专题1 垂径定理

这是一份专题1 垂径定理，共43页。试卷主要包含了如图，的半径为3，弦，于点，则等内容，欢迎下载使用。

A．2B．C．3D．5
【分析】根据垂径定理得到AC=BC，然后利用勾股定理计算出OC即可
【解析】∵OC⊥AB
∴AC=BC
∵
∴BC=2
在Rt△BOC中，∵OB=3，BC=2
∴OC=
选B
【小结】考查垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理
2．如图，已知⊙O的直径，是⊙O的弦，，垂足为，，则的长为（ ）
A．2B．C．4D．
【分析】连接OB，根据勾股定理计算BM=，利用垂径定理，AB=2BM计算即可
【解析】连接OB
∵直径，，
∴BM===
根据垂径定理，得AB=2BM=，选D
【小结】本题考查了垂径定理，勾股定理，熟练掌握连接半径构造直角三角形，灵活运用垂径定理和勾股定理求解是解题的关键
3．如图，EF是⊙O的直径，AB是弦，EF=10cm，AB=8cm，则E、F两点到直线AB的距离之和为（ ）．
A．3cmB．4cmC．8cmD．6cm
【分析】过O作OH′⊥AB，连接OB，根据垂径定理可得BH′=4cm，再利用勾股定理计算出OH′的长，然后根据梯形中位线定理可得答案
【解析】过O作OH′⊥AB，连接OB
∵AB=8cm
∴BH′=4cm
∵EF=10cm
∴BO=5cm
∴OH′=cm
∵EH⊥HG，FG⊥HG， OH′⊥AB
∴EH//FG//O H′
∵O是EF中点，
∴H′是HG中点
∴H′O是梯形FGHF的中位线
∴EH+FG=2OH′=6cm
∴E、F两点到直线AB的距离之和等于6cm
选D
【小结】此题主要考查了梯形中位线定理，以及垂径定理，关键是掌握垂径定理：垂直弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧
4．如图，的直径为10，弦的长为6，为弦上的动点，则线段长的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】由垂线段最短可知当OP⊥AB时最短，当OP是半径时最长．根据垂径定理求最短长度．
【解析】如图，连接OA，作OP⊥AB于P
∵⊙O的直径为10
∴半径为5
∴OP的最大值为5
∵OP⊥AB于P
∴AP=BP
∵AB=6
∴AP=3
在Rt△AOP中，OP=，此时OP最短
所以OP长的取值范围是4≤OP≤5
选C
【小结】本题考查了垂径定理、勾股定理，解题的关键是确定OP的最小值，所以求OP的范围问题又被转化为求弦的弦心距问题，而解决与弦有关的问题时，往往需构造以半径、弦心距和弦长的一半为三边的直角三角形，若设圆的半径为r，弦长为a，这条弦的弦心距为d，则有等式r2=d2+（）2成立，知道这三个量中的任意两个，就可以求出另外一个
5．如图，的半径为5，弦，P是弦AB上的一个动点（不与A，B重合），下列符合条件的OP的值是（ ）
A．6.5B．5.5C．3.D．2.5
【分析】过O点作OH⊥AB于H，连接OA，如图，根据垂径定理得到AH＝BH＝4，再利用勾股定理计算出OH＝3，从而得到OP的范围为3≤OP≤5，然后对各选项进行判断
【解析】过O点作OH⊥AB于H，连接OA，如图，则AH＝BH＝AB＝4
在Rt△OAH中，OH＝，
所以OP的范围为3≤OP≤5．
选C．
【小结】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧，解题关键是过圆心作弦的垂线，连接半径构造直角三角形．
6．图中的三块阴影部分由两个半径为1的圆及其外公切线分割而成，如果中间一块阴影的面积等于上下两块面积之和，则这两圆的公共弦长是（ ）
A．B．C．D．
【分析】由题意得到四边形ABCD为矩形，BC=2，再根据中间一块阴影的面积等于上下两块面积之和，得到BC•AB（S半圆AD+S半圆BC-S）=S，即2AB-π•12+S=S，可求出AB=，则OP=AB=，在Rt△OEP中，利用勾股定理可计算出EP，即可得到两圆的公共弦长EF．
【解析】∵AB，CD为两等圆的公切线，
∴四边形ABCD为矩形，BC=2，
设中间一块阴影的面积为S，
∵中间一块阴影的面积等于上下两块面积之和，
∴BC•AB-（S半圆AD+S半圆BC-S）=S，即2AB-π•12+S=S，∴AB=．
如图，EF为公共弦，PO⊥EF，
OP=AB=，
∴EP==，
∴EF=2EP=，选D
【小结】本题考查了垂径定理、勾股定理，公切线，连心线的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键．
7．如图，，边上有一点D，，以点D为圆心，以长为半径作弧交于点E，则（ ）
A．B．4C．D．8
【分析】连接，过点D作于点F，解直角三角形BDF求出BF=，再由垂径定理得结论．
【解析】连接，过点D作于点F，
在中，
由得
依题意可得：
∴是等腰三角形
∵
∴（等腰三角形三线合一）
∴
选A
【小结】此题主要考查了垂径定理和解直角三角形，求出BF=是解答此题的关键．
8．如图，已知⊙O的半径为4，M是⊙O内一点，且OM＝2，则过点M的所有弦中，弦长是整数的共有（ ）
A．1条B．2条C．3条D．4条
【分析】过M作AB⊥OM交⊙O于点A、B，根据勾股定理求出AM，根据垂径定理求出AB，进而得答案．
【解析】过点M作AB⊥OM交⊙O于点A、B，连接OA
则AM＝BM＝AB
在Rt△AOM中，AM＝＝＝
∴AB＝2AM＝
则≤过点M的所有弦≤8
则弦长是整数的共有长度为7的两条，长度为8的一条，共三条
选C
【小结】考查垂径定理，勾股定理，掌握垂直于选的直径平分这条弦，并平分弦所对的两条弧是解题关键．
9．如图，半径为5的中，有两条互相垂直的弦、，垂足为点，且，则的长为（ ）
A．3B．C．2D．3
【分析】作于，于，连接，，根据垂径定理得出，，根据勾股定理求出和证明四边形是正方形，即可解决问题．
【解析】如图，作于，于，连接，．
∴，
∵，
∴，
∴
∵
∴
∴四边形是矩形，
∵，
∴四边形是正方形，
∴，
选．
【小结】本题主要考查圆的垂径定理和正方形的判定，关键在于作出辅助线，利用垂径定理得到证明．
10．一根水平放置的圆柱形输水管道横截面如图所示，其中有水部分水面宽0.8米，最深处水深0.2米，则此输水管道的直径是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】设⊙O的半径是R，过点O作OD⊥AB于点D，交⊙O于点C，连接OA，由垂径定理得出AD的长，在Rt△AOD中利用勾股定理即可求出OA的长.
【解析】如图所示：设⊙O的半径是R，过点O作OD⊥AB于点D，交⊙O于点C，连接OA，
∵AB = 0.8m，OD⊥AB，AD ==0.4m，
又CD =0.2m，
∴OD=R-CD=R-0.2，
在Rt△OAD中，OD2+ AD2=OA2，
即(R-0.2)2+0.42=R2，
解得R=0.5m，
∴2R=2×0.5=1米，
故答案为A.
【小结】本题考查的是垂径定理在实际生活中的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键.
11．“圆材埋壁”是我国古代数学名著《章算术》中的一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小以锯锯之，深一寸，锯道长一尺问：径几何？”转化为数学语言：如图，为的直径，弦，垂足为，寸，寸，直径的长是（ ）
A．寸B．寸C．寸D．寸
【分析】连接OA．设圆的半径是x寸，在直角△OAE中，OA＝x寸，OE＝x−1，在直角△OAE中利用勾股定理即可列方程求得半径，进而求得直径CD的长．
【解析】如图，连接OA．
设圆的半径是x寸，在直角△OAE中，OA＝x寸，OE＝（x−1）寸，
∵，
∵AB=10，且
∴AE=AB=5
则，解得：x＝13．
则CD＝2×13＝26（寸），选B．
【小结】本题考查了垂径定理和勾股定理，正确作出辅助线是关键．
12．如图，点、、在圆上，若弦的长度等于圆半径的倍，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
【分析】连接OA，OB，并作OC⊥AB于C点，根据垂径定理，设圆的半径为，则，，由此可得，从而得出，以及，最终根据圆周角定理即可得出的度数．
【解析】连接OA，OB，并作OC⊥AB于C点，
根据垂径定理，可得，，
设圆的半径为，则，，
∴，则，
∴，
根据圆周角定理，，选B．
【小结】本题主要考查垂径定理，圆周角定理以及已知正弦值求角度，熟练运用垂径定理进行辅助线构造以及特殊角的三角函数进行求解是解题关键．
13．如图，点、、、都在上，，，则的度数（ ）
A．50°B．40°C．30°D．25°
【分析】先根据垂径定理由OA⊥BC得到，然后根据圆周角定理计算即可．
【解析】∵OA⊥BC，
∴，
∴∠ADC=∠AOB=×50°=25°．
选D．
【小结】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了垂径定理．
14．如图，的弦垂直平分半径，若弦，则的半径为（ ）
A．B．C．D．2
【分析】首先连接OA，由垂径定理即可求得AD的长，然后设OD=x，则OA=2x，由勾股定理即可求得圆的半径；
【解析】设OC与AB交于点D，连接OC，
设OC=x，
∵ O的弦AB垂直平分半径OC，
∴ OC=2x，AD= ，
∵ ，
∴ ，
解得： ，
∴ 圆的半径为：2．
选D．
【小结】本题考查了垂径定理以及勾股定理，此题难度不大，注意掌握辅助线的作法及数形结合的思想的应用．
15．如图，EM经过圆心O，EM⊥CD于M，若CD=4，EM=6，则弧CED所在圆的半径为（ ）
A．3B．4C．D．
【分析】连接OC，设弧CED所在圆的半径为R，则OC＝R，OM＝6−R，根据垂径定理求出CM，根据勾股定理得出方程，求出即可．
【解析】连接OC，设弧CED所在圆的半径为R，则OC＝R，OM＝6−R，
∵EM经过圆心O，EM⊥CD于M，CD＝4，
∴CM＝DM＝2，
在Rt△OMC中，由勾股定理得：OC2＝OM2＋CM2，
R2＝（6−R）2＋22，
R＝，
选D．
【小结】本题考查了勾股定理，垂径定理的应用，用了方程思想，题目比较典型，难度适中．
16．如图，，是内部一点，与的边相切于点，与边相交于点，，，作于，，则弦的长是（ ）
A．B．C．4D．
【分析】延长BO交AM点F，计算BF，后计算OB，OC，OE，最后，运用垂径定理计算即可.
【解析】如图，延长BO交AM点F，连接OC，
∵与的边相切，
∴∠ABF=90°，
∵，，
∴BF=，∠AFB=60°，∠FOE=30°，
设EF=x，则OF=2x，OE=，
∵，
∴OB=3x，∴BF=OB+OF=5x，∴5x=，∴x=，
∴OB=3x=，OE==，
∵，
∴在直角三角形OCE中，CE==2，
根据垂径定理，得CD=2CE=4，
故选C.
【小结】本题考查了切线的性质，直角三角形的性质，垂径定理，会用延长线段BO构造特殊的直角三角形是解题的关键.
17．如图，已知⊙O的半径为，弦垂足为，且，则的长为（ ）
A．B．C．D．
【分析】连接OB，作OP⊥AB于E，OF⊥CD于F，根据弦、弧、圆心角、弦心距的关系定理得到OP=OF，得到矩形PEFO为正方形，根据正方形的性质得到OP=PC，根据垂径定理和勾股定理求出OP，根据勾股定理计算即可．
【解析】连接OB，作OP⊥AB于E，OF⊥CD于F，
则BP=AB=4，四边形PEFO为矩形，
∵AB=CD，OP⊥AB，OF⊥CD，
∴OP=OF，∴矩形PEFO为正方形，∴OP=PC，
在Rt△OPB中，OP==3，∴OE==3，选B．
【小结】本题考查了垂径定理以及勾股定理、矩形的判定与性质等知识，正确得出O到AB，CD的距离是解题关键．
18．半径等于的圆中，垂直平分半径的弦长为（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据题意，利用勾股定理，先求出弦长的一半，进而求出弦长．
【解析】如图
由题意知，OA=4，OD=CD=2，OC⊥AB，
∴AD=BD，
在Rt△AOD中，，
∴．
选A．
【小结】本题考查了垂径定理，在求弦长时，往往通过构造直角三角形，利用勾股定理，先求出弦长的一半，再求得弦长．此类问题极易出错，要特别注意．
19．如图，一段公路转弯处是一段圆弧，点是这段弧所在圆的圆心，，是上一点，，垂足为，且，则这段弯路所在圆的半径为 （ ）
A．B．C．D．
【分析】根据题意，可以推出AD＝BD＝20，若设半径为r，则OD＝r﹣10，OB＝r，结合勾股定理可推出半径r的值．
【解析】，
，
在中，，
设半径为得：，
解得：，
这段弯路的半径为
选A．
【小结】考查垂径定理的应用、勾股定理的应用，关键在于设出半径为r后，用r表示出OD、OB的长度．
20．往直径为26cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示．若水面宽，则水的最大深度为（ ）
A．4cmB．5cmC．8cmD．10cm
【分析】连接OA，作OD⊥AB，交AB于点C，交圆于点D，根据垂径定理求得OC，利用圆的半径求得CD即可.
【解析】如图，连接OA，作OD⊥AB，交AB于点C，交圆于点D，
∵AB=24，∴AC=12，
∵OA=13，
在直角三角形OAC中：OC==5，
∴CD=OD-OC=13-5=8，选C
【小结】本题考查了垂径定理的应用，过圆心向弦作垂线构造垂径定理是解题的关键.
21．如图，有一圆形纸片圆心为，直径的长为，，将纸片沿、折叠，交于点，那么阴影部分面积为（ ）
A．B．C．D．
【分析】如图，过点O作OG⊥BC于G，延长交于E，反向延长GO交AD于H，连接OC、OD，由折叠得OG=GE=，利用OC=1，求出∠OCG=，CG=，得到BC=2CG=，∠BOC=，同理：AD=，证明△BOG≌△AOH，推出OG=OH，得到弓形BC与弓形AD的面积相等，利用阴影的面积=2（S扇形BOC-S△BOC）代入数值计算即可．
【解析】如图，过点O作OG⊥BC于G，延长交于E，反向延长GO交AD于H，连接OC、OD，
由折叠得OG=GE，
∵OG⊥BC，
∴∠OGC=，CG=BG，
∵OG=OE=，OC=1，
∴∠OCG=，CG=，
∴BC=2CG=，∠BOC=，
同理：AD=，
∵AD∥BC，
∴∠OBC=∠OAD，OH⊥AD，
∵OA=OB，
∴△BOG≌△AOH，
∴OG=OH，
∴弓形BC与弓形AD的面积相等，
∴阴影的面积=2（S扇形BOC-S△BOC）==，
选D．
．
【小结】此题考查折叠的性质，同圆的半径相等，垂径定理，勾股定理，直角三角形30度角的性质，平行线的性质，扇形面积计算公式，全等三角形的判定及性质，熟记各部分知识并综合运用是解题的关键．
22．如图，是的直径，弦于点E，，，则的长度为（ ）
A．10B．9C．5D．4
【分析】利用垂径定理EC的长，再在RtOEC中，利用勾股定理求解即可．
【解析】设OC=OB=x，OE=OB-BE= x-1
∵在中，AB⊥CD，AB是直径，
∴，
∵在RtOEC中，OC2=CE2+OE2，即x2=32+（x-1）2，
解得：x=5，
∴OE = x-1=4，
∴AE=OA+OE=5+4=9，
选B．
【小结】本题考查垂径定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
23．如图，⊙O的半径为6，△ABC是⊙O的内接三角形，连接OB、OC．若∠BAC与∠BOC互补，则弦BC的长为（ ）
A．3B．6C．9D．10
【分析】如图，过作于 证明 求解 再证明 由建立方程求解 从而可得答案．
【解析】如图，过作于











选
【小结】本题考查的是圆周角定理，垂径定理，勾股定理的应用，锐角三角函数的应用，掌握以上知识是解题的关键．
24．为了测量一个铁球的直径，将该铁球放入工件槽内，测得的有关数据如图所示（单位：cm），则该铁球的直径为( )
A．10cmB．8cmC．6cmD．5cm
【分析】如图，连接AB、OA、OC，OC交AB于E，由切线性质可得OC⊥CD，由AB//CD可得OC⊥AB，根据垂径定理可得AE的长，在△OAE中，利用勾股定理列方程可求出OA的长，进而可得铁球的直径．
【解析】如图，连接AB、OA、OC，OC交AB于E，
∵CD是⊙O的切线，C点为切点，
∴OC⊥CD，
∵AB//CD，
∴OC⊥AB，
∵AB=8，
∴AE=AB=4，
∵OA=OC，CE=AD=2，
∴在Rt△OAE中，OA2=AE2+（OA-CE）2，即OA2=42+（OA-2）2，
解得：OA=5，
∴铁球的直径=2OA=10cm．
选A．
【小结】本题考查切线的性质及垂径定理，勾股定理，圆的切线垂直于过切点的半径；垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧；熟练掌握相关性质及定理是解题关键．
25．如图，的半径为，，则经过点的弦长可能是（ ）
A．3B．5C．9D．12
【分析】当经过点O、P的弦是直径时，弦最长为10；当弦与OP是垂直时，弦最短为8；判断即可.
【解析】当经过点O、P的弦是直径时，弦最长为10；
当弦与OP垂直时，根据垂径定理，得半弦长= =4，
所以最短弦为8；
所以符合题意的弦长为8到10，选C
【小结】本题考查了直径是最长的弦，垂径定理，熟练运用分类思想，垂径定理，勾股定理是解题的关键.
26．如图，AB是⊙O的直径，AB=10，弦CD⊥AB于点E，若OA：OE=5：3，则弦CD的长为（ ）
A．3B．4C．6D．8
【分析】先求出OA=OC=5，OE=3，再利用勾股定理和垂径定理，即可求解．
【解析】∵AB是⊙O的直径，AB=10，
∴OA=OC=5，
∵OA：OE=5：3，
∴OE=3，
∵CD⊥AB于点E，∴CE=，CD=2×4=8
选D
【小结】本题主要考查垂径定理和勾股定理，熟练掌握勾股定理和垂径定理，是解题的关键．
27．如图，、是的两条弦，且．，，垂足分别为点、，、的延长线交于点，连接．下列结论正确的个数是（ ）
①；②；③；④
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】如图连接OB、OD，只要证明Rt△OMB≌Rt△OND，Rt△OPM≌Rt△OPN即可解决问题．
【解析】如图连接OB、OD；
∵AB=CD，∴，故①正确
∵OM⊥AB，ON⊥CD，
∴AM=MB，CN=ND，
∴BM=DN，
∵OB=OD，∴Rt△OMB≌Rt△OND，∴OM=ON，故②正确，
∵OP=OP，
∴Rt△OPM≌Rt△OPN，
∴PM=PN，∠OPB=∠OPD，故④正确，
∵AM=CN，
∴PA=PC，故③正确，
选D．
【小结】本题考查垂径定理、圆心角、弧、弦的关系、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
28．如图，四边形是的内接四边形，且， ，垂足分别为，若，则_____．
【分析】连接DO并延长，与⊙O相交于点G，连接BG，CG，由AC⊥BD， DG是直径，可得∠DBG=90°=∠DCG可证AC∥BG，可得，可得AB=CG，由OF⊥CD，可证OF∥CG，可证△DOF∽△DGC，由性质，由OF=，可求CG即可．
【解析】如图，连接DO并延长，与⊙O相交于点G，连接BG，CG，
∵AC⊥BD，DG是直径，
∴∠DBG=90°=∠DCG，
∴BG⊥DB,
∴AC∥BG，
∴，
∴AB=CG，
∵OF⊥CD，
∴OF∥CG，
∴∠DOG=∠DGC
∴△DOF∽△DGC，，
∴，
∵OF=，
∴CG，
所以AB=CG=5．
【小结】本题考查平行弦的性质，圆的性质，直径所对圆周角的性质，相似三角形的判定与性质，掌握平行弦的性质，圆的性质，直径所对圆周角的性质，相似三角形的判定与性质是解题关键．
29．如图，点为的半径的中点，弦过点且垂直于，若，则弦的长为______．
【分析】连接BO，先求出OM=2，再由勾股定理求出BM的长即可得到结论．
【解析】连接BO，如图，则
∵M是OA的中点，∴
∵，∴△是直角三角形，BC=2BM
∴，∴
【小结】本题考查的是垂径定理，勾股定理，掌握垂径定理是解题的关键．
30．如图平面直角坐标系中，⊙O的半径5 ，弦AB的长为4，过点O做OC⊥AB于点C，⊙O内一点D的坐标为（﹣4，3），当弦AB绕点O顺时针旋转时，点D到AB的距离的最小值是_____．
【分析】连接OB，如图，利用垂径定理得到AC=BC=2，则利用勾股定理可计算出OC=11，利用垂线段最短，当OC经过点D时，点D到AB的距离的最小，然后计算出OD的长，从而得到点D到AB的距离的最小值．
【解析】连接OB，如图，
∵OC⊥AB，
∴AC=BC=AB=2，
在Rt△OBC中，OC=，
当OC经过点D时，点D到AB的距离最小，
∵OD==5，
∴点D到AB的距离的最小值为11-5=6．
【小结】本题考查垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．
31．如图，圆O的直径AB垂直于弦CD，垂足是E，∠A＝22.5°，OC＝4，CD的长为_____．
【分析】先求解 再由 可得 再利用 解方程，从而可得答案．
【解析】







【小结】本题考查的是垂径定理，圆周角定理，锐角三角函数的应用，掌握以上知识是解题的关键．
32．如图，AB，AC分别是⊙O的直径和弦，OD⊥AC于点D，连接BD，BC，且AB＝10，AC＝8，则BD的长为_____．
【分析】先根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，则利用勾股定理可计算出BC＝6，再根据垂径定理得到CD＝AD＝4，然后利用勾股定理计算BD．
【解析】∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°，
在Rt△ACB中，
∵OD⊥AC，
∴
在Rt△BCD中，
【小结】本题考查勾股定理的应用，垂径定理的应用，圆周角定理的应用，掌握以上知识是解题的关键．
33．如图，半径为的中有弦，以为折痕对折，劣弧恰好经过圆心，则弦的长度为__________．
【分析】如果过O作OC⊥AB于D，交折叠前的于C，根据折叠后劣弧恰好经过圆心O，根据垂径定理及勾股定理即可求出AD的长，进而求出AB的长．
【解析】如图，过O作OC⊥AB于D，交折叠前的于C，
∵的半径为，
又∵折叠后劣弧恰好经过圆心O，
∴OA=OC=2，
∴OD＝CD＝1，
在Rt△OAD中，
∵OA＝2，OD＝1，
∴AD=，
AB＝2AD＝．
故答案为：．
【小结】本题考查了垂径定理和勾股定理的综合运用，利用好条件：劣弧折叠后恰好经过圆心O是解题的关键．
34．如图，是的直径，弦于点E，若，，求的长．
【分析】连接OC，根据垂径定理得出CE=ED=CD=3，然后在Rt△OEC中由勾股定理求出OE的长度．
【解析】：如图,连接OC.
∵弦于点E，，∴．
∵在中，，，，∴．
【小结】本题考查圆的性质与勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键．
35．如图，AB为的直径，CD是弦，且于点E，连接AC、OC、BC．
（1）求证：．
（2）若，，求的直径．
【分析】
（1）根据垂径定理和圆的性质，同弧的圆周角相等，可求得，又因为是等腰三角形，即可求证；
（2）设的半径为，则，，利用垂径定理得到 ，在中，利用勾股定理即可得到的半径为，进而即可得到直径．
【解析】
（1）∵，∴，∴，
∵，∴，∴；
（2）设的半径为，
∴，，
∵，∴，
在中，，即，，解得，，
所以直径为．
【小结】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等、垂径定理、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识，解答本题的关键是熟练掌握运用以上知识点．
36．如图，是⊙O的内接三角形，是⊙O的直径，点B是⊙O上的一点，，点E在的延长线上，射线经过点C，；
（1）求证：是⊙O的切线；
（2）若，求的长．
【分析】
（1）连接，推出，进而可证明，进而即可得到结论；
（2）过点O作于点H，可得和是等腰直角三角形，结合锐角三角函数，可得，进而即可求解．
【解析】
（1）证明：连接，
∵，
∴，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴；
∵，
∴；
∵，
∴，即：；
∴；
∵是的半径，
∴是的切线；
（2）解：过点O作于点H，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形；
∴；
∵，
∴；
∴；
∵，过圆心O，
∴，
在中，；
∴．
【小结】本题主要考查切线的判定定理，垂径定理，圆周角定理及其推论以及三角函数，添加合适的辅助线，构造直角三角形，是解题的关键．
37．如图，已知AB是⊙O的直径，C是半圆上一点(不与点A，B重合)
（1）用尺规过点C作AB的垂线交⊙O于点D(保留作图痕迹，不写作法)；
（2）若AC=4，BC=2，求（1）中所作的弦CD的长．
【分析】
（1）利用基本作图，过点C作AB的垂线得到弦CD；
（2）利用勾股定理求出AB，再根据三角形面积求法算出CE，继而得到CD．
【解析】
（1）如图，CD为所作，且CD与AB交于E；
（2）由勾股定理可得：，
∴由三角形面积求法可得：
∴CD=2CE= ．
【小结】本题考查圆综合应用，熟练掌握与直径垂直的弦的作法、勾股定理及垂径定理的应用是解题关键．
38．已知，中，，是上的点，．
（1）如图①，求证；
（2）如图②，连接，，，，若，求，的大小．
【分析】
（1）利用垂径定理证明，再根据即可证明；
（2）先利用圆的内接四边形的性质求出的大小，再根据垂径定理和同弧所对的圆周角相等即可求出和的大小．
【解析】
（1）中，，
．
，
．
（2）四边形是圆内接四边形，
．
．
中，，
．
．
，
．
【小结】本题主要考查垂径定理和圆的内接四边形的性质，以及圆周角和弧长的关系，属于简单题型．
39．如图，AB是⊙O的弦，半径OD⊥AB，垂足为C，点E在⊙O上，连接OA、DE、BE．
（1）若∠DEB＝30°，求∠AOD的度数；
（2）若CD＝2，弦AB＝8，求⊙O的半径长．
【分析】
（1）根据圆周角定理得到∠BOD的度数，再利用垂径定理得到＝，利用圆心角、弧、弦的关系得到∠AOD＝∠BOD＝60°；
（2）设⊙O的半径为r，则OC＝r−2，根据垂径定理得到AC＝BC＝4，然后利用勾股定理得到（r−2）2＋42＝r2，再解方程即可得出结果．
【解析】
（1）∵∠BOD＝2∠DEB，∠DEB＝30°，
∴∠BOD＝60°，
∵OD⊥AB，
∴＝，，
∴∠AOD＝∠BOD＝60°；
（2）设⊙O的半径为r，则OC＝r−2，
∵OD⊥AB，
∴AC＝BC＝AB＝×8＝4，
在Rt△OAC中，由勾股定理得：（r−2）2＋42＝r2，
解得：r＝5，
即⊙O的半径长为5．
【小结】本题考查了圆周角定理、垂径定理以及勾股定理等知识，熟练掌握圆周角定理和垂径定理是解题的关键．
40．如图，在中，．点在边上，，以为圆心，为半径的弧经过点．是弧上的一个动点．
（1）求线段的长；
（2）若是弧的中点，连接，求的正切值；
（3）若平分，延长交的延长线于点，求线段的长．
【分析】
（1）过点作于点，根据垂径定理得到BH的长，根据相似三角形的判定得到△BHO∽△BCA，从而得到，可得到BC的长，根据勾股定理即可求出AC的长；
（2）连接交于点，过点作于点，根据垂径定理得到，根据勾股定理得OH的长，由全等三角形的判定得到△POE≌△BOH，可得，因为，根据正切的定义即可得到结论；
（3）过点作于点，根据角平分线的性质得到，根据相似三角形的判定得到，设，继而得到，根据全等三角形的判定可得，从而得到，根据勾股定理可得x的值，从而得到AD和BD的长，根据相似三角形的判定得到，可得，从而求出BF的长，继而可得到结论．
【解析】
（1）如图1，过点作于点，
则，
∵，，
∴△BHO∽△BCA，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴；
（2）如图2，连接交于点，过点作于点，
∵是弧的中点，
∴，
在中，，
在与中，，
∴△POE≌△BOH（AAS），
∴，
∴，
∴的正切值为．
（3）如图3，过点作于点，
∵平分，，
∴，
∵，
∴，
∴．
设，
∴，
∴，
在与中，，∴，∴
∵，
∴，
解得（舍去）或，
∴．
过点作交于点，
则，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【小结】本题考查了垂径定理，锐角三角函数，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识．正确作出辅助线是解题的关键．