2022-2023学年北京市首都师大附属云岗中学九年级（上）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年北京市首都师大附属云岗中学九年级（上）期中数学试卷

注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是(    )

A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，

2. 下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是(    )

A.  B.
C.  D.

3. 一元二次方程的解是(    )

A.  B.
C. ， D. ，

4. 用配方法解方程时，原方程可以变形为(    )

A.  B.  C.  D.

5. 抛物线的顶点坐标是(    )

A.  B.  C.  D.

6. 如图，将绕着点顺时针旋转后得到若，，则的度数是(    )
    

A.  B.  C.  D.

7. 若是一元二次方程的根，则下列式子成立的是(    )

A.  B.  C.  D.

8. 某商品现在的售价为每件元，每星期可卖出件．市场调查反映，如果调整商品售价，每降价元，每星期可多卖出件设每件商品降价元后，每星期售出商品的总销售额为元，则与的关系式为(    )

A.  B.
C.  D.

9. 如表是二次函数的几组对应值：

根据表中数据判断，方程的一个解的范围是(    )

A.  B.
C.  D.

10. 如图，二次函数的图象经过，，三点，下面四个结论中正确的是(    )

A. 抛物线开口向下
B. 当时，取最小值
C. 当时，一元二次方程必有两个不相等实根
D. 直线经过点，，当时，的取值范围是

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）

11. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标为______．
12. 已知二次函数的图象开口向下，顶点坐标是，则这个二次函数的表达式可以是______．
13. 二次函数的图象的对称轴是直线          ．
14. 已知，两点都在抛物线上，那么          ．
15. 已知点，都在函数的图象上，则______填“”，“”或““．
16. 用“描点法”画二次函数的图象时，列出了表格：那么该二次函数有最______填“大”或“小”值为______．

17. 如图，在中，弦的长为，圆心到的距离为，则的半径是______．

18. 如图是二次函数图象的一部分，图象过点，对称轴为给出四个结论：；；；其中，正确的是______．
     

三、解答题（本大题共12小题，共96.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19. 本小题分
    按要求解下列方程
    直接开平方法；
    公式法．
20. 本小题分
    用恰当的方法解方程：
    ；
    ；
    ．
21. 本小题分
    已知二次函数．
    将化成的形式，并写出二次函数的对称轴与顶点坐标；
    画出这个二次函数的图象；
    当时，的取值范围是______．

22. 本小题分
    如图，是等边三角形内一点，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接，．
    求证：；
    求证：；
    连接，若，求的度数．

23. 本小题分
    已知：二次函数的图象如图所示，求这个二次函数的表达式．

24. 本小题分
    如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，以点为旋转中心，将逆时针旋转，得到．
    画出；
    直接写出点和点的坐标；
    求线段的长度．

25. 本小题分
    关于的一元二次方程有两个实数根．
    求的取值范围；
    若为正整数，求此时方程的根．
26. 本小题分
    如图，在长，宽的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为绿化带，已知绿化带的面积为，求所修建道路的宽度．

27. 本小题分
    已知关于的一元二次方程．
    求证：该方程总有两个不相等的实数根；
    若该方程的两个根均为负数，求的取值范围．
28. 本小题分
    某广场有一个小型喷泉，水流从垂直于地面的水管喷出，长为米．水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落到地面上，某方向上抛物线路径的形状如图所示，落点到的距离为米．建立平面直角坐标系，水流喷出的高度米与水平距离米之间近似满足函数关系．
    
    求与之间的函数关系式；
    求水流喷出的最大高度．
29. 本小题分
    在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点，，抛物线经过点，将点向右平移个单位长度，得到点．
    求点的坐标；
    求抛物线的对称轴；
    若抛物线与线段恰有一个公共点，结合函数图象，直接写出的取值范围．

30. 本小题分
    在正方形中，是边上一点，且点不与、重合，点在射线上，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，．
    如图，当点在线段上时，依题意补全图；
    在图的条件下，延长，交于点，求证：．
    在图中，当点在线段的延长线上时，连接，若点，，恰好在同一条直线时，猜想，，之间的数量关系，并证明．
    
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：一元二次方程的二次项系数，一次项系数，常数项分别是，，．
故选：．
找出所求的系数及常数项即可．
考查了一元二次方程的一般形式：是常数且特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中叫二次项，叫一次项，是常数项．其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
 

2.【答案】 

【解析】解：该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
B.该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意；
C.该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D.该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，常见的中心对称图形有平行四边形、圆形、正方形、长方形等等．常见的轴对称图形有等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．
 

3.【答案】 

【解析】解：，
，
或，
，．
故选：．
用因式分解法解方程即可．
本题考查一元二次方程因式分解法，熟练掌握直因式分解法解一元二次方程是解本题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：方程，
移项得：，
配方得：，即．
故选C．
方程常数项移到右边，两边加上配方得到结果即可．
此题考查了解一元二次方程配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：是抛物线解析式的顶点式，
根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为．
故选：．
已知解析式为抛物线的顶点式，可直接写出顶点坐标．
此题主要考查了求抛物线的顶点坐标的方法．利用解析式化为，顶点坐标是，对称轴是直线得出是解题关键．
 

6.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了旋转的性质，关键是熟练掌握旋转前、后的图形全等，进而可得到一些对应角相等．
首先根据旋转的性质可得：，，即可得到，再有，利用三角形内角和可得的度数，进而得到的度数，再由条件将绕着点顺时针旋转后得到可得，即可得到的度数．
【解答】
解：根据旋转的性质可得：，，
，
，
，
，
，
将绕着点顺时针旋转后得到，
，
．
故选B．  

7.【答案】 

【解析】解：是一元二次方程的根，
，
故选：．
将代人方程后即可得到正确的选项．
考查了一元二次方程的解的知识，解题的关键是了解方程的解能使得方程左右两边相等，难度不大．
 

8.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了根据实际问题列二次函数解析式，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，再列函数解析式．
根据降价元，则售价为元，销售量为件，由题意可得等量关系：总销售额为销量售价，根据等量关系列出函数解析式即可．
【解答】
解：降价元，则售价为元，销售量为件，
根据题意得，，
故选B．  

9.【答案】 

【解析】解：由表可以看出，当取与之间的某个数时，，即这个数是的一个根．
的一个解的取值范围为．
故选：．
利用二次函数和一元二次方程的性质进行解答即可．
本题考查了图象法求一元二次方程的近似值，掌握用表格的方式求函数值的范围解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：将点、、的坐标代入抛物线表达式得

解得，
故抛物线的表达式为，
函数图象如下：

，
抛物线开口向上，故A错误，不符合题意；

B.抛物线开口向上，则时，取得最小值，
当时，，
故B错误，不符合题意；

C.由知，函数的最小值为，
故时，直线和有两个交点，
故一元二次方程必有两个不相等实根，
故C正确，符合题意；

D.观察函数图象，直线经过点，，
当时，的取值范围是或，
故D错误，不符合题意；
故选：．
将点、、的坐标代入抛物线表达式，求出抛物线的表达式为，画出函数图象，进而求解．
本题考查的是二次函数与不等式组和待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是确定函数图象的交点，根据交点处图象之间的位置关系，确定不等式的解．
 

11.【答案】 

【解析】解：根据平面内关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，
故点关于原点对称的点的坐标是，
故答案为：．
根据平面内关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，结合题意易得答案．
本题考查了关于原点对称的点的性质，正确掌握横纵坐标的符号关系是解题关键．
 

12.【答案】答案不唯一 

【解析】解：设抛物线解析式为，
抛物线开口向下，
，
符合题意，
故答案为：答案不唯一．
由抛物线顶点为可得，由抛物线开口向下可得．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．
 

13.【答案】 

【解析】

【分析】
将抛物线解析式转化为顶点式，可求顶点坐标及对称轴．
本题考查了抛物线的顶点式的确定方法，顶点式与对称轴及顶点坐标的关系，需要熟练掌握这些性质
【解答】
解：，
对称轴为，
故答案为：．  

14.【答案】 

【解析】解：，两点都在抛物线上，
抛物线的对称轴为直线，
，
故答案为：．
根据抛物线的对称性以及对称轴公式即可得到，解得．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟知抛物线的对称性是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：，
抛物线开口向下，对称轴为轴，
，
点到轴距离小于点到轴距离，
，
故答案为：．
由抛物线解析式可得抛物线开口方向及对称轴，根据两点与对称轴的距离大小关系求解．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与不等式的关系．
 

16.【答案】小   

【解析】解：、时，的值相同，都为，
抛物线的对称轴为直线，
顶点为，
二次函数有最小值，是，
故答案为：小；．
根据二次函数的最值为抛物线顶点坐标的纵坐标可得答案．
此题主要考查了二次函数的最值，关键是掌握二次函数的图象具有对称性．
 

17.【答案】 

【解析】解：在直角中，，，根据勾股定理得到，则的半径是．
根据垂径定理和勾股定理求解．
此题涉及圆中求半径的问题，此类在圆中涉及弦长、半径、圆心角的计算的问题，常把半弦长，半圆心角，圆心到弦距离转换到同一直角三角形中，然后通过直角三角形予以求解．
 

18.【答案】 

【解析】解：图象与轴有交点，对称轴为，与轴的交点在轴的正半轴上，
又二次函数的图象是抛物线，
与轴有两个交点，
，即，故正确；
抛物线的开口向下，
，
与轴的交点在轴的正半轴上，
，
对称轴为，
，
，，故错误；
根据，对称轴为，
可知当时，，即，故正确；
把，代入解析式得，，
两边相加整理得，即，故正确；
故答案为：．
由图象与轴有交点，对称轴为，与轴的交点在轴的正半轴上，可以推出，可对进行判断；
由抛物线的开口向下知，与轴的交点在轴的正半轴上得到，由对称轴为，可以进行分析判断；
根据，对称轴为，可知当时，，可对进行分析判断；
把，代入解析式得，，两边相加整理得，即，即可对进行判断．
本题考查了二次函数的图象与系数的关系，解答此类问题的关键是掌握二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与轴的交点、抛物线与轴交点的个数确定，解题时要注意数形结合思想的运用．
 

19.【答案】解：，
，
，．
，
，，，
，
，
，． 

【解析】利用直接开平方法解方程即可；
计算根的判别式的值，然后利用公式法解方程即可．
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
 

20.【答案】解：，
，
或，
，，
，
，
或，
，；
，
，
或，
，． 

【解析】利用直接开平方法解方程即可；
利用因式分解法解方程即可；
利用因式分解法求解即可．
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
 

21.【答案】 

【解析】解：，
抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为．
如图，

将代入得，
时，，
将代入得，
故答案为：，
将二次函数解析式为顶点式求解．
通过二次函数解析式作图．
将，分别代入函数解析式求出对应函数值，结合图象求解．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
 

22.【答案】证明：是等边三角形，
，．
线段绕点顺时针旋转，得到线段，
，．
．
．
在和中，
，
≌，
；
证明：由知，≌，
；
解：如图，

，，
为等边三角形．
，
≌
．
． 

【解析】由等边三角形的性质知，，由旋转的性质知，，从而得，再证≌可得答案，
根据全等三角形的性质即可得到结论；
由，知为等边三角形，即，继而由可得．
本题考查了全等三角形的判定和性质、旋转的性质和等边三角形的性质等知识点，能灵活运用性质定理进行推理是解此题的关键．
 

23.【答案】解：由对称性，函数图象与轴另一个交点为，
设二次函数解析式为，
将代入，解得：，
二次函数解析式为，
即二次函数解析式为 ． 

【解析】根据函数图象知，该函数经过点所以利用待定系数法可求得该二次函数的解析式．
本题主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养，要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来．
 

24.【答案】解：如图，为所作；

，；
线段的长度． 

【解析】利用网格特点和旋转的性质画出、的对应点、即可；
利用所画图形确定点和点的坐标；
根据勾股定理即可得到结论．
本题考查了作图旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
 

25.【答案】解：，
依题意，得
解得且；
为正整数，
，
原方程为．
解得，． 

【解析】由方程有两个相等的实数根得，可得关于的不等式，解之可得的范围，结合一元二次方程的定义可得答案；
由知，得出方程，再用因式分解法求解可得．
本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，牢记“当时，方程有两个实数根”是解题的关键．
 

26.【答案】解：假设修建的路宽应米，
利用图形的平移法，将两条道路平移的耕地两边，即可列出方程：
，
整理得：，
解得：，不合题意舍去，
答：所修建道路的宽度为． 

【解析】假设出修建的路宽应米，利用图形的平移法，将两条道路平移的耕地两边，即可列出方程，进一步求出的值即可．
此题主要考查了一元二次方程的应用，对于修路问题最简单的方法是平移道路进而列出等式方程从而解决问题．
 

27.【答案】证明：依题意，得，
，
该方程总有两个不相等的实数根；
解：解方程，得，，
方程的两个根均为负数，

解得． 

【解析】求出方程的判别式的值，利用配方法得出，根据判别式的意义即可证明；
根据题意得不等式组，解不等式组求得的取值范围即可．
本题考查了一元二次方程根的判别式，用到的知识点：方程有两个不相等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程没有实数根．
 

28.【答案】解：由题意可得，抛物线经过点和，
把上述两个点坐标代入二次函数表达式中，得：
，
解得：，
则函数表达式为：；
，
，故函数有最大值，
当时，取得最大值，此时，
答：水流喷出的最大高度为米． 

【解析】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用，根据题意，确定变量，建立函数模型解答即可．
由题意可得，抛物线经过点和，把上述两个点坐标代入二次函数表达式，即可求解；
，故当时，取得最大值．
 

29.【答案】解：与轴交点：令代入直线得，
，
点向右平移个单位长度，得到点，
；
与轴交点：令代入直线得，
，
将点代入抛物线中得，即，
抛物线的对称轴；
抛物线经过点且对称轴，
由抛物线的对称性可知抛物线也一定过的对称点，
时，如图，

将代入抛物线得，
抛物线与线段恰有一个公共点，
，
，
将代入抛物线得，
，
解得，
；
时，如图，

将代入抛物线得，
抛物线与线段恰有一个公共点，
，
解得；
当抛物线的顶点在线段上时，则顶点为，如图，

将点代入抛物线得，
解得．
综上所述，的取值范围为或或． 

【解析】根据坐标轴上点的坐标特征可求点的坐标，根据平移的性质可求点的坐标；
根据坐标轴上点的坐标特征可求点的坐标，进一步求得抛物线的对称轴；
结合图形，分三种情况：；，抛物线的顶点在线段上；进行讨论即可求解．
本题考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数的性质以及解一元一次不等式，解题的关键是分类讨论和数形结合的思想方法．
 

30.【答案】解：补全图形如图：


如图，延长，交于点，
四边形是正方形，
，，
将线段绕点顺时针旋转得到线段，
，，
，
≌，
，，
，
，
，
；

．
证明：连接，如图，
线段绕点顺时针旋转得到线段，
，，
四边形是正方形，
，，
．
≌，
，，
在中，，
，
在中，，
又，，
． 

【解析】根据要求画出图形，即可得出结论；
由旋转的性质可得，，由“”可证≌，可得，，由平角的性质和四边形内角和定理可得，即可得出结论；
连接，如图，只要证明≌，，即可解决问题．
此题是四边形综合题，主要考查正方形的性质，旋转变换、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．