2022届中考典型解答题专题练习：一次函数与四边形综合问题（三）

这是一份2022届中考典型解答题专题练习：一次函数与四边形综合问题（三），共17页。试卷主要包含了解答题等内容，欢迎下载使用。
一、解答题（共10小题；共130分）
1. 如图，四边形 OABC 是矩形，点 A 的坐标为 3,0，点 C 的坐标为 0,6，点 P 从点 O 出发，沿 OA 以每秒 1 个单位长度的速度向点 A 出发，同时点 Q 从点 A 出发，沿 AB 以每秒 2 个单位长度的速度向点 B 运动，当点 P 与点 A 重合时运动停止．设运动时间为 t 秒．
（1）当 t=2 时，线段 PQ 的中点坐标为 ．
（2）当 △CBQ 与 △PAQ 相似时，求 t 的值；
（3）连接 OB，若以 PQ 为直径作 ⊙M，则在运动过程中，是否存在某一时刻 t，使得 ⊙M 与 OB 相切，若存在，求出时间 t；若不存在，请说明理由．

2. 如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，直线 l1:y=kx+4 与 y 轴交于点 A，与 x 轴交于点 B．
（1）请直接写出点 A 的坐标： ．
（2）点 P 为线段 AB 上一点，且点 P 的横坐标为 m，现将点 P 向左平移 3 个单位，再向下平移 4 个单位，得点 Pʹ 在射线 AB 上．
①求 k 的值．
②若点 M 在 y 轴上，平面内有一点 N，使四边形 AMBN 是菱形，请求出点 N 的坐标．
③将直线 l1 绕着点 A 顺时针旋转 45∘ 至直线 l2，求直线 l2 的解析式．

3. 如图，直线 PA 是一次函数 y=x+nn>0 的图象，直线 PB 是一次函数 y=−2x+mm>n 的图象．若 PA 与 y 轴交于点 Q，且 S四边形PQOB=56，AB=2，求 m+2n2m+n 的值．

4. 解答下列问题．
（1）如图 1，在四边形 ABCD 中，AB=BC=CD=DA=5 cm，BD=8 cm．则 AC= cm；
（2）在宽为 8 cm 的长方形纸带上，用图 1 中的四边形设计如图 2 所示的图案．
①如果用 7 个图 1 中的四边形设计图案，那么至少需要 cm 长的纸带；
②设图 1 中的四边形有 x 个，所需的纸带长为 y cm，求 y 与 x 之间的函数表达式；
③在长为 40 cm 的纸带上，按照这种方法，最多能设计多少个图 1 中的四边形?

5. 如图，在平面直角坐标系中，边长为 3 的正方形 ABCD 在第一象限内，AB∥x轴，点 A 的坐标为 5,4 经过点 O 、点 C 作直线 l，将直线 l 沿 y 轴上下平移．
（1）当直线 l 与正方形 ABCD 只有一个公共点时，求直线 l 的解析式；
（2）当直线 l 在平移过程中恰好平分正方形 ABCD 的面积时，直线 l 分别与 x 轴、 y 轴相交于点 E 、点 F，连接 BE，BF，求 △BEF 的面积．

6. 如图 1，在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，长方形 OACB 的顶点 A，B 分别在 x 轴与 y 轴上，已知 OA=6，OB=10，点 D 为 y 轴上一点，其坐标为 0,2，点 P 从点 A 出发以每秒 2 个单位的速度沿线段 AC−CB 的方向运动，当点 P 与点 B 重合时停止运动，运动时间为 t 秒．
（1）当点 P 经过点 C 时，求直线 DP 的函数解析式．
（2）完成下列问题：
①求 △OPD 的面积 S 关于 t 的函数表达式．
②如图 2，把长方形沿着 OP 折叠，点 B 的对应点 Bʹ 恰好落在 AC 边上，求此时点 P 的坐标．
（3）点 P 在运动过程中是否存在使 △BDP 为等腰三角形?若存在，请求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．

7. 如图，直线 l 与 x 轴，y 轴分别交于 M，N 两点，且 OM=ON=3．
（1）求这条直线的函数表达式；
（2）Rt△ABC 与直线 l 在同一个平面直角坐标系内，其中 ∠ABC=90∘，AC=25，A1,0，B3,0，将 △ABC 沿着 x 轴向左平移，当点 C 落在直线 l 上时，求线段 AC 扫过的面积．

8. 已知，矩形 ABCD 中，AB=4 cm，BC=8 cm，AC 的垂直平分线 EF 分别交 AD，BC 于点 E，F，垂足为 O．
（1）如图 1，连接 AF，CE，求证：四边形 AFCE 为菱形；
（2）如图 1，求 AF 的长；
（3）如图 2，动点 P，Q 分别从 A，C 两点同时出发，沿 △AFB 和 △CDE 各边匀速运动一周．即点 P 自 A→F→B→A 停止，点 Q 自 C→D→E→C 停止．在运动过程中，点 P 的速度为每秒 1 cm，设运动时间为 t 秒．若点 Q 的速度为每秒 0.8 cm，当 A，P，C，Q 四点为顶点的四边形是平行四边形时，求 t 的值．

9. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 AB：y=23x+4 交 x 轴于点 A，交 y 轴于点 B．直线 CD：y=−13x−1 与直线 AB 相交于点 M，交 x 轴于点 C，交 y 轴于点 D．
（1）直线写出点 B 和点 D 的坐标．
（2）若点 P 是射线 MD 上的一动点，设点 P 的横坐标是 x，△PBM 的面积是 S，求 S 与 x 之间的函数关系．
（3）当 S=20 时，平面直角坐标系内是否存在点 E，使以点 B，E，P，M 为顶点的四边形是平行四边形?若存在，请直接写出 P 点坐标并求出所有符合条件的点 E 的坐标；若不存在，说明理由．

10. 在直角梯形 OABC 中，CB∥OA，∠COA=90∘，CB=3，OA=6，BA=35．分别以 OA，OC 边所在直线为 x 轴，y 轴建立如图 1 所示的平面直角坐标系．
（1）求点 B 的坐标；
（2）已知 D，E 分别为线段 OC，OB 上的点，OD=5，OE=2EB，直线 DE 交 x 轴于点 F，过点 E 作 EG⊥x 轴于 G，且 EG:OG=2．求直线 DE 的解析式；
（3）点 M 是（2）中直线 DE 上的一个动点，在 x 轴上方的平面内是否存在另一点 N，使以 O，D，M，N 为顶点的四边形是菱形?若存在，请求出点 N 的坐标；若不存在，请说明理由．
答案
第一部分
1. （1） 52,2
【解析】当 t=2 时，点 P 的坐标为 2,0，点 Q 的坐标为 3,4，
∴ 线段 PQ 的中点坐标为 2+32,0+42，即 52,2．
（2） 当运动时间为 t0≤t≤3 秒时，点 P 的坐标为 t,0，点 Q 的坐标为 3,2t，
∴PA=3−t，QA=2t，QB=6−2t，CB=3．
∵∠B=∠A=90∘，
∴ 当 PACB=QAQB 或 PAQB=QACB 时，△CBQ 与 △PAQ 相似．
当 PACB=QAQB 时，3−t3=2t6−2t，
解得：t1=9−352，t2=9+352（不合题意，舍去）；
当 PAQB=QACB 时，3−t6−2t=2t3，解得：t=34．
综上所述：t 的值为 34 或 9−352．
（3） 当运动时间为 t0≤t≤3 秒时，点 P 的坐标为 t,0，点 Q 的坐标为 3,2t，
∴ 点 M 的坐标为 t+32,t．
∵t=t+32×2−3，
∴ 点 M 在直线 y=2x−3 上．
设直线 y=2x−3 与 x 轴交于点 E，与线段 AB 交于点 F，则点 F 的坐标为 3,3，
∴ 点 F 为线段 AB 的中点．
∵ 四边形 OABC 是矩形，点 A 的坐标为 3,0，点 C 的坐标为 0,6，
∴ 点 B 的坐标为 3,6，
∴ 直线 OB 的解析式为 y=2x，
∴ 直线 OB∥ 直线 EF．
过点 A 作 AD⊥OB 于点 D，AD 交直线 EF 于点 M，如图所示．
∵ 直线 OB∥ 直线 EF，
∴MF 为 △ABD 的中位线，
∴ 点 M 为线段 AD 的中点，
∴ 此时 ⊙M 与 OB 相切．
∵AD⊥OB，点 A 的坐标为 3,0，
∴ 直线 AD 的解析式为 y=−12x−3，即 y=−12x+32．
联立直线 AD，EF 的解析式成方程组，
得：y=−12x+32,y=2x−3, 解得：x=95,y=35,
∴ 点 M 的坐标为 95,35，
∴t=35，
∴ 在运动过程中，存在某一时刻 t，使得 ⊙M 与 OB 相切，此时 t 的值为 35．
2. （1） 0,4
【解析】∵y=kx+4 与 y 轴交于点 A，
∴A0,4．
（2） ①由题意得：Pm,km+4，
∴Pʹm−3,km，
∵Pʹm−3,km 在射线 AB 上，
∴km−3+4=km，
解得：k=43．
②如图 1 中，作 AB 的中垂线与 y 轴交于 M 点，连接 BM，分别作 AM，BM 的平行线，相交于点 N，则四边形 AMBN 是菱形．
设 M0,t，则 AM=BM=4−t，
在 Rt△BOM 中，OB2+OM2=BM2，
即 32+t2=4−t2，
解得：t=78，
∴M0,78，
∴OM=78，BN=AM=4−78=258，
∴N−3,258．
③如图 2 中，过点 B 作 BC⊥l1，交 l2 于点 C，过点 C 作 CD⊥x 轴于 D．
则 ∠AOB=∠BDC=90∘，
∵∠BAC=45∘，
∴△ABC 是等腰直角三角形，
∴AB=BC，∠ABO+∠CBD=90∘，
又 ∠ABO+∠BAO=90∘，
∴∠BAO=∠CBD，
∴△AOB≌△BDCAAS，
∴AO=BD=5，OB=DC=3，
∴OD=OB+BD=3+4=7，
∴C−7,3，
设直线 l2 的解析式为：y=ax+4，
则 −7a+4=3，
解得：a=17．
∴ 直线 l2 的解析式为：y=17x+4．
3. 根据题意得：点 A 的坐标为 −n,0，点 Q 的坐标为 0,n，点 B 的坐标为 m2,0，
∵ 点 P 是 PA 与 PB 的交点，
∴y=x+n,y=−2x+m, 解得：x=m−n3,y=m+2n3,
∴ 点 P 的坐标为：m−n3,m+2n3，
∵AB=2，
∴OA+OB=n+m2=m+2n2=2，
∴m+2n=4，
∵S四边形PQOB=56，
∴S△PAB−S△AOQ=12×2×m+2n3−12n×n=43−12n2=56，
解得：n=1，
∴m=2，
∴m+2n2m+n=2+2×12×2+1=45．
4. （1） 6
【解析】如图 1 中，设菱形的对角线交于点 O．
∵ 四边形 ABCD 是菱形，
∴AC⊥BD，OD=OB=4 cm，
∴OA=OC=AD2−OD2=52−42=3cm，
∴AC=2OA=6 cm．
（2） ① 24
②由题意 y=6+3x−1=3x+3．
③由题意 y=40，40=3x+3，解答 x=373≈12，
∴ 在长为 40 cm 的纸带上，按照这种方法，最多能设计 12 个图 1 中的四边形．
【解析】①用 7 个图 1 中的四边形设计图案，6+6×3=24 cm，
∴ 用 7 个图 1 中的四边形设计图案，那么至少需要 24 cm．
5. （1） ∵ 长为 3 的正方形 ABCD 中，点 A 的坐标为 5,4，
∴B2,4，C2,1，D5,1，
设直线 l 的解析式为 y=kx，
把 C2,1 代入得，1=2k，解得 k=12，
∴ 直线 l 为 y=12x，
设平移后的直线方程为 y=12x+b，
把点 B 的坐标代入，得 4=12×2+b，
解得 b=3，
把点 D 的坐标代入，得 1=12×5+b，
解得 b=−32，
则平移后的直线 l 解析式为：y=12x+3 或 y=12x−32；
（2） 设 AC 和 BD 的交点为 P，
∴P 点的坐标为 72,52，
把 P 点的坐标代入 y=12x+b 得，
52=12×72+b，
解得 b=34，
∴ 此时直线 l 的解析式为 y=12x+34，如图，
∴E−32,0，F0,34，
设直线 BE 的解析式为 y=mx+n，
∴−32m+n=0,2m+n=4, 解得 m=87,n=127,
∴Q0,127，
∴QF=127−34=2728，
∴△BEF 的面积 =12×2728×32+2=2716．
6. （1） ∵OA=6，OB=10，四边形 OACB 为长方形，
∴C6,10，
设此时直线 DP 解析式为 y=kx+b，
把 0,2，C6,10 分别代入，
得 b=2,6k+b=10, 解得 k=43,b=2,
则此时直线 DP 解析式为 y=43x+2．
（2） ①当点 P 在线段 AC 上，OD=2，高为 6，S=6，
当点 P 在线段 BC 上时，OD=2，高为 6+10−2t=16−2t，
S=12×2×16−2t=−2t+16．
②设 Pm,10，则 PB=PBʹ=m，如图，
∵OBʹ=OB=10，OA=6，
∴ABʹ=OBʹ2−OA2=8，
∴BʹC=10−8=2，
∵PC=6−m，
∴m2=22+6−m2，解得 m=103，
则此时点 P 的坐标是 103,10．
（3） 若 △BDP 为等腰三角形，分三种情况考虑：如图．
①当 BD=BP1=OB−OD=8，在 Rt△BCP1 中，BP1=8，BC=6，
根据勾股定理得：CP1=82−62=27，
∴AP1=10−27，即 P16,10−27；
②当 BP2=DP2 时，此时 P26,6；
③当 DB=DP3=8 时，在 Rt△DEP3 中，DE=6，
根据勾股定理得：P3E=82−62=27，
∴AP3=AE+EP3=27+2，即 P36,27+2．
综上，满足题意的 P 坐标为 6,6 或 6,10−27 或 6,27+2．
7. （1） 设该直线的函数表达式为 y=kx+bk≠0，
∵OM=ON=3，且 M，N 分别在 x 轴负半轴、 y 轴负半轴上，
∴M−3,0，N0,−3．
将 M−3,0，N0,−3 代入 y=kx+b，
−3k+b=0,b=−3, 解得：k=−1,b=−3,
∴ 这条直线的函数表达式为 y=−x−3．
（2） ∵A1,0，B3,0，
∴AB=2．
∵∠ABC=90∘，AC=25，
∴BC=4，
∴C3,4．
设平移后点 A，C 的对应点分别为 Aʹ，Cʹ，
当 y=−x−3=4 时，x=−7，
∴Cʹ−7,4，
∴CCʹ=10．
∵ 线段 AC 扫过的四边形 ACCʹAʹ 为平行四边形，
∴S=CCʹ⋅BC=10×4=40．
答：线段 AC 扫过的面积为 40．
8. （1） 因为四边形 ABCD 是矩形，
所以 AD∥BC，
所以 ∠EAO=∠FCO，
因为 AC 的垂直平分线 EF，
所以 OA=OC，
在 △AOE 和 △COF 中，
∠EAO=∠FCO,OA=OC,∠AOE=∠COF,
所以 △AOE≌△COF（ASA），
所以 OE=OF，
因为 OA=OC，
所以四边形 AFCE 是平行四边形，
因为 EF⊥AC，
所以四边形 AFCE 是菱形．
（2） 因为四边形 AFCE 是菱形，
所以 AF=FC，
设 AF=x cm，
则 CF=x cm，BF=8−x cm，
因为四边形 ABCD 是矩形，
所以 ∠B=90∘，
所以在 Rt△ABF 中，、
由勾股定理得：42+8−x2=x2，
解得 x=5，
即 AF=5 cm．
（3） 分为三种情况：
第一、 P 在 AF 上，
因为 P 的速度是 1 cm/s，而 Q 的速度是 0.8 cm/s，
所以 Q 只能再 CD 上，此时当 A，P，C，Q 四点为顶点的四边形不是平行四边形；
第二、当 P 在 BF 上时，Q 在 CD 或 DE 上，只有当 Q 在 DE 上时，当 A，P，C，Q 四点为顶点的四边形才有可能是平行四边形，
如图，
因为 AQ=8−0.8t−4，CP=5+t−5，
所以 8−0.8t−4=5+t−5，
t=203，
第三情况：当 P 在 AB 上时，Q 在 DE 或 CE 上，此时当 A，P，C，Q 四点为顶点的四边形不是平行四边形；
所以 t=203．
9. （1） ∵ 点 B 是直线 AB：y=23x+4 与 y 轴的交点坐标，
∴B0,4，
点 D 是直线 CD：y=−13x−1 与 y 轴的交点坐标，
∴D0,−1．
（2） 如图，
∵ 直线 AB 与 CD 相交于 M，
∴M−5,23，
∵ 点 P 的横坐标为 x，
∴ 点 Px,−13x−1，
∵B0,4，D0,−1，
∴BD=5，
当 P 点在线段 MD 上时，
S=S△BDM−S△BDP=12×55+x=52x+252．
∵ 当 P 点在线段 MD 延长线上时，
S=S△BDM+S△BDP=12×55+x=52x+252．
综上所述，S 与 x 之间的函数关系为 S=52x+252．
（3） 如图，
由（1）知，S=52x+252，
当 S=20 时，52x+252=20，
∴x=3，
∴P3,−2，
①当 BP 是对角线时，取 BP 的中点 G,
连接 MG 并延长取一点 Eʹ 使 GEʹ=GE，
设 Eʹm,n，
∵B0,4，P3,−2，
∴BP 的中点坐标为 32,1，
∵M−5,23，
∴−5+m2=32，23+n2=1，
∴m=8，n=43，
∴Eʹ8,43，
②当 AB 为对角线时，同①的方法得，E−8,203，
③当 MP 为对角线时，同①的方法得，Eʺ−2,−163，
即：满足条件的点 E 的坐标为 8,43，−8,203，−2,−163．
10. （1） 如图过点 B 作 BBʹ⊥x 轴，垂足为点 Bʹ，如图 1 所示．
∵CB∥OA，∠COA=90∘，CB=3，OA=6，
∴OBʹ=CB=3，ABʹ=3．
在 Rt△ABBʹ 中，∠ABʹB=90∘，ABʹ=3，BA=35，
∴BBʹ=BA2−ABʹ2=6，
∴ 点 B 的坐标为 3,6．
（2） 如图 2 所示，
∵OC=6，BC=3，
∴OB=OC2+BC2=35，
∵OE=2EB，
∴OE=23OB=25，
又 ∵EG=2OG，OE2=EG2+OG2，
∴OG=2，EG=4，
∴ 点 E 的坐标为 2,4，
∵OD=5，
∴ 点 D 的坐标为 0,5，
设直线 DE 的解析式为 y=kx+bk≠0，
将点 D0,5，E2,4 代入 y=kx+b，得：b=5,2k+b=4,
解得：k=−12,b=5,，
∴ 直线 DE 的解析式为 y=−12x+5．
（3） 分三种情况考虑（如图 3 所示）：
①当 OD，DM 为边时，过点 D 作 DF⊥MN，垂足为 F，
∵ 直线 DE 的解析式为 y=−12x+5，
∴DF=2MF，
又 ∵DM=OD=5，
∴DF=25，MF=5，
∴ 点 M 的坐标为 −25,5+5 或 25,5−5，
∵ 四边形 ODMN 为菱形，
∴ 点 N 的坐标为 −25,5 或 25,−5（不合题意，舍去）；
②当 OD，OM 为边时，设点 M 的坐标为 x,−12x+5，
∵OM=OD=5，
∴x2+−12x+52=25，即 x2−4x=0，
解得：x1=0（舍去），x2=4，
∴ 点 M 的坐标为 4,3，
∵ 以 O，D，M，N 为顶点的四边形是菱形，
∴ 点 N 的坐标为 4,8 或 4,−1（不合题意，舍去）；
③当 OD 为对角线时，
∵ 四边形 OMDN 为菱形，
∴MN⊥OD，
∴ 点 M 的纵坐标为 52，
∴ 点 M 的坐标为 5,52，
∴ 点 N 的坐标为 −5,52．
综上所述：在 x 轴上方的平面内存在另一点 N，使以 O，D，M，N 为顶点的四边形是菱形，点 N 的坐标为 −25,5 或 4,8 或 −5,52．