2022届中考典型解答题专题练习：二次函数与纯代数的综合

这是一份2022届中考典型解答题专题练习：二次函数与纯代数的综合，共17页。试卷主要包含了解答题等内容，欢迎下载使用。
一、解答题（共10小题；共130分）
1. 如图，开口向下的抛物线与 x 轴交于点 A−1,0，B2,0，与 y 轴交于点 C0,4，点 P 是第一象限内抛物线上的一点．
（1）求该抛物线所对应的函数解析式；
（2）设四边形 CABP 的面积为 S，求 S 的最大值．

2. 如图 1，抛物线 y=ax2+bx+3a≠0 与 x 轴交于点 A−3,0 和 B1,0，与 y 轴交于点 C，顶点为 D．
（1）求抛物线解析式．
（2）连接 AD，CD，BC，将 △OBC 沿着 x 轴以每秒 1 个单位长度的速度向左平移，得到 △OʹBʹCʹ，点 O，B，C 的对应点分别为 Oʹ，Bʹ，Cʹ，设平移时间为 t 秒，当点 Oʹ 与点 A 重合时停止移动．记 △OʹBʹCʹ 与四边形 AOCD 的重叠部分的面积为 S，请直接写出 S 与时间 t 的函数解析式．
（3）如图 2，过抛物线上任意一点 Mm,n 向直线 l：y=92 作垂线，垂足为 E，试问在该抛物线的对称轴上是否存在一点 F，使得 ME−MF=14?若存在，请求 F 点的坐标；若不存在，请说明理由．

3. 如图，两条抛物线 y1=−x2+4，y2=−15x2+bx+c 相交于 A，B 两点，点 A 在 x 轴负半轴上，且为抛物线 y2 的最高点．
（1）求抛物线 y2 的解析式和点 B 的坐标；
（2）点 C 是抛物线 y1 上 A，B 之间的一点，过点 C 作 x 轴的垂线交 y2 于点 D，当线段 CD 取最大值时，求 S△BCD．

4. 已知直线 y=kx−2 与抛物线 y=x2−bx+c（b，c 为常数，b>0）的一个交点为 A−1,0，点 Mm,0 是 x 轴正半轴上的动点．
（1）当直线 y=kx−2 与抛物线 y=x2−bx+c（b，c 为常数，b>0）的另一个交点为该抛物线的顶点 E 时，求 k，b，c 的值及抛物线顶点 E 的坐标；
（2）在（1）的条件下，设该抛物线与 y 轴的交点为 C，若点 Q 在抛物线上，且点 Q 的横坐标为 b，当 S△EQM=12S△ACE 时，求 m 的值；
（3）点 D 在抛物线上，且点 D 的横坐标为 b+12，当 2AM+2DM 的最小值为 2724 时，求 b 的值．

5. 已知抛物线 y=−x2+bx+c 经过点 C0,3，与 x 轴交于 A，B 两点，点 A−1,0．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）D 为抛物线对称轴上一点，当 △ACD 的周长最小时，求点 D 的坐标；
（3）在抛物线上是否存在一点 P，使 CP 恰好将以 A，B，C，P 为顶点的四边形的面积分为相等的两部分?若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．

6. 如图 1，抛物线 y=ax2+bx−2 与 x 轴交于两个不同的点 A−1,0，B4,0，与 y 轴交于点 C．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）如图 2，连接 BC，作垂直于 x 轴的直线 x=m，与抛物线交于点 D，与线段 BC 交于点 E，连接 BD 和 CD，求当 △BCD 面积的最大值时，线段 ED 的值；
（3）在（2）中 △BCD 面积最大的条件下，如图 3，直线 x=m 上是否存在一个以 Q 点为圆心，OQ 为半径且与直线 AC 相切的圆?若存在，求出圆心 Q 的坐标；若不存在，请说明理由．

7. 如图，抛物线 y=ax2−34x+c 与 x 轴相交于点 A2,0，B4,0，与 y 轴相交于点 C，连接 AC，BC，以线段 BC 为直径作 ⊙M，过点 C 作直线 CE∥AB，与抛物线和 ⊙M 分别交于点 D，E，点 P 在 BC 下方的抛物线上运动．
（1）求该抛物线的解析式．
（2）当 △PDE 是以 DE 为底边的等腰三角形时，求点 P 的坐标．
（3）当四边形 ACPB 的面积最大时，求点 P 的坐标并求出最大值．

8. 已知 O 为坐标原点，抛物线 y1=ax2+bx+ca≠0 与 x 轴相交于点 Ax1,0，Bx2,0，与 y 轴交于点 C，且 O，C 两点之间的距离为 3，x1⋅x20 个单位，记平移后 y 随着 x 的增大而增大的部分为 P，直线 y2 向下平移 n 个单位，当平移后的直线与 P 没有公共点时，求 3n2−7n 的最小值．

9. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=−x2+bx+c 经过点 A−5,0 和点 B1,0．
（1）求抛物线的解析式及顶点 D 的坐标．
（2）点 P 是抛物线上 A，D 之间的一点，过点 P 作 PE⊥x 轴于点 E，PG⊥y 轴，交抛物线于点 G，过点 G 作 GF⊥x 轴于点 F，当矩形 PEFG 的周长最大时，求点 P 的横坐标．

10. 如图，已知抛物线经过原点 O，顶点为 A1,1，且与直线 y=x−2 交于 B，C 两点．
（1）求抛物线的解析式及点 C 的坐标；
（2）求 △ABC 的面积；
（3）若点 N 为 x 轴上的一个动点，过点 N 作 MN⊥x 轴与抛物线交于点 M，则是否存在以 O，M，N 为顶点的三角形与 △ABC 相似?若存在，请求出点 N 的坐标；若不存在，请说明理由．
答案
第一部分
1. （1） ∵A−1,0，B2,0，C0,4，
设抛物线表达式为：y=ax+1x−2，
将 C 代入得：4=−2a，
解得：a=−2，
∴ 该抛物线的解析式为：y=−2x+1x−2=−2x2+2x+4；
（2） 连接 OP，
设点 P 坐标为 m,−2m2+2m+4，m>0，
∵A−1,0，B2,0，C0,4，
可得：OA=1，OC=4，OB=2，
∴S=S四边形CABP=S△OAC+S△OCP+S△OPB=12×1×4+12×4m+12×2×−2m2+2m+4=−2m2+4m+6=−2m−12+8.
当 m=1 时，S 最大，最大值为 8．
2. （1） 将 A−3,0 和 B1,0 代入抛物线解析式 y=ax2+bx+3 中，可得：a=−1，b=−2．
∴ 抛物线解析式为 y=−x2−2x+3．
（2） ①如图 1 所示，当 0