专项训练2 垂径定理的四种应用技巧

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专项训练2　垂径定理的四种应用技巧 方法指导：垂径定理的巧用主要体现在求点的坐标、解决最值问题、解决实际问题等．解题时，巧用弦的一半、圆的半径和圆心到弦的垂线段三条线段组成的直角三角形，然后借助勾股定理，在这三个量中知道任意两个，可求出第三个．  巧用垂径定理求点的坐标1．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是(10，0)，点B的坐标是(8，0)，点C，D在以OA为直径的半圆M上， 且四边形OCDB是平行四边形，求点C的坐标．(第1题)    巧用垂径定理解决最值问题(对称思想)2．如图，AB，CD是半径为5的⊙O的两条弦，AB＝8，CD＝6，MN是直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F，P为直线EF上的任意一点，求PA＋PC的最小值．(第2题)    巧用垂径定理计算3．如图，CD为⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为点F，AO⊥BC，垂足为E，BC＝2.求：(1)AB的长；(2)⊙O的半径．(第3题)      巧用垂径定理解决实际问题(建模思想)4．某地有一座拱桥，它的桥拱是圆弧形，桥下的水面宽度为7.2 m，拱顶高出水面2.4 m，现有一艘宽3 m，船舱顶部为长方形并高出水面2 m的货船要经过这里，此货船能顺利通过这座拱桥吗？          参考答案1．解：如图，连接CM，作MN⊥CD于N，CH⊥OA于H.∵四边形OCDB为平行四边形，B点的坐标是(8，0)，∴CD＝OB＝8，CN＝MH，CH＝MN.又∵MN⊥CD，∴CN＝DN＝CD＝4.易知OA＝10，∴MO＝MC＝5.在Rt△MNC中，MN＝＝＝3.∴CH＝3.又OH＝OM－MH＝5－4＝1.∴点C的坐标为(1，3)．(第1题)2．解：如图，易知点C关于直线MN的对称点为点D，连接AD，交MN于点P，连接PC，易知此时PA＋PC最小且PA＋PC＝AD.过点D作DH⊥AB于点H，连接OA，OC.易知AE＝4，CF＝3，由勾股定理易得OE＝3，OF＝4，∴DH＝EF＝7，又AH＝AE＋EH＝4＋3＝7.∴AD＝7.即PA＋PC的最小值为7.(第2题)【解析】本题运用了转化思想，将分散的线段转化为一条线段，然后运用勾股定理求出线段的长度．3．解：(1)连接AC，∵CD为⊙O的直径，CD⊥AB，∴AF＝BF.∴AC＝BC.延长AE交⊙O于G，则AG为⊙O的直径，又AO⊥BC，∴BE＝CE.∴AC＝AB.∴AB＝BC＝2.(2)由(1)知AB＝BC＝AC，∴△ABC为等边三角形．∴∠BAC＝60°.∵AE⊥BC，∴∠EAB＝∠CAE＝∠CAB＝30°.即∠OAF＝30°，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　在Rt△OAF中，AF＝，易得OA＝2，即⊙O的半径为2.4．解：如图，AB为水面位置，若MN为货船顶部位置，则MN∥AB.设圆弧形桥拱AB所在圆的圆心为O，连接OA，ON，作OC⊥AB于点D，交于点C，交MN于点H，则OC⊥MN，由垂径定理可知，D为AB的中点，H为MN的中点．所以AD＝3.6 m，NH＝1.5 m.(第4题)设OA＝r m，则OD＝OC－DC＝(r－2.4)m.在Rt△AOD中，OA2＝AD2＋OD2，即r2＝3.62＋(r－2.4)2，解得r＝3.9.在Rt△OHN中，OH＝＝＝3.6(m)．所以DH＝OH－OD＝3.6－(3.9－2.4)＝2.1(m)．因为2.1 m＞2 m，所以此货船能顺利通过这座拱桥．