2022届中考典型解答题专题练习：二次函数与一次函数综合（三）

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一、解答题（共20小题；共260分）
1. 已知二次函数 y=x2−2mx+m2+m−1（m 是常数）．
（1）求证：不论 m 为何值，该函数的图象的顶点都在函数 y=x−1 的图象上．
（2）若该函数的图象与函数 y=x+b 的图象有两个交点，则 b 的取值范围为
A．b>0
B．b>−1
C．b>−54
D．b>−2
（3）该函数图象与坐标轴交点的个数随 m 的值变化而变化，直接写出交点个数及对应的 m 的取值范围．

2. 在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=2x2+mx+n 经过点 A0,−2，B3,4．
（1）求抛物线的表达式及顶点 M 的坐标．
（2）线段 OB 绕点 O 旋转 180∘ 得到线段 OC，点 D 是抛物线对称轴上一动点，记抛物线在 A，B 之间的部分为图象 W（包含 A，B 两点），结合函数图象．
①若直线 CD 与图象 W 有公共点，求 S△CMD 的最大值．
②若直线 CD 与图象 W 没有公共点，直接写出点 D 纵坐标 t 的取值范围．

3. 在平面直角坐标系 xOy 中，点 A0,2，Bp,q 在直线 l 上，抛物线 m 经过点 B，Cp+4,q，且它的顶点 N 在直线 l 上．
（1）若 B−2,1，
①请在如图的平面直角坐标系中画出直线 l 与抛物线 m 的示意图；
②设抛物线 m 上的点 Q 的横坐标为 e−2≤e≤0 过点 Q 作 x 轴的垂线，与直线 l 交于点 H．若 QH=d，当 d 随 e 的增大而增大时，求 e 的取值范围；
（2）抛物线 m 与 y 轴交于点 F，当抛物线 m 与 x 轴有唯一交点时，判断 △NOF 的形状并说明理由．

4. 如图，直线 AB 过 x 轴上的点 A2,0，且与抛物线 y=ax2 相交于 B，C 两点，点 B 的坐标为 1,1．
（1）求直线和抛物线的函数解析式；
（2）如果抛物线上有一点 D，使得 S△OBC=S△OAD，求点 D 的坐标．

5. 如图，二次函数 y=12x2+bx+c 的图象交 x 轴于 A，D 两点并经过 B 点，已知 A 点坐标是 2,0，B 点的坐标是 8,6．
（1）求二次函数的解析式；
（2）求函数图象的顶点坐标及 D 点的坐标；
（3）该二次函数的对称轴交 x 轴于 C 点，连接 BC，并延长 BC 交抛物线于 E 点，连接 BD，DE，求 △BDE 的面积．

6. 如图，二次函数的图象与 x 轴交于 A−3,0 和 B1,0 两点，交 y 轴于点 C0,3，点 C，D 是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点 B，D．
（1）求二次函数的解析式；
（2）根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的 x 的取值范围；
（3）若直线与 y 轴的交点为 E，连接 AD，AE，求 △ADE 的面积．

7. 如图，对称轴为直线 x=1 的抛物线 y=x2+bx+c 与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C，连接 AC，AD，其中 A 点坐标 −1,0．
（1）求抛物线的解析式；
（2）直线 y=32x−3 与抛物线交于点 C，D，与 x 轴交于点 E，求 △ACD 的面积；
（3）在直线 CD 下方抛物线上有一点 Q，过 Q 作 QP⊥y 轴交直线 CD 于点 P，四边形 PQBE 为平行四边形，求点 Q 的坐标．

8. 如图，一次函数 y=−12x+2 分别交 y 轴，x 轴于 A，B 两点，抛物线 y=−x2+bx+c 过 A，B 两点．
（1）求这个抛物线的解析式；
（2）作垂直 x 轴的直线 x=t，在第一象限交直线 AB 于 M，交这个抛物线于 N．求当 t 取何值时，MN 有最大值?最大值是多少?

9. 如图，点 P 在直线 y=x−1 上，设过点 P 的直线交抛物线 y=x2 于 Aa,a2，Bb,b2 两点，当满足 PA=PB 时，称点 P 为“优点”.
（1）当 a+b=0 时，求“优点”P 的横坐标；
（2）若“优点”P 的横坐标为 3，求式子 18a−9b 的值；
（3）小安演算发现：直线 y=x−1 上的所有点都是“优点”，请判断小安发现是否正确?如果正确，说明理由；如果不正确，举出反例．

10. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=−x2+bx+c 经过点 A4,0，B−1,0，交 y 轴于点 C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点 D 是线段 AC 上一动点，过点 D 作 DE 垂直于 x 轴于点 E，交抛物线于点 F，求线段 DF 的长度最大值．

11. 如图，已知抛物线 y=x−22 的顶点为 C，直线 y=2x+4 与抛物线交于 A，B 两点，求 △ABC 的面积．

12. 已知抛物线 y=ax2+1a≠0 与直线 y=−3x+3 交于点 −1,b．
（1）求 a，b 的值；
（2）求抛物线与 y=x+5 的两交点及顶点所构成的三角形的面积．

13. 若直线 y=−2x+3 与抛物线 y=ax2−2 相交于 A，B 两点，且 A 点的坐标为 −3,9，求抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标．

14. 如图，一次函数 y=−34x+m 的图象与 x 轴、 y 轴分别相交于点 A 和点 B，二次函数 y=−14x2+bx+6 的图象经过 A，B 两点．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）求二次函数的解析式；
（3）如果点 C 在这个二次函数的图象上，且点 C 的横坐标为 5，求 tan∠CAB 的值．

15. 已知两个函数：y1=ax+4，y2=ax−1ax−4a≠0．
（1）求证：y1，y2 的图象均经过点 M0,4；
（2）当 a>0，−2≤κ≤2 时，若 y=y2−y1 的最大值为 4，求 a 的值；
（3）当 a>0，x0 分别相交于点 P，Q．
（1）如图，函数 F1 为 y=x+1，当 t=2 时，PQ 的长为 ；
（2）函数 F1 为 y=3x，当 PQ=6 时，t 的值为 ；
（3）函数 F1 为 y=ax2+bx+ca≠0．
①当 t=bb 时，求 △OPQ 的面积；
②若 c>0，函数 F1 和 F2 的图象与 x 轴正半轴分别交于点 A5,0，B1,0，当 c≤x≤c+1 时，设函数 F1 的最大值和函数 F2 的最小值的差为 h，求 h 关于 c 的函数解析式，并直接写出自变量 c 的取值范围．

17. 在平面直角坐标系 xOy 中，二次函数 y=mx2+2mx−2m≠0 的图象与 y 轴交于点 A，其对称轴与 x 轴交于 B．
（1）求点 A，B 的坐标；
（2）设直线 l 与直线 AB 关于二次函数图象的对称轴对称，求直线 l 的表达式；
（3）若二次函数图象在 11 时，该函数图象与 y 轴有一个交点，
∴ 当 m>1 时，该函数图象与坐标轴交点的个数为 1；
②当函数的图象的顶点在 x 轴以及经过原点时，
由于函数的图象的顶点在函数 y=x−1 的图象上．
∴ 当 y=0 时，x=1，即 m=；
当图象经过原点时，即 m2+m−1=0，
解得，m1=−1+52，m2=−1−52，
∴ 当 m=1，m=−1+52，m=−1−52 时，该函数图象与坐标轴交点的个数为 2；
③当 m