高中数学人教版新课标A选修2-22.1合情推理与演绎推理巩固练习

第二章　推理与证明

2.1　合情推理与演绎推理

2.1.1　合情推理

基础过关练

题组一　归纳推理

1.(2019安徽六安二中高二期末)将正整数1,2,3,4,…,按如图所示的方式排成三角形数组,则第20行最后一项为(　　)

A.397 B.398 C.399 D.400

2.(2019甘肃武威第五中学高二月考)观察下列各式:55=3 125,56=15 625,57=78 125,58=390 625,59=1 953 125,……,则52 021的末四位数字为(　　)

A.3 125 B.5 625

C.0 625 D.8 125

3.已知x>0,不等式x+≥2,x+≥3,x+≥4,……,可推广为x+≥n+1,则a的值为(　　)

A.n2 B.2n C.22n-2 D.nn

4.(2019江西宜春九中高二期中)数列1,,,,…,猜想数列的通项公式an=　　　　. 

5.观察下列等式:13+23=32,13+23+33=62,13+23+33+43=102,……,根据上述规律计算13+23+33+43+53+63.

6.在数列{an}中,a1=,Sn=n(2n-1)an,通过求a2,a3,a4,猜想an的表达式.

题组二　类比推理

7.(2019福建福州第一中学高二期中)在△ABC中,若AC⊥BC,AC=b,BC=a,则△ABC的外接圆半径r=.将此结论拓展到空间,可得出的正确结论是在四面体S-ABC中,若SA、SB、SC两两互相垂直,SA=a,SB=b,SC=c,则四面体S-ABC外接球的半径R=(　　)

A.      B.

C.  D.

8.如图(1),有面积关系:=,则图(2)有体积关系:=　　　　　　　　. 

9.(2019山西原平范亭中学高二月考)在平面几何中,研究三角形内任意一点与三边的关系时,有真命题:边长为a的正三角形内任意一点到各边的距离之和是定值a.类比上述命题,请写出关于正四面体内任意一点与四个面的关系的一个真命题,并给出证明.

能力提升练

一、选择题

1.(2019东北育才学校高二期中,★★☆)已知1=12,2+3+4=32,3+4+5+6+7=52,……,依此规律可以得到的第n个式子为(　　)

A.n+(n+1)+(n+2)+…+2n=(n-1)2

B.n+(n+1)+(n+2)+…+3n=(n-1)2

C.n+(n+1)+(n+2)+…+(2n+2)=(2n-1)2

D.n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-2)=(2n-1)2

2.(2019北京大学附属中学高二期中,★★☆)

现有一个关于平面图形的命题:如图所示,同一平面内有两个边长都是a的正方形,其中一个正方形的某顶点与另一个正方形的中心重合,则这两个正方形重叠部分的面积恒为.类比到空间中,有两个棱长均为a的正方体,其中一个正方体的某顶点与另一个正方体的中心重合,则这两个正方体重叠部分的体积恒为(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

A. B. C. D.

3.(2019内蒙古呼和浩特开来中学高二期中,★★☆)三角形ABC的面积为S=(a+b+c)r,其中a,b,c为三角形的三边长,r为三角形内切圆的半径,利用类比推理,可以得出四面体D-ABC的体积为(　　)

A.V=abc(a,b,c分别为棱BC,AC,AB的长)

B.V=Sh(S为面ABC的面积,h为四面体的高)

C.V=(ab+bc+ac)·h(a,b,c分别为棱BC、AC、AB的长,h为四面体的高)

D.V=(S1+S2+S3+S4)·r(S1,S2,S3,S4分别为四面体四个面的面积,r为四面体内切球的半径)

4.(2019甘肃武威第五中学高二月考,★★☆)如图所示,图①、图②、图③、图④分别包含1、5、13、25个互不重叠的单位正方形,按同样的方式构造图形,则第n个图形包含的单位正方形的个数是(　　)

A.n2-2n+1 B.2n2+2

C.2n2-2n+1 D.2n2-n+1

二、填空题

5.(2018黑龙江大庆一中期末,★★☆)类比平面几何中的勾股定理:若直角三角形ABC中的两边AB,AC互相垂直,则三角形三边长之间满足关系式AB2+AC2=BC2.若三棱锥A-BCD(如图)的三个侧面ABC,ACD,ADB两两互相垂直,则三棱锥的三个侧面积S1,S2,S3与底面BCD的面积S之间满足的关系式为　　　　　　. 

三、解答题

6.(★★★)已知圆C:x2+y2=r2有以下性质:

①过圆C上一点M(x0,y0)的圆的切线方程是x0x+y0y=r2;

②若不在坐标轴上的点M(x0,y0)为圆C外一点,过M作圆C的两条切线,切点分别为A,B,则OM垂直于AB,若直线OM与AB的斜率分别为kOM,kAB,则kAB·kOM=-1.

(1)类比上述有关结论,猜想:过椭圆C':+=1(a>b>0)上一点M(x0,y0)的切线方程(不要求证明);

(2)若过椭圆C':+=1外一点M(x0,y0)(M不在坐标轴上)作两条直线,与椭圆分别相切于A,B两点,求证:kAB·kOM为定值.

答案全解全析

基础过关练

1.D　由三角形数组可推断出,第n行共有(2n-1)项,且最后一项为n2,则第20行最后一项为400.故选D.

2.A　由题中式子可知5n(n≥5,n∈N*)具有如下规律:

54k+1(k∈N*)的末四位数字为3 125;

54k+2(k∈N*)的末四位数字为5 625;

54k+3(k∈N*)的末四位数字为8 125;

54k+4(k∈N*)的末四位数字为0 625.

观察可得,5n(n≥5,n∈N*)的末四位数字以4为周期循环,

又2 021=4×505+1,所以52 021的末四位数字为3 125.

3.D　由题意知,第一个式子:n=1,x+≥2,其中的a=1;

第二个式子:n=2,x+≥3,其中a=4=22;

第三个式子:n=3,x+≥4,其中a=27=33,

归纳可知,第n个式子:x+≥n+1,其中a=nn.

故选D.

4.答案　(n∈N*)

解析　∵数列1,,,,…,即,,,,…,

∴猜想数列的通项公式为an=(n∈N*).

5.解析　由所给等式左边的底数依次为1,2;1,2,3;1,2,3,4,右边的底数依次为3,6,10,可知:第五个等式左边的底数为1,2,3,4,5,6,右边的底数为1+2+3+4+5+6=21.又等式的左边为立方和,右边为平方的形式,所以13+23+33+43+53+63=212.

6.解析　由a1=,Sn=n(2n-1)an,得a2=,a3=,a4=,…….

观察a1,a2,a3,a4发现,分子都是1,分母是两个连续奇数的积,猜想an=(n∈N*).

7.A　四面体S-ABC中,三条棱SA、SB、SC两两互相垂直,则可以把该四面体补成长方体,

因为SA、SB、SC是同一个顶点处的三条棱,

所以该四面体外接球的直径就是长方体的体对角线,则该四面体外接球的半径R=.

8.答案　

9.解析　类比边长为a的正三角形内任意一点到各边的距离之和是定值a,得到正四面体内任意一点与四个面的关系的一个真命题:棱长为a的正四面体内任意一点到各个面的距离之和是定值a.

证明如下:设O为正四面体A-BCD内任意一点,正四面体的棱长为a,O到面ABC,面BCD,面ACD,面ABD的距离分别为d1,d2,d3,d4,由于正四面体四个面的面积相等,则有

VA-BCD=VO-ABC+VO-BCD+VO-ACD+VO-ABD=·S△ABC·(d1+d2+d3+d4),

由于S△ABC=a2,VA-BCD=a3,

所以d1+d2+d3+d4=a,

所以棱长为a的正四面体内任意一点到各个面的距离之和是定值a.

能力提升练

一、选择题

1.D　观察题中等式:

1=(2×1-1)2,

2+3+4=(2×2-1)2,

3+4+5+6+7=(2×3-1)2,

……

则第n个等式左侧第一项为n,且共有(2n-1)项,

则最后一项为n+(2n-1)-1=3n-2,

据此可得第n个式子为n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-2)=(2n-1)2.

2.C　同一平面内有两个边长都是a的正方形,其中一个正方形的某顶点与另一个正方形的中心重合,则这两个正方形重叠的部分的面积恒为.

类比到空间中,有两个棱长均为a的正方体,其中一个正方体的某顶点与另一个正方体的中心重合,则这两个正方体的重叠部分的体积为.故选C.

3.D　设四面体的内切球的球心为O,半径为r,则球心O到四个面的距离都是r,

根据三角形的面积的求解方法,即分割法,将O与四个顶点连起来,

可得四面体的体积等于以O为顶点,分别以四个面为底面的四个三棱锥的体积之和,

即V=(S1+S2+S3+S4)·r(S1,S2,S3,S4分别为四面体四个面的面积).故选D.

4.C　设第n个图形包含an个互不重叠的单位正方形,

因为题中图①、图②、图③、图④分别包含1、5、13、25个互不重叠的单位正方形,

所以a1=1,a2=5=1+4=1+4×1,a3=13=1+4+8=1+4×(1+2),a4=25=1+4+8+12=1+4×(1+2+3),由此类推,可得an=1+4[1+2+3+…+(n-1)]=1+4×=2n2-2n+1.

经检验满足条件.

二、填空题

5.答案　++=S2

解析　由边对应面,边长对应面积,

类比可得++=S2.

三、解答题

6.解析　(1)过椭圆C':+=1(a>b>0)上一点M(x0,y0)的切线方程是+=1.

(2)证明:设A(x1,y1),B(x2,y2),

由(1)得过椭圆上的点A(x1,y1)的切线l1的方程是+=1(a>b>0),

∵直线l1过点M(x0,y0),

∴+=1,

同理,+=1,

又过A,B的直线是唯一的,

∴直线AB的方程是+=1(a>b>0),

∴kAB=-.

又kOM=,

∴kAB·kOM=-·=-,为定值.