2021年北京丰台区首都师大附属丽泽中学九年级上期末数学试卷

这是一份2021年北京丰台区首都师大附属丽泽中学九年级上期末数学试卷，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共10小题；共50分）
1. 二次函数 y=x−52+7 的最小值是
A. −7B. 7C. −5D. 5

2. 在 Rt△ABC 中，∠B=90∘，∠A=α，BD 是斜边 AC 上的高，下列结论中，成立的是
A. AC=BC⋅sinαB. AC=AB⋅csα
C. BC=AC⋅tanαD. CD=BD⋅tanα

3. 已知 ⊙O 的半径为 5，直线 l 是 ⊙O 的切线，则点 O 到直线 l 的距离是
A. 2.5B. 3C. 5D. 10

4. 已知抛物线 y=−x2+mx+n 的顶点坐标是 −1,−3，则 m 和 n 的值分别是
A. 2，4B. −2，−4C. 2，−4D. −2，0

5. 挂钟的分针长 10 cm，经过 45 分钟，它的针尖经过的路程是
A. 15π2 cmB. 15π cmC. 75π2 cmD. 75π cm

6. 如图，在边长为 1 的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系．△ABO 与 △AʹBʹOʹ 是以点 P 为位似中心的位似图形．它们的顶点均在格点（网格线的交点）上，则点 P 的坐标为
A. 0,0B. 0,1C. −3,2D. 3,−2

7. 某数学社团开展实践性研究，在大明湖南门 A 测得历下亭 C 在北偏东 37∘ 方向，继续向北走 105 m 后到达游船码头 B ，测得历下亭 C 在游船码头 B 的北偏东 53∘ 方向．请计算一下南门 A 与历下亭 C 之间的距离约为 ( )
（参考数据： tan37∘≈34 ， tan53∘≈43 ）
A. 225 mB. 275 mC. 300 mD. 315 m

8. 如图，⊙O 中，CD⊥AB 于点 E，若 ∠B=60∘，则 ∠A=
A. 30∘B. 45∘C. 60∘D. 90∘

9. 小明在暑假帮某服装店卖T恤衫时发现，在一段时间内，T恤衫按每件 80 元销售时，每天的销售量是 20 件，单价每降低 4 元，每天就可以多售出 8 件．已知该T恤衫的进价是每件 40 元，请问：当每件T恤衫降价多少元时，服装店卖该T恤衫一天能赢利 1200 元?如果设每件T恤衫降价 x 元，那么所列方程正确的是
A. 80−x20+x=1200B. 80−x20+2x=1200
C. 40−x20+x=1200D. 40−x20+2x=1200

10. 已知点 P 为抛物线 y=x2+2x−3 在第一象限内的一个动点，且 P 关于原点的对称点 Pʹ 恰好也落在该抛物线上，则点 Pʹ 的坐标为
A. −1,−1B. −2,−3
C. −2,−22−1D. −3,−23

二、填空题（共6小题；共30分）
11. 如图，在 △ABC 中，AB=AD=DC，∠BAD=20∘，则 ∠C= ．

12. 如果 x:y=1:2，y:z=3:4，那么 x:y:z= ．

13. 已知函数 y=−2x2+x−4，当 x< 时，y 随 x 的增大而增大；当 x> 时，y 随 x 的增大而减小；当 x= 时，y 最大值为 ．

14. 若 △ABC∽△DEF，若相似比是 4:25，若 △DEF 的周长是 100，那么 △ABC 的周长是 ．

15. 如果等腰三角形底边上的高等于底边的一半，那么这个等腰三角形的顶角等于 度．

16. 下面是一道确定点 P 位置的尺规作图题的作图过程．
如图，直线 l1 与 l2 相交于点 O，A，B 是 l2 上两点，点 P 是直线 l1 上的点，且 ∠APB=30∘，请在图中作出符合条件的点 P．
作法：如图，
（1）以 AB 为边在 l2 上方作等边 △ABC；
（2）以 C 为圆心，AB 长为半径作 ⊙C，交直线 l1 于 P1，P2 两点．
则 P1，P2 就是所作出的符合条件的点 P．
请回答：该作图的依据是 ．

三、解答题（共13小题；共169分）
17. 如图，在四边形 ABCD 中，AD∥BC，∠A=∠BDC．
（1）求证：△ABD∽△DCB；
（2）若 AB=12，AD=8，CD=15，求 DB 的长．

18. 阅读下面材料：
如图 1，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y1=ax+b 与双曲线 y2=kx 交于 A1,3 和 B−3,−1 两点．
观察图象可知：
①当 x=−3或1 时，y1=y2；
②当 −3y2，即通过观察函数的图象，可以得到不等式 ax+b>kx 的解集．
有这样一个问题：求不等式 x3+4x2−x−4>0 的解集．
某同学根据学习以上知识的经验，对求不等式 x3+4x2−x−4>0 的解集进行了探究．
下面是他的探究过程，请将（2），（3），（4）补充完整：
（1）将不等式按条件进行转化：
（2）构造函数，画出图象．
设 y3=x2+4x−1，y4=4x，在同一坐标系中分别画出这两个函数的图象．
双曲线 y4=4x 如图 2 所示，请在此坐标系中画出抛物线 y3=x2+4x−1；（不用列表）
（3）确定两个函数图象公共点的横坐标．
观察所画两个函数的图象，猜想并通过代入函数解析式验证可知：满足 y3=y4 的所有 x 的值为 ．
（4）借助图象，写出解集．
结合（1）的讨论结果，观察两个函数的图象可知：不等式 x3+4x2−x−4>0 的解集为 ．

19. 用含 30∘，45∘，60∘ 这三个特殊角的四个三角比及其组合可以表示某些实数，如：12 可表示为 12=sin30∘=cs60∘=tan45∘⋅sin30∘=⋯．
仿照上述材料，完成下列问题
（1）用含 30∘，45∘，60∘ 这三个特殊角的三角比或其组合表示 32，即：
填空：32= = = =⋯；
（2）用含 30∘，45∘，60∘ 这三个特殊角的三角比，结合加、减、乘、除四种运算，设计一个等式．要求：等式中须含有这三个特殊角的三角比、上述四种运算都至少出现一次，且这个等式的结果等于 1．即：
填空：1= ．

20. 如图所示，在四边形 ABCD 中，AD⊥AB，CD⊥BC，∠ADC=120∘，BC=14，AD=3，求 DC 的长．

21. 根据下列条件求 y 关于 x 的二次函数表达式．
（1）抛物线的顶点为 −1,2，且过点 1,10；
（2）图象过点 0,−2，1,2，且对称轴为直线 x=32．

22. 如图，邻边不等的矩形花圃 ABCD，它的一边 AD 利用已有的围墙，另外三边所围的栅栏的总长度是 6 m．若矩形的面积为 4 m2，求 AB 的长度（可利用的围墙长度超过 6 m）．

23. 已知抛物线 C1:y1=2x2−4x+k 与 x 轴只有一个公共点．
（1）求 k 的值；
（2）怎样平移抛物线 C1 就可以得到抛物线 C2:y2=2x+12−4k?请写出具体的平移方法；
（3）若点 A1,t 和点 Bm,n 都在抛物线 C2:y2=2x+12−4k 上，且 n4x；
当 x4x，此时 x 的范围是：x>1；
当 x