高中数学1.2导数的计算随堂练习题

这是一份高中数学1.2导数的计算随堂练习题，共13页。

考点 导数的运算法则及应用
1.(2020全国Ⅰ理,6,5分,)函数f(x)=x4-2x3的图象在点(1, f(1))处的切线方程为( )
A.y=-2x-1B.y=-2x+1
C.y=2x-3D.y=2x+1
2.(2020全国Ⅲ理,10,5分,)若直线l与曲线y=x和圆x2+y2=15都相切,则l的方程为( )
A.y=2x+1B.y=2x+12
C.y=12x+1D.y=12x+12
3.(2019课标全国Ⅲ,6,5分,)已知曲线y=aex+xln x在点(1,ae)处的切线方程为y=2x+b,则( )
A.a=e,b=-1B.a=e,b=1
C.a=e-1,b=1D.a=e-1,b=-1
4.(2019课标全国Ⅱ,10,5分,)曲线y=2sin x+cs x在点(π,-1)处的切线方程为( )
A.x-y-π-1=0B.2x-y-2π-1=0
C.2x+y-2π+1=0D.x+y-π+1=0
5.(2018课标全国Ⅰ,5,5分,)设函数f(x)=x3+(a-1)x2+ax,若f(x)为奇函数,则曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为( )
A.y=-2xB.y=-xC.y=2xD.y=x
6.(2020北京,15,5分,)为满足人民对美好生活的向往,环保部门要求相关企业加强污水治理,排放未达标的企业要限期整改.设企业的污水排放量W与时间t的关系为W=f(t),用-f(b)-f(a)b-a的大小评价在[a,b]这段时间内企业污水治理能力的强弱.已知整改期内,甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如图所示.
给出下列四个结论:
①在[t1,t2]这段时间内,甲企业的污水治理能力比乙企业强;
②在t2时刻,甲企业的污水治理能力比乙企业强;
③在t3时刻,甲、乙两企业的污水排放都已达标;
④甲企业在[0,t1],[t1,t2],[t2,t3]这三段时间中,在[0,t1]的污水治理能力最强.
其中所有正确结论的序号是 .
7.(2019课标全国 Ⅰ,13,5分,)曲线y=3(x2+x)ex在点(0,0)处的切线方程为 .
8.(2019江苏,11,5分,)在平面直角坐标系xOy中,点A在曲线y=ln x上,且该曲线在点A处的切线经过点(-e,-1)(e为自然对数的底数),则点A的坐标是 .
9.(2016课标全国Ⅲ文,16,5分,)已知f(x)为偶函数,当x≤0时, f(x)=e-x-1-x,则曲线y=f(x)在点(1,2)处的切线方程是 .
10.(2016课标全国Ⅱ,16,5分,)若直线y=kx+b是曲线y=ln x+2的切线,也是曲线y=ln(x+1)的切线,则b= .
三年模拟练

1.(2020陕西咸阳高二上学期期末,)已知函数f(x)=-asin x,且limΔx→0f(π+Δx)-f(π)Δx=2,则实数a的值为( )
A.2πB.-2πC.2D.-2
2.(2020四川雅安高二下学期期末,)设曲线y=x+1x-1在点(3,2)处的切线与直线ax+y+1=0垂直,则a=( )
A.2B.12C.-12D.-2
3.(2020河北石家庄辛集中学高三模拟,)已知曲线f(x)=23x3在点(1,f(1))处的切线的倾斜角为α,则sin2α-cs2α2sinαcsα+cs2α=( )
A.12B.35C.2D.-38
4.(2021四川南充阆中中学高三模拟,)若曲线y=f(x)=ex在x=0处的切线也是曲线y=ln x+b的切线,则b=( )
A.-1B.1 C.2D.e
5.(2020甘肃庆阳镇原中学高二下学期期中,)设球的半径为时间t的函数R(t).若球的体积以均匀速度c增长,则球的表面积的增长速度与球半径( )
A.成正比,比例系数为c
B.成正比,比例系数为2c
C.成反比,比例系数为c
D.成反比,比例系数为2c
6.(2020安徽定远重点中学高三模拟,)已知曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y=2x-1,则曲线g(x)=x2+f(x)在点(2,g(2))处的切线方程为 .
7.(2020山东潍坊高二下学期期中,)已知过点A(a,0)作曲线C:y=x·ex的切线有且仅有两条,则实数a的取值范围是 .
8.(2020河北邯郸高三第二次模拟,)曲线y=f(x)=xnex在x=1处的切线与坐标轴围成的三角形面积为2e3,则n= .
9.()对于三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a,b,c,d∈R,a≠0)有如下定义:设f'(x)是函数f(x)的导函数, f″(x)是函数f'(x)的导函数,若方程f″(x)=0有实数解m,则称点(m, f(m)) 为函数y=f(x)的“拐点”.若点(1,-3)是函数g(x)=x3-ax2+bx-5(a,b∈R)的“拐点”,也是函数g(x)图象上的点,则函数h(x)=13asin x+12bcs2x的最大值是 .
10.(2020重庆八中高二期末,)已知函数f(x)=ex-x+1(x∈R),e为自然对数的底数.
(1)求函数f(x)的图象在点(1, f(1))处的切线l的方程;
(2)若切线l与x轴和y轴分别交于A、B两点,点O为坐标原点,求△AOB的面积.
11.()已知在曲线f(x)=13x3-2x2+ax(a∈R)的所有切线中,有且仅有一条切线l与直线y=x垂直.
(1)求a的值和切线l的方程;
(2)设曲线y=f(x)上任意一点处的切线的倾斜角为α,求α的取值范围.
12.()函数y=f(x)图象上不同两点A(x1,y1),B(x2,y2)处的切线的斜率分别是kA,kB,规定φ(A,B)=|kA-kB||AB|2叫做曲线y=f(x)在点A、B之间的“平方弯曲度”.设曲线y=ex+x上不同两点A(x1,y1),B(x2,y2),且x1-x2=1,求φ(A,B)的取值范围.
13.(2021河北石家庄高三上学期教学质量检测,)原子有稳定和不稳定两种.不稳定的原子除天然元素外,主要由核裂变或核聚变过程中产生碎片形成,这些不稳定的元素在放出α、β、γ等射线后,会转变成稳定的原子,这种过程称为“衰变”.这种不稳定的元素就称为放射性同位素.随着科学技术的发展,放射性同位素技术已经广泛应用于医学、航天等众多领域,并取得了显著经济效益.假设在放射性同位素钍234的衰变过程中,其含量N(单位:贝克)与时间t(单位:天)满足函数关系N(t)=N02-t24,其中N0为t=0时钍234的含量.已知t=24时,钍234含量的瞬时变化率为-8ln 2,则N(120)= .
答案全解全析
1.2综合拔高练
五年高考练
1.B f '(x)=4x3-6x2,则 f '(1)=-2,易知f(1)=-1,由点斜式可得函数f(x)的图象在(1,f(1))处的切线方程为y-(-1)=-2(x-1),即y=-2x+1.故选B.
2.D 解法一(直接计算法):由题可知直线l的斜率存在且不为0,设直线l为y=kx+m,直线l与曲线y=x的切点为A(x0,y0).由导数的几何意义可知12x0=k,即x0=12k,点A既在直线l上,又在曲线y=x上,∴y0=kx0+m,y0=x0,∴kx0+m=x0,即k·12k2+m=12k,化简可得m=14k.又∵直线l与圆x2+y2=15相切,∴|m|1+k2=55,将m=14k代入上式,化简得16k4+16k2-5=0,解得k2=14或k2=-54(舍去).∵y=x的图象在第一象限,∴k>0,∴k=12,∴m=12,∴l的方程为y=12x+12.故选D.
解法二(选项分析法):由选项知直线l的斜率为2或12,不妨假设为2,设直线l与曲线y=x的切点为P(x0,y0),则12x0-12=2,解得x0=116,则y0=14,即P116,14,显然点P在圆x2+y2=15内,不符合题意,∴直线l的斜率为12,又直线l与圆x2+y2=15相切,∴只有D项符合题意,故选D.
3.D ∵y'=aex+ln x+1,∴y'x=1=ae+1,
∴2=ae+1,∴a=e-1.∴切点为(1,1),
将(1,1)代入y=2x+b,得1=2+b,
∴b=-1,故选D.
4.C 由题意可知y'=2cs x-sin x,则y'x=π=-2,所以曲线y=2sin x+cs x在点(π,-1)处的切线方程为y+1=-2(x-π),即2x+y+1-2π=0,故选C.
5.D ∵f(x)为奇函数,∴f(-x)=-f(x),即a-1=0,解得a=1,∴f(x)=x3+x,∴f'(x)=3x2+1,
∴f'(0)=1,故曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为y=x,故选D.
6.答案 ①②③
解析 设y=- f(b)-f(a)b-a,由已知条件可得甲、乙两个企业在[t1,t2]这段时间内污水治理能力强弱的数值计算式为- f(t2)-f(t1)t2-t1,由题图易知y甲>y乙,即甲企业的污水治理能力比乙企业强,所以①对;
由题意知在某一时刻企业污水治理能力的强弱由这一时刻的切线的斜率的绝对值表示,所以②对;
在t3时刻,由题图可知甲、乙两企业的污水排放量都在污水达标排放量以下,所以③对;
由计算式- f(b)-f(a)b-a可知,甲企业在[0,t1]这段时间内污水治理能力最弱,所以④错.
7.答案 y=3x
解析 ∵y'=3(x2+3x+1)ex,∴曲线在点(0,0)处的切线的斜率k=y'x=0=3,∴曲线在点(0,0)处的切线方程为y=3x.
8.答案 (e,1)
解析 设A(x0,y0),由y'=1x,得该点处的切线的斜率k=1x0,
∴在点A处的切线方程为y-ln x0=1x0(x-x0).
∵切线经过点(-e,-1),∴-1-ln x0=1x0(-e-x0),∴ln x0=ex0,
易知曲线y=ln x和y=ex在(0,+∞)上只有一个交点(e,1),∴ln x=ex有唯一解x=e.∴x0=e.
∴点A的坐标为(e,1).
答案 y=2x
解析 当x>0时,-x<0,则f(-x)=ex-1+x.因为f(x)为偶函数,所以f(x)=f(-x)=ex-1+x,所以f'(x)=ex-1+1(x>0),则点(1,2)处的切线的斜率为f'(1)=2,所以切线方程为y-2=2(x-1),即y=2x.
10.答案 1-ln 2
解析 对y=ln x+2求导得y'=1x,对y=ln(x+1)求导得y'=1x+1,设直线y=kx+b与曲线y=ln x+2相切于点P1(x1,y1),与曲线y=ln(x+1)相切于点P2(x2,y2),
则y1=ln x1+2,y2=ln(x2+1),
由点P1(x1,y1)在切线上,得y-(ln x1+2)=1x1(x-x1),由点P2(x2,y2)在切线上,得y-ln(x2+1)=1x2+1(x-x2),这两条直线表示同一条直线,所以1x1=1x2+1,ln(x2+1)=1+lnx1+x2x2+1,
解得x1=12,所以k=1x1=2,
所以b=ln 12+2-1=1-ln 2.
三年模拟练
1.C limΔx→0f(π+Δx)-f(π)Δx=2,即f'(π)=2,因为f(x)=-asin x,所以f'(x)=-acs x,
则f'(π)=-acs π=2,所以a=2.
2.D y'=x-1-(x+1)(x-1)2=-2(x-1)2,y' x=3=- 2(3-1)2=-12,直线ax+y+1=0的斜率为-a.由题意可得-a×-12=-1,所以a=-2.
3.B 易得f'(x)=2x2,所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率k=2,即tan α=2,
所以sin2α-cs2α2sinαcsα+cs2α=tan2α-12tanα+1=35.
4.C 对于函数y=ex,y'=ex,则y'x=0=e0=1,又f(0)=e0=1,所以曲线y=ex在x=0处的切线方程为y-1=x,即y=x+1,设直线y=x+1与曲线y=ln x+b相切于点P(t,ln t+b),
对于函数y=ln x+b,其导数为y'=1x,由导数的几何意义可得1t=1,所以t=1,
所以P(1,b),代入切线方程得b=1+1=2.
5.D 由题意可知球的体积为V(t)=43πR3(t),
则c=V'(t)=4πR2(t)R'(t),由此可得cR(t)R'(t)=4πR(t),
而球的表面积S(t)=4πR2(t),
所以S'(t)=[4πR2(t)]'=8πR(t)R'(t)=2cR(t)R'(t)R'(t)=2cR(t).故选D.
6.答案 6x-y-5=0
解析 由题意知,f(2)=2×2-1=3,∴g(2)=4+3=7.
∵g'(x)=2x+f'(x),f'(2)=2,
∴g'(2)=2×2+2=6,
∴曲线g(x)=x2+f(x)在点(2,g(2))处的切线方程为y-7=6(x-2),即6x-y-5=0.
7.答案 (-∞,-4)∪(0,+∞)
解析 设切点为(x0,y0),
则切线的斜率k=(x0+1)ex0.
切线方程为y-y0=(x0+1)ex0·(x-x0),
将点A(a,0)代入切线方程得-y0=(x0+1)·ex0(a-x0),又y0=x0·ex0.
所以(x0+1)ex0·(a-x0)=-x0·ex0,
整理得x02-ax0-a=0,
则Δ=a2+4a>0,解得a<-4或a>0.
8.答案 2或-23
解析 由已知得f(1)=e,f'(x)=(xn+nxn-1)ex,
所以f' (1)=(n+1)e,
所以切线方程为y-e=(n+1)e(x-1).
令x=0得y=-ne;令y=0得x=nn+1,
所以切线与坐标轴围成的三角形面积S=12×-n2en+1=2e3,解得n=2或-23.
9.答案 178
解析 由题可得,g'(x)=3x2-2ax+b,g″(x)=6x-2a,因为点(1,-3)为g(x)的拐点,所以g″(1)=0,解得a=3,
由g(1)=-3,得b=4,
所以h(x)=sin x+2cs2x=sin x-2sin2x+2,令sin x=t,则t∈[-1,1],
即求y=-2t2+t+2,t∈[-1,1]时的最大值,由二次函数的图象开口向下及对称轴为直线t=14可知,当t=14时,y有最大值178.
故函数h(x)的最大值为178.
10.解析 (1)因为f(x)=ex-x+1(x∈R),
所以f'(x)=ex-1, f(1)=e, f'(1)=e-1,
所以函数f(x)的图象在点(1, f(1))处的切线l的方程为y=(e-1)(x-1)+e,
即l的方程为(e-1)x-y+1=0.
(2)由直线l:y=(e-1)(x-1)+e与x轴和y轴分别交于A、B两点,
可得A11-e,0,B(0,1),
所以Rt△AOB的面积S=12|OA|·|OB|=12(e-1).
11.解析 (1)f'(x)=x2-4x+a,
由题意知,方程x2-4x+a=-1有两个相等的实数根,
∴Δ=(-4)2-4(a+1)=0,∴a=3,
此时方程x2-4x+a=-1化为x2-4x+4=0,解得x=2(二重根),
∴切点的纵坐标为f(2)=23,
∴切线l的方程为y-23=-(x-2),
即3x+3y-8=0.
(2)设曲线y=f(x)上任意一点(x,y)处的切线的斜率为k(由题意知k存在),
则由(1)知k=x2-4x+3=(x-2)2-1≥-1,即tan α≥-1,
∴α的取值范围为0≤α<π2或3π4≤α<π.
12.解析 因为y'=ex+1,所以kA=ex1+1,kB=ex2+1,所以|kA-kB|=|ex1-ex2|,
|AB|=(x1-x2)2+(ex1-ex2+x1-x2)2,又因为x1-x2=1,所以x1>x2,ex1>ex2>0,所以|AB|=1+(ex1-ex2+1)2,故φ(A,B)=|kA-kB||AB|2=|ex1-ex2|[1+(ex1-ex2+1)2]2>0,令u=|ex1-ex2|=ex1-ex2,u>0,则φ(A,B)=uu2+2u+2=1u+2u+2,因为u+2u≥22,当且仅当u=2时等号成立,所以φ(A,B)=1u+2u+2≤122+2=2-12,故φ(A,B)的取值范围为0,2-12.
13.答案 12
解析 N'(t)=- ln224·2-t24·N0,
所以N'(24)=-ln224·12·N0=-8ln 2,解得N0=384,
所以N(t)=N02-t24=384·2-t24 ,
所以N(120)=384×2-12024=12.