数学选择性必修第一册第2章 圆与方程本章综合与测试习题

这是一份数学选择性必修第一册第2章 圆与方程本章综合与测试习题，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

章末综合测评(二)　圆与方程
(满分：150分　时间：120分钟)
一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．圆(x＋2) 2＋y2＝5关于原点(0，0)对称的圆的方程为(　　)
A．x2＋(y－2) 2＝5 B．(x－2)2＋y2＝5
C．x2＋(y＋2) 2＝5 D．(x－1)2＋y2＝5
B　[因为所求圆的圆心与圆(x＋2)2＋y2＝5的圆心(－2，0)关于原点(0，0)对称，
所以所求圆的圆心为(2，0)，半径为，故所求圆的方程为(x－2) 2＋y2＝5．]
2．已知直线x＋y＋4＝0与圆心为的圆C相切，则圆C的方程为(　　)
A．(x－2)2＋y2＝3 B．(x－2)2＋y2＝9
C．(x＋2)2＋y2＝3 D．(x＋2)2＋y2＝9
B　[由于直线x＋y＋4＝0与圆C相切，则圆C的半径r＝＝3，
因此，圆C的方程为(x－2)2＋y2＝9．]
3．若过点(1，2)总可以作两条直线与圆x2＋y2＋kx＋2y＋k2－15＝0相切，则实数k的取值范围是(　　)
A．k>2 B．－3 C．k<－3或k>2 D．以上都不对
C　[由题意知点在圆外，
故12＋22＋k＋2×2＋k2－15>0，
解得k<－3或k>2．]
4．已知点P和圆C：x2＋y2＝4，则过点P且与圆C相切的直线方程是(　　)
A．x－y＝4 B．x＋y＝4
C．x－y＝4 D．x＋y＝4
B　[可知P在圆上，则kPC＝，则切线的斜率为－，所以切线方程为y－1＝－，即x＋y＝4．]
5．圆(x－3)2＋(y－3)2＝9上到直线3x＋4y－11＝0的距离等于2的点有(　　)
A．1个　　B．2个　　C．3个　　D．4个
B　[圆心(3，3)到直线3x＋4y－11＝0的距离d＝＝2，而圆的半径为3，故符合题意的点有2个．]
6．过点(1，0)且倾斜角为30°的直线被圆(x－2)2＋y2＝1所截得的弦长为(　　)
A．　　B．1　　C．　　D．2
C　[由题意得，直线方程为y＝(x－1)，
即x－y－1＝0．
圆心(2，0)到直线的距离为d＝＝，
故所求弦长为l＝2＝2＝．故选C．]
7．若方程x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0所表示的圆取得最大面积，则直线y＝(k－1)x＋2的倾斜角α等于(　　)
A．45°　　B．135°　　C．60°　　D．120°
B　[将圆x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0化成标准方程，得＋(y＋1)2＝1－，∴r2＝1－，当圆取得最大面积时，k＝0，半径r＝1，因此直线y＝(k－1)x＋2，即y＝－x＋2． 得直线的倾斜角α满足tan α＝－1，∴α＝135°．]
8．若P是直线l：3x＋4y－9＝0上一动点，过P作圆C：x2＋y2＋4x＝0的两条切线，切点分别为A，B，则四边形PACB面积的最小值为(　　)
A．　　B．2　　C．　　D．2
B　[圆C：(x＋2)2＋y2＝4，圆心为(－2，0)半径AC＝r＝2，画出图象，如图所示．

因为直线与圆相切，所以∠PAC＝∠PBC＝90°，且△PAC≌△PBC，
所以四边形PACB面积S＝2S△PAC＝2××AC×PA＝2PA，
又PA＝＝，
所以当PC最小时，PA最小，四边形PACB面积的最小值，
由图象可得，PC最小值即为点C到直线3x＋4y－9＝0的距离，
所以|PC|min＝＝3，所以|PA|min＝＝，
所以四边形PACB面积的最小值S＝2PA＝2，故选B．]
二、选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)
9．已知圆M：(x－cos α)2＋(y＋sin α)2＝1，直线l：y＝kx，以下结论成立的是(　　)
A．存在实数k与α，直线l和圆M相离
B．对任意实数k与α，直线l和圆M有公共点
C．对任意实数k，必存在实数α，使得直线l和圆M相切
D．对任意实数α，必存在实数k，使得直线l和圆M相切
BC　[对于A选项，圆心坐标为M(cos α，－sin α)，半径R＝1，则圆心到直线kx－y＝0的距离d＝＝＝|sin(α＋θ)|≤1，(θ是参数)，即d≤R，即直线l和圆M相交或相切，故A错误；
对于B选项，∵直线l和圆M相交或相切，∴对任意实数k与α，直线l和圆M有公共点，故B正确；
对于C选项，对任意实数k，当|sin(α＋θ)|＝1时，直线l和圆M相切，故C正确，
对于D选项，取α＝0，则圆M的方程为：(x－1)2＋y2＝1，此时y轴为圆的经过原点的切线，但是不存在k，不正确，故D错误．]
10．若圆C：x2＋y2－4x－4y－10＝0上至少有三个不同的点到直线l：x－y＋c＝0的距离为2，则c的取值可能是(　　)
A．－2　　B．0　　C．1　　D．3
ABC　[圆方程为(x－2)2＋(y－2)2＝18，圆心为(2，2)，半径为3，要使条件成立，设圆心到直线的距离为d，只需要d＝≤3－2，即－2≤c≤2，所以ABC均符合条件．]
11．若实数x、y满足条件x2＋y2＝1，则下列判断正确的是(　　)
A．x＋y的范围是[(0，]
B．x2－4x＋y2的范围是[－3，5]
C．xy的最大值为1
D．的范围是
BD　[对于A，1＋2xy＝x2＋y2＋2xy＝(x＋y)2，故(x＋y)2＝1＋2xy≤1＋，化简得，(x＋y)2≤2，所以，－≤x＋y≤，A错；
对于B，x2－4x＋y2＝1－4x，又因为实数x、y满足条件x2＋y2＝1，故－1≤x≤1，所以，－3≤1－4x≤5，B对；
对于C，由于x2＋y2＝1，所以，1＋2xy＝x2＋y2＋2xy＝(x＋y)2，
故1＋2xy＝(x＋y)2≥4xy，化简得，xy≤，当且仅当x＝y＝时，等号成立，故xy的最大值为，C错；
对于D， 即求该斜率的取值范围，明显地，当过定点的直线的斜率不存在时，
即x＝－1时，直线与圆相切，
当过定点的直线的斜率存在时，令k＝，
则k可看作圆x2＋y2＝1上的动点到定点(－1，2)的连线的斜率，
可设过定点(－1，2)的直线为：y－2＝k(x＋1)，
该直线与圆x2＋y2＝1相切，圆心到直线的距离设为d，
可求得d＝＝1，化简得k＝－，故k∈，故D对．]
12．从点A(－3，3)发出的光线l射到x轴上被x轴反射后，照射到圆C：x2＋y2－4x－4y＋7＝0上，则下列结论正确的是(　　)
A．若反射光光线与圆C相切，则切线方程为3x－4y－3＝0或4x－3y＋3＝0
B．若反射光线穿过圆C的圆心，则反射光线方程为x－y＝0
C．若反射光线照射到圆上后被吸收，则光线经过的最短路程是5－1
D．若反射光线反射后被圆C遮挡，则在x轴上被挡住的范围是
ABCD　[点A(－3，3)关于x轴的对称点为A′(－3，－3)．圆方程为(x－2)2＋(y－2)2＝1，斜率存在时，设反射光线方程为y＋3＝k(x＋3)，即kx－y＋3k－3＝0．由相切知＝1，
解得k＝或．
∴反射光线方程为y＋3＝(x＋3)或y＋3＝(x＋3)．
即4x－3y＋3＝0或3x－4y－3＝0，故A正确．
又A′(－3，－3)，C(2，2)的方程为y＝x，故B正确；因|A′C|＝＝5，所以直线的最短路程为5－1，故C正确．由于两条与圆C相切的反射光线与x轴的交点为(1，0)和，所以被挡住的范围是，故D正确．]
三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)
13．已知圆C的圆心在直线x＋y＝0上，圆C与直线x－y＝0相切，且在直线x－y－3＝0上截得的弦长为，则圆C的方程为________．
(x－1)2＋(y＋1)2＝2　[由圆C的圆心在直线x＋y＝0上，∴设圆C的圆心为(a，－a)，
又∵圆C与直线x－y＝0相切，
∴半径r＝＝．
又圆C在直线x－y－3＝0上截得的弦长为，
圆心(a，－a)到直线x－y－3＝0的距离d＝，
∴d2＋＝r2，即＋＝2a2，解得a＝1，
∴圆C的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2．]
14．直线2x＋y－3＝0与圆x2＋y2－2x－2y＝0相交于A，B两点，O为坐标原点，则|＋|＝________．
2　[设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为M，
联立直线方程与圆的方程：，
整理可得：5x2－10x＋3＝0，
故x1＋x2＝2，y1＋y2＝(－2x1＋3)＋(－2x2＋3)＝－2(x1＋x2)＋6＝2，
据此可得：
M(1，1)，||＝＝，
结合平面向量的运算法则有
|＋|＝2||＝2．]
15．已知圆x2＋y2＋x－6y＋m＝0与直线x＋2y－3＝0相交于P，Q两点，O为原点，且OP⊥OQ，则实数m的值为________．
3　[∵x2＋y2＋x－6y＋m＝0，∴＋(y－3)2＝－m，圆心C，半径r＝，所以圆心C(－，3)到直线x＋2y－3＝0距离为＝，
过圆心C且与直线x＋2y－3＝0垂直的直线方程为：2x－y＋4＝0，
由 得PQ中点M坐标为(－1，2)，
因为OP⊥OQ，所以OM2＝＝r2－，
∴1＋4＝－m－，∴m＝3．]
16．阿波罗尼斯(约公元前262－190年)证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数k(k＞0，k≠1)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆．若平面内两定点A，B间的距离为2，动点P满足＝，则动点P的轨迹是________．当P，A，B不共线时，△PAB面积的最大值是________．(第一空2分，第二空3分)
半径为2的圆　2　[以经过A，B的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系(图略)，则A(－1，0)，B(1，0)．设P(x，y)，
∵＝，
∴＝，
两边平方并整理得：x2＋y2－6x＋1＝0⇒(x－3)2＋y2＝8，即点P的轨迹是以(3，0)为圆心，2为半径的圆．
当点P到AB(x轴)的距离最大时，△PAB的面积最大，
此时面积为×2×2＝2．]
四、解答题(本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分) 已知圆C：x2＋y2－8y＋12＝0和直线l：mx＋y＋2m＝0．
(1)求圆C的圆心坐标和半径；
(2)当m为何值时，直线l和圆C相切．
[解]　(1)将圆C：x2＋y2－8y＋12＝0化为标准方程为x2＋(y－4) 2＝4，
则圆心为(0，4)，半径为2．
(2)直线l和圆C相切，则＝2，解得m＝－．
18．(本小题满分12分)在①圆经过C(3，4)，②圆心在直线x＋y－2＝0上，③圆截y轴所得弦长为8且圆心E的坐标为整数；这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，进行求解．
已知圆E经过点A(－1，2)，B(6，3)且________；
(1)求圆E的方程；
(2)已知直线l经过点(－2，2)，直线l与圆E相交所得的弦长为8，求直线l的方程．
[解]　选条件①，
(1)设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
依题意有 ，
解得D＝－6，E＝2，F＝－15，
所以圆的方程为x2＋y2－6x＋2y－15＝0，
即圆E的标准方程为：(x－3)2＋(y＋1)2＝25．
(2)设圆心到直线的距离为d，
则弦长L＝2＝8⇒＝4⇒d＝3，
当直线的斜率不存在时，d＝5≠3，所以直线的斜率存在，
设其方程为y－2＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＋2＝0，
d＝＝3，解得k＝0，k＝－，
所以所求直线的方程为y＝2或15x＋8y＋14＝0．
选条件②，
(1)设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
因为圆E经过点A(－1，2)，B(6，3)，且圆心在直线x＋y－2＝0上，
依题意有
解得D＝－6，E＝2，F＝－15，
所以圆E的方程为(x－3) 2＋(y＋1)2＝25．
(2)设圆心到直线的距离为d，
则弦长L＝2＝8⇒＝4⇒d＝3，
当直线的斜率不存在时，d＝5≠3，所以直线的斜率存在，
设其方程为y－2＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＋2＝0，
d＝＝3，解得k＝0，k＝－，
所以所求直线的方程为y＝2或15x＋8y＋14＝0．
选条件③，
设圆E的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
由圆E经过点A(－1，2)，B(6，3)，
故 ，
又因为圆截y轴所得弦长为8，
故方程y2＋Ey＋F＝0的两个实数根y1，y2的差的绝对值为8．
所以＝＝＝8，即E2－4F＝64，
解方程组，
得D＝－6，E＝2，F＝－15或D＝－，E＝－，F＝，
由于圆心E的坐标为整数，
故圆E的方程为(x－3)2＋(y＋1)2＝25．
(2)设圆心到直线的距离为d，
则弦长L＝2＝8⇒＝4⇒d＝3，
当直线的斜率不存在时，d＝5≠3，所以直线的斜率存在，
设其方程为y－2＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＋2＝0，
d＝＝3，解得k＝0，k＝－，
所以所求直线的方程为y＝2或15x＋8y＋14＝0．
19．(本小题满分12分) 已知直线l：x＋y＋2＝0与圆C：(x－2)2＋y2＝r2(r>0)相切，O为原点，A(－2，0)．
(1)若过A的直线l1与C相交所得弦长等于4，求直线l1的方程；
(2)P为C上任意一点，求的值．
[解]　(1)由题知圆心C(2，0)，因为l与圆C相切，所以r＝＝2，
所以圆C：(x－2)2＋y2＝8．
设圆心C到l1的距离为d，
由题有d＝＝2，
设l1：y＝k(x＋2)，
所以d＝＝2，
解得k＝±，
所以l1：y＝±(x＋2)．
(2)设P(x0，y0)，所以|PO|＝，|PA|＝，
所以＝，
因为2＋y＝8，
所以＝＝＝．
20．(本小题满分12分)如图，已知一艘海监船O上配有雷达，其监测范围是半径为25 km的圆形区域，一艘外籍轮船从位于海监船正东40 km的A处出发，径直驶向位于海监船正北30 km的B处岛屿，速度为28 km/h．

问：这艘外籍轮船能否被海监船监测到？若能，持续时间多长？
[解]　如图，以O为原点，东西方向为x轴建立直角坐标系，则A(40，0)，B(0，30)，圆O方程x2＋y2＝252．

直线AB方程：＋＝1，
即3x＋4y－120＝0．
设O到AB距离为d，
则d＝＝24<25，
所以外籍轮船能被海监船监测到．
设持续时间为t，
则t＝＝0.5(h)，
即外籍轮船能被海监船监测到，持续时间是0.5 h．
21．(本小题满分12分)已知圆C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0，是否存在斜率为1的直线l，满足使l被圆C截得的弦AB为直径的圆过原点？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．
[解]　假设存在斜率为1的直线l，满足题意，且OA⊥OB，设直线l的方程为y＝x＋b，
则
消元得2x2＋2(b＋1)x＋b2＋4b－4＝0．
设此方程两根为x1，x2，其与圆C的交点A，B的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝－(b＋1)，x1x2＝．
以AB为直径的圆过原点O，
∴kOA·kOB＝＝－1，
∴x1x2＋y1y2＝0，
∴x1x2＋(x1＋b)(x2＋b)＝0，
即2x1x2＋b(x1＋x2)＋b2＝0，
∴b2＋3b－4＝0，∴b＝－4或b＝1．
又Δ＝(2b＋2)2－8(b2＋4b－4)，
经检验当b＝－4或b＝1时满足Δ>0．
∴存在这样的直线l，方程为y＝x－4或y＝x＋1．
22．(本小题满分12分)如图，已知圆C1：(x－1)2＋(y＋1)2＝2，圆C2：(x－1)2＋(y＋1)2＝5，过原点O的直线l与圆C1，C2的交点依次是P，O，Q．

(1)若＝2，求直线l的方程；
(2)若线段的中点为M，求点M的轨迹方程．
[解]　(1)设直线l的方程为：y＝kx，C1，C2到直线l的距离为d1，d2．
由条件2＝4，即4d－d＝3，
所以4×－＝3，整理，得k2－4k＝0，解得k＝0或k＝4，
所以直线l的方程为：y＝0或y＝4x．
(2)设l：y＝kx．则由 消去y，得x2＋(2k＋4)x＝0，
解得x1＝0，x2＝－．其中k≠－2，
所以Q，
由消去y，得(1＋k2)x2＋(2k－2)x＝0，
解得x3＝0，x4＝，其中k≠1，所以P，
设M(x，y)，则将k＝代入①式
消去k，得：x2＋y2＋x＋2y＝0，又k≠1且k≠－2，
将k＝1，k＝－2代入①②求得和，
故点M的轨迹方程为x2＋y2＋x＋2y＝0(挖去点和)．