高考练
考点1 演绎推理在几何证明中的应用
1.(2020全国Ⅰ,19,12分,)如图,D为圆锥的顶点,O是圆锥底面的圆心,△ABC是底面的内接正三角形,P为DO上一点,∠APC=90°.
(1)证明:平面PAB⊥平面PAC;
(2)设DO=2,圆锥的侧面积为3π,求三棱锥P-ABC的体积.
2.(2020全国新高考,20,12分,)如图,四棱锥P-ABCD的底面为正方形,PD⊥底面ABCD.设平面PAD与平面PBC的交线为l.
(1)证明:l⊥平面PDC;
(2)已知PD=AD=1,Q为l上的点,求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值.
考点2 演绎推理在三角函数中的应用
3.(2020全国Ⅱ,17,12分,)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知cs2π2+A+cs A=54.
(1)求A;
(2)若b-c=33a,证明:△ABC是直角三角形.
4.(2020浙江,18,14分,)在锐角△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知2bsin A-3a=0.
(1)求角B的大小;
(2)求cs A+cs B+cs C的取值范围.
三年模拟练
1.()余弦函数是偶函数, f(x)=cs(2x2-3)是余弦函数,因此f(x)=cs(2x2-3)是偶函数,以上推理中( )
A.推理形式不正确 B.大前提不正确 C.小前提不正确 D.全不正确
2.(2019黑龙江大庆铁人中学高二期中,)下列推理属于演绎推理的为( )
A.由金、银、铜、铁可导电,猜想:金属都可导电
B.猜想数列11×2,12×3,13×4,…的通项公式为an=1n(n+1)(n∈N*)
C.半径为r的圆的面积S=πr2,则单位圆的面积S=π
D.由平面直角坐标系中圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,推测空间直角坐标系中球的方程为(x-a)2+(y-b)2+(z-c)2=r2
3.(2020辽宁沈阳高三上月考,)新高考的改革方案开始实施后,某地学生需要从化学、生物、政治、地理四门学科中选课,每名同学都要选择其中的两门课程.已知甲选了化学,乙与甲没有选相同的课程,丙与甲恰有一门课程相同,丁与丙也没有选相同的课程,则以下说法正确的是( )
A.丙没有选化学 B.丁没有选化学
C.乙、丁可以两门课程都相同 D.这四个人里恰有两个人选了化学
4.(2020山东青岛高三调研,)某地铁换乘站设有编号为m1,m2,m3,m4的四个安全出口,若同时开放其中的两个安全出口,疏散1 000名乘客所需的时间如下:
则疏散同样多的乘客最快的安全出口的编号是( )
A.m1B.m2C.m3D.m4
5.(2019吉林白城通榆一中高二月考,)若定义在区间D上的函数f(x),对于D内的任意n个值x1,x2,…,xn,总满足f(x1)+f(x2)+…+f(xn)n≤fx1+x2+…+xnn,则称f(x)为D上的凸函数.若已知f(x)=cs x在0,π2上是凸函数,则在锐角三角形ABC中,cs A+cs B+cs C的最大值是 .
6.(2019河南南阳中学高二月考,)“克拉茨猜想”又称“3n+1猜想”,是德国数学家洛萨·克拉茨在1950年世界数学家大会上公布的一个猜想:任给一个正整数n,如果n是偶数就将它减半,如果n为奇数就将它乘3加1,不断重复这样的运算,经过有限步后,最终都能够得到1.已知正整数m经过6次运算后得到1,则m的值为 .
7.(2020北京第五中学高二下学期第一次段考,)某校实行选科走班制度,小明同学选择的是物理、生物、政治这三科,且物理在A层班级,生物在B层班级,该校周一上午课程安排如下表所示,小明选择三个科目的课各上一节,另外一节上自习,则他不同的选课方法有 种.
8.()如图所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,E是A1C的中点,ED⊥A1C交AC于点D,A1A=AB=22BC.
(1)证明:B1C1∥平面A1BC;
(2)证明:A1C⊥平面EDB.
答案全解全析
五年高考练
1.解析 (1)证明:由题设可知,PA=PB=PC.
由于△ABC是正三角形,因此△PAC≌△PAB,△PAC≌△PBC.
又∠APC=90°,故∠APB=90°,∠BPC=90°.
从而PB⊥PA,PB⊥PC,故PB⊥平面PAC,
所以平面PAB⊥平面PAC.
(2)设圆锥的底面半径为r,母线长为l.
由题设可得rl=3,l2-r2=2.解得r=1,l=3.
从而AB=3.由(1)可得PA2+PB2=AB2,故PA=PB=PC=62.
所以三棱锥P-ABC的体积为13×12×PA×PB×PC=13×12×623=68.
2.解析 (1)证明:因为PD⊥底面ABCD,所以PD⊥AD.又底面ABCD为正方形,所以AD⊥DC.又PD∩DC=D,所以AD⊥平面PDC.
因为AD∥BC,AD⊄平面PBC,BC⊂平面PBC,所以AD∥平面PBC.
结合已知可得l∥AD,因此l⊥平面PDC.
(2)以D为坐标原点,DA的方向为x轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz.则D(0,0,0),C(0,1,0),B(1,1,0),P(0,0,1),DC=(0,1,0),PB=(1,1,-1).
由(1)可设Q(a,0,1),则DQ=(a,0,1).
设n=(x,y,z)是平面QCD的法向量,则n·DQ=0,n·DC=0,即ax+z=0,y=0.
可取n=(-1,0,a).
所以cs=n·PB|n|·|PB|=-1-a31+a2.
设PB与平面QCD所成角为θ,则sin θ=33×|a+1|1+a2=331+2aa2+1.
因为331+2aa2+1≤63,当且仅当a=1时等号成立,所以PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值为63.
3.解析 (1)由已知得sin2A+cs A=54,即cs2A-cs A+14=0.
所以csA-122=0,解得cs A=12.
由于0(2)证明:由正弦定理及已知条件可得sin B-sin C=33sin A.
由(1)知B+C=2π3,所以sin B-sin2π3-B=33sinπ3.
即12sin B-32cs B=12,即sinB-π3=12.
由于04.解析 (1)由正弦定理及已知得2sin Bsin A=3sin A,
故sin B=32,由题意得B=π3.
(2)由A+B+C=π及(1)得C=2π3-A,
由△ABC是锐角三角形得A∈π6,π2.
由cs C=cs2π3-A=-12cs A+32sin A得cs A+cs B+cs C=32sin A+12cs A+12=sinA+π6+12∈3+12,32.故cs A+cs B+cs C的取值范围是3+12,32.
三年模拟练
1.C f(x)=cs x叫余弦函数,函数f(x)=cs(2x2-3)是由余弦函数和一个二次函数复合而成的,故小前提不正确.
故选C.
2.C 对于A,由金、银、铜、铁可导电,猜想:金属都可导电,属于归纳推理;
对于B,猜想数列11×2,12×3,13×4,…的通项公式为an=1n(n+1)(n∈N*),属于归纳推理;
对于C,半径为r的圆的面积S=πr2,则单位圆的面积S=π,属于演绎推理;
对于D,由平面直角坐标系中圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,推测空间直角坐标系中球的方程为(x-a)2+(y-b)2+(z-c)2=r2,属于类比推理.
故选C.
3.D ∵甲选择了化学,乙与甲没有选相同的课程,∴乙必定没选化学.
丙与甲恰有一门课程相同,故假设丙选择了化学,而丁与丙没有选相同的课程,则丁一定没选化学;
若丙没选化学,∵丁与丙没有选相同的课程,∴丁必定选择了化学.
综上,必定有甲、丙或甲、丁选择了化学,故可判断A,B不正确,D正确.
假设乙、丁可以两门课程都相同,由上面分析可知,乙、丁都没有选择化学,只能从其他三科中选两科.不妨假设选的是生物、政治,则甲选的是化学和地理,而丙和甲共同选择了化学,另一门课丙只能从生物、政治中选一科,这样与“丁与丙也没有选相同的课程”矛盾,故假设不成立,因此C不正确.
4.B 同时开放m1,m2两个安全出口,疏散1 000名乘客所需的时间为120 s,同时开放m2,m3两个安全出口,疏散1 000名乘客所需的时间为140 s,所以m1疏散乘客比m3疏散乘客快;
同时开放m3,m4两个安全出口,疏散1 000名乘客所需的时间为190 s,同时开放m1,m3两个安全出口,疏散1 000名乘客所需的时间为160 s,所以m1疏散乘客比m4疏散乘客快;
同时开放m2,m3两个安全出口,疏散1 000名乘客所需的时间为140 s,同时开放m1,m3两个安全出口,疏散1 000名乘客所需的时间为160 s,所以m2疏散乘客比m1疏散乘客快.
综上,疏散同样多的乘客最快的安全出口的编号是m2.
5.答案 32
解析 利用已知条件,可得cs A+cs B+cs C≤3csA+B+C3=3csπ3=32.
6.答案 10或64
解析 如果正整数m按照题中规则经过6次运算得到1,
那么经过5次运算后得到的一定是2;
经过4次运算后得到的一定是4;
经过3次运算后得到的是8或1(不符合题意,舍去);
经过2次运算后得到的是16;
经过1次运算后得到的是5或32;
所以开始时的数为10或64.
所以正整数m的值为10或64.
7.答案 10
解析 小明同学不同的选课方法如下:
(1)生物B层1班,政治1班,物理A层2班;
(2)生物B层1班,政治1班,物理A层4班;
(3)生物B层1班,政治2班,物理A层1班;
(4)生物B层1班,政治2班,物理A层4班;
(5)生物B层1班,政治3班,物理A层1班;
(6)生物B层1班,政治3班,物理A层2班;
(7)生物B层2班,政治1班,物理A层3班;
(8)生物B层2班,政治1班,物理A层4班;
(9)生物B层2班,政治3班,物理A层1班;
(10)生物B层2班,政治3班,物理A层3班.
共10种.
8.证明 (1)因为在直三棱柱ABC-A1B1C1中,B1C1∥BC,又BC⊂平面A1BC,且B1C1⊄平面A1BC,所以B1C1∥平面A1BC.
(2)因为在直三棱柱ABC-A1B1C1中,A1A⊥AB,又AA1=AB,所以△A1AB为等腰直角三角形,故AB=22A1B,所以BC=A1B,故△A1BC是等腰三角形,又因为E是△A1BC的底边A1C的中点,所以A1C⊥BE,又A1C⊥ED,且ED∩BE=E,所以A1C⊥平面EDB.
安全出口编号
m1,m2
m2,m3
m3,m4
m1,m3
疏散乘客时间(s)
120
140
190
160
第一节
第二节
第三节
第四节
地理B层2班
化学A层3班
地理A层1班
化学A层4班
生物A层1班
化学B层2班
生物B层2班
历史B层1班
物理A层1班
生物A层3班
物理A层2班
生物A层4班
物理B层2班
生物B层1班
物理B层1班
物理A层4班
政治1班
物理A层3班
政治2班
政治3班