九年级下册人教版二十六章第一节反比例函数（提高）知识讲解学案

反比例函数（提高）

【学习目标】

1. 理解反比例函数的概念和意义，能根据问题的反比例关系确定函数解析式．

2. 能根据解析式画出反比例函数的图象，初步掌握反比例函数的图象和性质．

3. 会用待定系数法确定反比例函数解析式，进一步理解反比例函数的图象和性质．

4. 会解决一次函数和反比例函数有关的问题．

【要点梳理】

要点一、反比例函数的定义

一般地，形如 (为常数，)的函数称为反比例函数，其中是自变量，是函数，自变量的取值范围是不等于0的一切实数.

要点诠释：（1）在中，自变量是分式的分母，当时，分式无意义，所以自变量的取值范围是，函数的取值范围是.故函数图象与轴、轴无交点.

　　（2） ()可以写成()的形式，自变量的指数是－1，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一条件.

（3） ()也可以写成的形式，用它可以迅速地求出反比例函数的比例系数，从而得到反比例函数的解析式.

要点二、确定反比例函数的关系式

    确定反比例函数关系式的方法仍是待定系数法，由于反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要知道一对的对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出的值，从而确定其解析式.

　　用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤是：

　 （1）设所求的反比例函数为： ()；

（2）把已知条件（自变量与函数的对应值）代入关系式，得到关于待定系数的方程；

（3）解方程求出待定系数的值；

（4）把求得的值代回所设的函数关系式 中.

要点三、反比例函数的图象和性质

　　1、 反比例函数的图象特征：

反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限；反比例函数的图象关于原点对称，永远不会与轴、轴相交，只是无限靠近两坐标轴.

要点诠释：（1）若点()在反比例函数的图象上，则点()也在此图象上，所以反比例函数的图象关于原点对称；

（2）在反比例函数(为常数，) 中，由于，所以两个分支都无限接近但永远不能达到轴和轴．

2、画反比例函数的图象的基本步骤：

（1）列表：自变量的取值应以0为中心，在0的两侧取三对（或三对以上）互为相反数的值，填写值时，只需计算右侧的函数值，相应左侧的函数值是与之对应的相反数；

（2）描点：描出一侧的点后，另一侧可根据中心对称去描点；

（3）连线：按照从左到右的顺序连接各点并延伸，连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线.注意双曲线的两个分支是断开的，延伸部分有逐渐靠近坐标轴的趋势，但永远不与坐标轴相交；

（4）反比例函数图象的分布是由的符号决定的：当时，两支曲线分别位于第一、三象限内，当时，两支曲线分别位于第二、四象限内．

 3、反比例函数的性质

（1）如图1，当时，双曲线的两个分支分别位于第一、三象限，在每个象限内，值随值的增大而减小；

　 （2）如图2，当时，双曲线的两个分支分别位于第二、四象限，在每个象限内，值随值的增大而增大；

    要点诠释：反比例函数的增减性不是连续的，它的增减性都是在各自的象限内的增减情况，反比例函数的增减性都是由反比例系数的符号决定的；反过来，由双曲线所在的位置和函数的增减性，也可以推断出的符号.

要点四：反比例函数()中的比例系数的几何意义

过双曲线() 上任意一点作轴、轴的垂线，所得矩形的面积为.

过双曲线() 上任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点和原点，所得三角形的面积为.

     要点诠释：只要函数式已经确定，不论图象上点的位置如何变化，这一点与两坐标轴的垂线和两坐标轴围成的面积始终是不变的.

【典型例题】

类型一、反比例函数定义

1、当为何值时是反比例函数？

【思路点拨】根据反比例函数解析式，也可以写成的形式，后一种表达方法中的次数为-1，由此可知函数是反比例函数，要具备的两个条件为且，二者必须同时满足，缺一不可．

【答案与解析】

解：令由①得，＝±1，由②得，≠1．

综上，＝－1，即＝－1时，是反比例函数．

【总结升华】反比例函数解析式的三种形式：①；②；③．

类型二、确定反比例函数解析式

【高清课堂 反比例函数  例2】

2、（2014春•裕民县校级期中）正比例函数y=2x与双曲线的一个交点坐标为A（2，m）．

（1）求出点A的坐标；

（2）求反比例函数关系式．

【答案与解析】

解：（1）将A点坐标是（2，m）代入正比例y=2x中，得：m=4，

则A（2，4）；

（2）将A（2，4）代入反比例解析式中，得：4=，即k=8，

则反比例函数解析式y=．

【总结升华】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用了待定系数法，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．

举一反三：

【变式】已知，与成正比例，与成反比例，且当＝1时，＝7；当＝2时，＝8．

(1) 与之间的函数关系式；

(2)自变量的取值范围；

(3)当＝4时，的值．

【答案】

解：(1)∵  与成正比例，

∴  设．

∵  与成反比例，

∴  设．

∴  ．

把与分别代入上式，得

∴ 

所以与的函数解析式为．

(2)自变量的取值范围是≠0．

(3)当＝4时，．

类型三、反比例函数的图象和性质

3、若A(，)、B(，)在函数的图象上，当、满足________时，.

【答案】或或；  

【解析】的图象在一、三象限，在每个象限内，随着的增大，函数值减小，所以或时，.当B点在三象限，A点在一象限，即，也满足.

【总结升华】反比例函数的增减性是在每个象限内讨论的，A、B两点要分成同在一象限、同在三象限和分属一、三象限讨论，这样才能把情况考虑完整.

举一反三：

【变式】（2014春•邓州市校级期中）已知四个函数y=﹣x+1，y=2x﹣1，y=﹣，y=，其中y随x的增大而减小的有（　　）个．

 A.4       B. 3        C. 2      D. 1  

【答案】D；

提示：解：y=﹣x+1中k=﹣1＜0，所以y随x的增大而减小，正确；

y=2x﹣1中k=2＞0，所以y随x的增大而增大，故本选项，错误；

y=﹣是反比例函数，其增减性必须强调在双曲线的每一支上，故错误；

y=是反比例函数，其增减性必须强调在双曲线的每一支上，故错误．

故选D．

类型四、反比例函数综合

4、如图所示，反比例函数的图象与一次函数的图象交于M(2，)，N(－1，－4)两点.

(1)求反比例函数和一次函数的关系式；

(2)根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数值的的取值范围．

【思路点拨】(1)由点N的坐标为(－1，－4)，根据待定系数法可求反比例函数的关系式．从而求出点M的坐标．再根据M、N的坐标，用待定系数法可求出一次函数的关系式；(2)结合图象位置和两交点的坐标，可得到使反比例函数大于一次函数的值的的取值范围．

【答案与解析】

解：(1)设反比例函数的关系式为．

由N(－1，－4)，得，

∴  ＝4．

∴  反比例函数的关系式为．

∵  点M(2，)在双曲线上，

∴  ．

∴  点M(2，2)．

设一次函数的关系式为，由M(2，2)、N(－1，－4)，得

  解得

∴  一次函数的关系式为．

(2)由图象可知，当＜－1或0＜＜2时，反比例函数的值大于一次函数的值．

【总结升华】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数的交点坐标同时满足两个函数的解析式．也考查了待定系数法确定函数解析式以及观察函数图象的能力．

举一反三：

【变式】如图所示，已知正比例函数的图象与反比例函数的图象交于点A(3，2)．

（1）试确定上述正比例函数和反比例函数的表达式．

（2）根据图象回答，在第一象限内，当取何值时，反比例函数的值大于正比例函数的值？

（3）M()是反比例函数图象上的一动点，其中0＜＜3，过点M作直线MB ∥轴，交轴于点B；过点A作直线AC∥轴交轴于点C，交直线MB于点D．当四边形OADM的面积为6时，请判断线段BM与DM的大小关系，并说明理由．

【答案】

解：（1）将A(3，2)分别代入，中，得，3＝2．

∴  ＝6，．

∴  反比例函数的表达式为，正比例函数的表达式为．

（2）观察图象，在第一象限内，当0＜＜3时，反比例函数的值大于正比例函数的值．

（3）BM＝DM．

理由：∵  ，

∴  ，

即OC·OB＝12．

∵  OC＝3，∴  OB＝4，即＝4．

∴  ．∴  ，．

∴  MB＝MD．