高中数学人教版新课标A必修53.1 不等关系与不等式当堂检测题

这是一份高中数学人教版新课标A必修53.1 不等关系与不等式当堂检测题，共20页。试卷主要包含了1　不等关系与不等式，实数m不超过2,是指，若ad≠bc,则　　　　2等内容，欢迎下载使用。

3.1 不等关系与不等式
基础过关练
题组一 用不等式(组)表示不等关系
1.实数m不超过2,是指( )

A.m>2 B.m≥2 C.m<2 D.m≤2
2.完成一项装修工程,请木工每人需付工资500元,请瓦工每人需付工资400元,现有工人工资预算20 000元,设木工请x人,瓦工请y人,则x,y应满足的关系式是( )
A.5x+4y<200 B.5x+4y≥200
C.5x+4y=200 D.5x+4y≤200
3.(2020福建莆田二中期末)某同学参加期末模拟考试,考完后对自己的语文和数学成绩进行了估计:语文成绩(x)高于85分,数学成绩(y)不低于80分,用不等式组可以表示为( )
A.x>85y≥80 B.x<85y>80 C.x≥85y>80 D.x>85y<80
4.(2020山东威海期中)一辆汽车原来每天行驶x km,如果该汽车每天行驶的路程比原来多19 km,那么在8天内它的行程将超过2 200 km,用不等式表示为 .
题组二 实数(代数式)大小的比较
5.(2020安徽合肥高一期末)已知实数a1∈(0,1),a2∈(0,1),记M=a1a2,N=a1+a2-1,则M、N的大小关系是( )
A.MN
C.M=N D.不确定
6.(2020四川绵阳南山中学月考)若P=m+4+m+8,Q=2m+6(m≥0),则P,Q的大小关系是( )
A.P>Q B.P=Q
C.P7.(2020四川自贡高一期中)若x>0,y>0,M=x+y1+x+y,N=x1+x+y1+y,则M、N的大小关系是( )
A.M=N B.MN
8.(2020陕西西安期末)若ad≠bc,则(a2+b2)(c2+d2) (ac+bd)2.(填“≥”“≤”“>”或“<”)
9.已知a,b∈R,a+b>0,试比较a3+b3与ab2+a2b的大小.
题组三 不等式的性质
10.已知实数x,y满足axA.x3>y3 B.sin x>sin y
C.ln(x2+1)>ln(y2+1) D.1x2+1>1y2+1
11.(2020山西运城高一期末)已知a<0A.a>ab>ab2 B.ab>ab2>a
C.ab>a>ab2 D.ab2>ab>a
12.(2020四川自贡高一期中)下列命题中,一定正确的是 ( )
A.若a>b,1a>1b,则a>0,b<0
B.若a>b,b≠0,则ab>1
C.若a>b,a+c>b+d,则c>d
D.若a>b,c>d,则ac>bd
13.给出下列四个条件:①b>0>a;②0>a>b;③a>0>b;④a>b>0.能推出1a<1b成立的是 .(填序号)
14.已知a>b>0,ce(b-d)2.
题组四 求代数式的取值范围
15.设实数x,y满足3A.(4,6) B.(4,7) C.(5,6) D.(5,7)
16.若-12<α< β<12,则α-β的取值范围是( )
A.(-1,1) B.(0,1) C.(-1,0) D.{0}
17.(2020浙江宁海中学高二期末)已知等比数列{an}中,a1,a2,a3满足a1∈(0,1),a2∈(1,2),a3∈(2,3),则a4的取值范围是 .
18.已知-2(1)|a|;(2)a+b;(3)a-b;(4)2a-3b.
能力提升练
一、选择题

1.(2020安徽合肥高一期末,★★☆)若a<0
A.1a>1b B.-a>b C.a2>b2 D.a32.(2020北京东城高一期末,★★☆)已知a,b,c∈R,那么下列命题正确的是( )
A.若a>b,则ab>b2
B.若ac>bc,则a>b
C.若a3>b3且ab<0,则1a>1b
D.若a2>b2且ab>0,则1a<1b
3.(2020北京朝阳高一下期末,★★☆)已知0A.bb+a>cc+a B.cb>c+ab+a
C.lgbaaa
4.(2020吉林榆树一中高二期末,★★☆)实数x,y,z满足x+y+z=0,xyz>0,若T=1x+1y+1z,则( )
A.T>0 B.T<0 C.T=0 D.T≥0
5.(2020浙江绍兴一中高一月考,★★☆)已知实数x,y满足-4≤x-y≤-1,-1≤4x-y≤5,则9x-y的取值范围是( )
A.[-7,26] B.[-1,20] C.[4,15] D.[1,15]
6.(2021江苏江阴要塞中学高二期中,★★☆)对于任意实数a,b,c,d,下列四个命题中:
①若a>b,c≠0,则ac>bc;
②若a>b,则ac2>bc2;
③若ac2>bc2,则a>b;
④若a>b>0,c>d,则ac>bd.
其中真命题的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
7.(2020山东青岛胶州高二下期末,★★☆)若a>b>1,0A.acC.algbc8.(多选)(2020湖南长沙长郡中学高二期末,★★☆)设a,b为正实数.下列命题中,为真命题的是( )
A.若a2-b2=1,则a-b<1
B.若1b-1a=1,则a-b<1
C.若|a-b|=1,则|a-b|<1
D.若|a3-b3|=1,则|a-b|<1
二、填空题
9.(2020山东威海高三一模,★★☆)为满足人民群众便利消费、安全消费、放心消费的需求,某社区农贸市场管理部门规划建造总面积为2 400 m2的新型生鲜销售市场.市场内设蔬菜水果类和肉食水产类店面共80间.每间蔬菜水果类店面的建造面积为28 m2,月租费用为x万元;每间肉食水产类店面的建造面积为20 m2,月租费用为0.8万元.全部店面的建造面积不低于总面积的80%,又不能超过总面积的85%.则两类店面间数的建造方案有 种;市场建成后所有店面全部租出,为保证任何一种建造方案平均每间店面月租费用不低于每间蔬菜水果类店面月租费用的90%,则x的最大值为 .
10.(★★★)已知下列三个不等式:①ab>0;②ca>db;③bc>ad.若以其中的两个为条件,余下的一个为结论,则可以组成 个正确命题.
11.(★★★)已知△ABC的三边a,b,c满足b+c≤2a,c+a≤2b,则ba的取值范围是 .
三、解答题
12.(2020辽宁营口高二期末,★★☆)已知a+b>0,比较ab2+ba2与1a+1b的大小.
13.(★★★)已知1≤lgxy≤2,2≤lgx3y≤3,求lgx33y的取值范围.
专题强化练4 比较大小的方法
时间40
一、选择题
1.(2020山西大同豪洋中学高一期末,★★☆)若a≠-2,m=(2a-1)(a+2),n=(a+2)(a-3),则m、n的大小关系是 ( )

A.m=n B.mC.m>n D.不确定
2.(2020河南郑州高一期末,★★☆)设a=lg3π,b=lg23,c=lg32,则( )

A.a>b>c B.a>c>b
C.b>a>c D.b>c>a
3.(★★☆)已知-1A.AB.BC.AD.B4.(2020山西大学附属中学高二期中,★★☆)已知0A.lga(xy)<0
B.0C.1D.lga(xy)>2
5.(2020重庆巴蜀中学高一期末,★★★)设a、b、c均为正数,且2a=lg12a,12b=lg12b,12c=lg2c,则( )
A.aC.c6.(★★★)若p=a+6-a+4,q=a+5-a+3,其中a≥0,则p,q的大小关系是( )
A.pq
C.p=q D.不确定
二、填空题
7.(2020吉林省实验中学高二期中,★★☆)已知a,b,x均为正数,且a>b,则ba b+xa+x.(填“>”“<”或“=”)
8.(★★☆)若a>b>c>0,x=a2+(b+c)2,y=b2+(c+a)2,z=c2+(a+b)2,则x,y,z的大小关系是 .(用“>”连接)
三、解答题
9.(★★☆)设a>0,b>0,且a≠b,试比较aabb,abba,(ab)a+b2三者的大小.
10.(2020山东师大附中高一学业质量检测,★★☆)若0(1)a+1b(2)2a+ba+2b>ab;
(3)a2b+b2a>a+b.
11.(2020福建宁德高一期末,★★★)“绿水青山就是金山银山”.随着经济的发展,我国更加重视对生态环境的保护,2018年起,政府对环保不达标的养鸡场进行限期整改或勒令关闭.一段时间内,鸡蛋的价格起伏较大(不同周价格不同).假设第一周、第二周鸡蛋的价格分别为x元/kg、y元/kg;甲、乙两人的购买方式不同:甲每周购买3 kg鸡蛋,乙每周购买10元钱鸡蛋.
(1)若x=8,y=10,求甲、乙两周购买鸡蛋的平均价格;
(2)判断甲、乙两人谁的购买方式更实惠(平均价格低视为实惠),并说明理由.
答案全解全析
第三章 不等式
3.1 不等关系与不等式
基础过关练
1.D “不超过”就是“小于等于”,故选D.
2.D 根据题意,可知500x+400y≤20 000,即5x+4y≤200,故选D.
3.A ∵语文成绩(x)高于85分,数学成绩(y)不低于80分,∴x>85,y≥80.故选A.
4.答案 8(x+19)>2 200
解析 ∵汽车原来每天行驶x km,该汽车每天行驶的路程比原来多19 km,
∴现在汽车每天行驶的路程为(x+19)km,则8天内它的行程为8(x+19)km,若8天内它的行程将超过2 200 km,则满足8(x+19)>2 200.
5.B M-N=a1a2-(a1+a2-1)=a1a2-a1-a2+1=(a1-1)(a2-1).∵a1∈(0,1),a2∈(0,1),∴a1-1<0,a2-1<0,∴(a1-1)(a2-1)>0,∴M>N,故选B.
6.C Q2-P2=4m+24-[2m+12+2×(m+4)(m+8)]
=2m+12-2(m+4)(m+8)
=(m+8-m+4)2.
∵m≥0,∴m+8>m+4,即m+8-m+4>0,
∴Q2>P2,又P>0,Q>0,∴P7.B ∵x>0,y>0,∴x+y+1>1+x>0,1+x+y>1+y>0,
∴x1+x+y∴M=x+y1+x+y=x1+x+y+y1+x+y8.答案 >
解析 因为(a2+b2)(c2+d2)-(ac+bd)2=(a2c2+a2d2+b2c2+b2d2)-(a2c2+b2d2+2acbd)=b2c2+a2d2-2abcd=(bc-ad)2≥0,又ad≠bc,所以(bc-ad)2>0,所以(a2+b2)(c2+d2)>(ac+bd)2.
9.解析 因为a+b>0,(a-b)2≥0,
所以a3+b3-ab2-a2b=a3-a2b+b3-ab2=a2(a-b)+b2(b-a)=(a-b)(a2-b2)=(a-b)·(a-b)(a+b)=(a-b)2(a+b)≥0,
所以a3+b3≥ab2+a2b.
10.A 由axy,所以x3>y3,故A正确;由正弦函数的性质知,不能确定sin x与sin y的大小,故B错误;由x>y不能确定x2+1与y2+1的大小,故C、D错误.
11.D ∵0ab>a,故选D.
12.A 对于A,∵a>b,1a-1b=b-aab>0,∴ab<0,因此a>0>b,故A正确;
对于B,b<0时不成立,故B错误;
对于C,取a=6,b=1,c=1,d=2,满足a>b,a+c>b+d,而c对于D,取a=5,b=-3,c=1,d=-6,满足a>b,c>d,则ac故选A.
13.答案 ①②④
解析 ①若b>0>a,则1a<0<1b,故①符合题意;
②若0>a>b,则ab>0,∴aab>bab,即1b>1a,故②符合题意;
③若a>0>b,则1a>0>1b,故不能推出1a<1b,故③不符合题意;
④若a>b>0,则aab>bab,即1b>1a,故④符合题意.
因此能推出1a<1b成立的是①②④.
14.证明 ∵c-d>0,
又∵a>b>0,∴a-c>b-d>0,
∴(a-c)2>(b-d)2>0,
∴0<1(a-c)2<1(b-d)2,
又∵e<0,∴e(a-c)2>e(b-d)2.
15.B 由已知得6<2x<8,-2<-y<-1,两式相加,得4<2x-y<7,故选B.
16.C ∵-12<β<12,∴-12<-β<12,
又∵-12<α<12,∴-1<α-β<1,
又∵α<β,∴α-β<0,
∴-1<α-β<0.故选C.
17.答案 (22,9)
解析 设等比数列{an}的公比为q,由a1∈(0,1),a2∈(1,2),a3∈(2,3)可知012,
即q>2或q<-2,②÷①,得q>1,
∴2∴a4=a3q∈(22,9).
18.解析 (1)|a|∈[0,3].
(2)-1(3)依题意得-2所以-4(4)由-2由1≤b<2得-6<-3b≤-3,②
①+②得,-10<2a-3b≤3.
能力提升练
一、选择题
1.D ∵a<02.C 当b≤0时,A中的命题不正确;当c<0时,B中的命题不正确;若a3>b3且ab<0,则a>0,b<0,所以1a>1b,故C中的命题正确;当a3.A A中,bb+a-cc+a=a(b-c)(a+b)(a+c),∵00,故bb+a>cc+a,故A正确;
B中,cb-c+ab+a=a(c-b)b(b+a),∵0C中,∵0lnalnc,
∴lgba>lgca,故C不正确;
D中,∵0aa不一定成立,故D不正确.
4.B 因为x+y+z=0且xyz>0,所以不妨设x>0,y<0,z<0,则T=xy+yz+xzxyz=y(x+z)+xzxyz=-y2+xzxyz.因为x>0,z<0,所以xz<0,又-y2<0,所以-y2+xz<0,又xyz>0,所以T<0.故选B.
5.B 令m=x-y,n=4x-y,得x=n-m3,y=n-4m3,
则9x-y=83n-53m.
∵-4≤m≤-1,∴53≤-53m≤203,
又∵-1≤n≤5,∴-83≤83n≤403,
∴-1≤83n-53m≤20,故9x-y∈[-1,20].故选B.
6.A ①中,若a>b,c<0时,acd>0时,ac>bd,④错.故选A.
7.C 令a=3,b=2,c=12,则312>212,故A错误;3×212>2×312,故B错误;lg312>lg212,故D错误;因为algbc-blgac=
lg c·algb-blga=lg c·lgaa-lgbblgblga,∵a>b>1,∴10.∵08.AD A中,a2-b2=(a+b)(a-b)=1,∴a-b=1a+b,∵a,b为正实数,∴a+b>a-b>0,若a-b≥1,则必有1a+b≥1,即a+b≤1,与a+b>a-b矛盾,不合题意,故A正确;B中,1b-1a=a-bab=1,只需a-b=ab即可,取a=2,b=23,满足上式,但a-b=43>1,故B错误;C中,a,b为正实数,所以a+b>|a-b|=1,且|a-b|=|(a+b)(a-b)|=|a+b|>1,故C错误;D中,|a3-b3|=|(a-b)(a2+ab+b2)|=|a-b|(a2+ab+b2)>|a-b|(a2-2ab+b2)=|a-b|·(a-b)2=|a-b|3,故|a-b|<1,故D正确.故选AD.
二、填空题
9.答案 16;1
信息提取 ①市场总面积为2 400 m2;②店面共80间;③每间蔬菜水果类店面的建造面积为28 m2,月租费用为x万元;④每间肉食水产类店面的建造面积为20 m2,月租费用为0.8万元;⑤全部店面的建造面积不低于总面积的80%,又不能超过总面积的85%.
数学建模 本题是以某社区农贸市场建造为背景的实际问题,根据已知条件建立以不等式为模型的数学问题求解,设蔬菜水果类和肉食水产类店面分别为a间,b间,两类店面间数的建造方案有几种(实际问题)可根据条件建立不等关系和不等式求解,确定解的个数(数学问题);求x的最大值(实际问题)可由平均每间店面的收入0.8b+ax80万元不低于每间蔬菜水果类店面月租费用的90%建立不等式,根据不等式恒成立求x的最大值即可(数学问题).
解析 设蔬菜水果类和肉食水产类店面分别为a间,b间.
①由题意知,0.85×2 400≥28a+20b≥0.8×2 400,化简,得480≤7a+5b≤510,又a+b=80,
所以480≤7a+5(80-a)≤510,解得40≤a≤55,
∴a=40,41,…,55,共16种建造方案.
②由题意知0.8b+ax80≥0.9x,∵a+b=80,
∴0.8b+(80-b)x≥72x,
∴x≤0.8bb-8=0.8×1+8b-8,
由(1),知bmax=80-40=40,∴x≤0.81+832=0.8×54=1,即x的最大值为1.
10.答案 3
解析 若ab>0,bc>ad成立,
则不等式bc>ad两边同除以ab,
得ca>db,即ab>0,bc>ad⇒ca>db;
若ab>0,ca>db成立,则ca>db两边同乘ab,得bc>ad,
即ab>0,ca>db⇒bc>ad;
若ca>db,bc>ad成立,由于ca-db=bc-adab>0,
又bc-ad>0,故ab>0,
所以ca>db,bc>ad⇒ab>0.
综上,任两个作为条件都可推出第三个成立,故可以组成3个正确命题.
11.答案 23,32
解析 ∵b+c≤2a,c+a≤2b,且c>a-b,c>b-a,∴不等式组a-b∴a-b<2a-b,a-b<2b-a,b-a<2a-b,b-a<2b-a,∴23即ba的取值范围是23,32.
三、解答题
12.解析 ab2+ba2-1a+1b=a-bb2+b-aa2=(a-b)1b2-1a2=(a+b)(a-b)2a2b2.
∵a+b>0,(a-b)2≥0,∴(a+b)(a-b)2a2b2≥0,当且仅当a=b时取等号,
∴ab2+ba2≥1a+1b.
13.解析 由1≤lgxy≤2,2≤lgx3y≤3变形,
得1≤lgx-lgy≤2,2≤3lgx-12lgy≤3.
设lgx33y=3lg x-13lg y=m(lg x-lg y)+n3lgx-12lgy=(m+3n)lg x-m+n2lg y,
则m+3n=3,m+n2=13,解得m=-15,n=1615.
由题意得
-25≤-15(lgx-lgy)≤-15,3215≤16153lgx-12lgy≤165,
∴2615≤lgx33y≤3,
故lgx33y的取值范围是2615,3.
专题强化练4 比较大小的方法
一、选择题
1.C ∵m=(2a-1)(a+2),n=(a+2)(a-3),
∴m=2a2+3a-2,n=a2-a-6,∴m-n=a2+4a+4=(a+2)2,
又a≠-2,∴m-n=(a+2)2>0,∴m>n,故选C.
2.A ∵a=lg3π>lg33=1,∴a>1.
∵b=lg23=12lg23<12lg24=1,
且b=lg23=12lg23>12,∴12∵c=lg32=12lg32<12,∴c<12,
∴a>b>c.
3.B 解法一(特殊值法):不妨设a=-12,则A=54,B=34,C=2,由此得B解法二(作差法):由-10,
A-B=(1+a2)-(1-a2)=2a2>0,∴A>B,
C-A=11+a-(1+a2)=-a(a2+a+1)1+a
=-aa+122+341+a>0,∴C>A,
∴B4.D 因为0所以0又0lgaa2=2,
即lga(xy)>2.
5.A 在同一平面直角坐标系中作出函数y=2x,y=12x,y=lg2x,y=lg12x的图象(如图所示),由图可知06.A p-q=a+6+a+3-(a+4+a+5).
(a+6+a+3)2-(a+4+a+5)2
=2(a+3)(a+6)-2(a+4)(a+5).
∵(a+3)(a+6)-(a+4)(a+5)=-2<0,a≥0,
∴2(a+3)(a+6)-2(a+4)(a+5)<0,即(a+6+a+3)2-(a+4+a+5)2<0,
∴p-q=a+6+a+3-(a+4+a+5)<0,故p二、填空题
7.答案 <
解析 由题意得ba-b+xa+x=ab+bx-ab-axa(a+x)=(b-a)xa(x+a).因为a>0,x+a>0,b-a<0,x>0,所以(b-a)xa(x+a)<0,所以ba8.答案 z>y>x
解析 解法一:∵y2-x2=2c(a-b)>0,∴y>x.同理,可得z>y,∴z>y>x.
解法二:令a=3,b=2,c=1,则x=18,y=20,z=26,故z>y>x.
三、解答题
9.解析 由题知a>0,b>0,且a≠b.
当0∴aabb(ab)a+b2=aba-b2>ab0=1,
∴aabb>(ab)a+b2;
当01,a-b>0,a-b2>0,
∴aabb(ab)a+b2=aba-b2>ab0=1,
∴aabb>(ab)a+b2.
∴a>0,b>0,且a≠b时,总有aabb>(ab)a+b2.
同理可得,a>0,b>0,且a≠b时,(ab)a+b2>abba.
综上所述,aabb>(ab)a+b2>abba.
10.解析 (1)成立.∵00,∴a+1b-b-1a=(a-b)·1+1ab<0,∴a+1b(2)成立.∵00,∴2a+ba+2b-ab=(b-a)(b+a)b(a+2b)>0,∴2a+ba+2b>ab.
(3)成立.∵00,∴a2b+b2a>a+b.
11.信息提取 ①甲每周购买3 kg鸡蛋;②乙每周购买10元钱鸡蛋;③x=8,y=10.
数学建模 本题是以购买鸡蛋为背景的实际生活问题,利用甲、乙两周购买鸡蛋的平均价格(实际问题)通过计算平均数(数学问题)求解;甲、乙两人谁的购买方式更实惠(实际问题),可以通过平均价格的大小(数学问题)来进行比较.
解析 (1)∵x=8,y=10 ,∴甲两周购买鸡蛋的平均价格为3×8+3×106=9(元), 乙两周购买鸡蛋的平均价格为20108+1010=809(元).
(2)甲两周购买鸡蛋的平均价格为3x+3y6=x+y2(元), 乙两周购买鸡蛋的平均价格为2010x+10y=2xyx+y(元),
由(1)知,当x=8,y=10时,乙两周购买鸡蛋的平均价格比甲两周购买鸡蛋的平均价格低,猜测乙的购买方式更实惠.
理由如下:解法一(比较法):依题意有x>0,y>0,且x≠y.∵x+y2-2xyx+y=(x+y)2-4xy2(x+y)=(x-y)22(x+y)>0,∴x+y2>2xyx+y,∴乙两周购买鸡蛋的平均价格比甲两周购买鸡蛋的平均价格低,即乙的购买方式更实惠.
解法二(分析法):依题意有x>0,y>0,且x≠y.要证x+y2>2xyx+y,只需证(x+y)2>4xy,只需证x2+y2>2xy,只需证(x-y)2>0,x≠y(已知).
所以乙两周购买鸡蛋的平均价格比甲两周购买鸡蛋的平均价格低,即乙的购买方式更实惠.