《圆》热门考点整合应用练习题

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《圆》热门考点整合应用 圆的知识是初中数学的重点内容，也是历年中考命题的热点．本章题型广泛，主要考查圆的概念、基本性质以及圆周角定理及其推论，直线与圆的位置关系，切线的性质和判定，正多边形与圆的计算和证明等，通常以这些知识为载体，与函数、方程等知识综合考查．全章热门考点可概括为：一个概念、三个定理、三个关系、两个圆与三角形、两个公式、两个技巧、两种思想．  一个概念——圆的相关概念1．下列说法正确的是(　　)A．直径是弦，弦也是直径B．半圆是弧，弧是半圆C．无论过圆内哪一点，只能作一条直径D．在同圆或等圆中，直径的长度是半径的2倍 三个定理 垂径定理2．如图，AB是⊙O的直径，过点B作⊙O的切线BM，弦CD∥BM，交AB于点F，且＝，连接AC，AD，延长AD交BM于点E.(1)求证：△ACD是等边三角形；(2)连接OE，若DE＝2，求OE的长．(第2题)     圆心角、弦、弧间的关系定理3．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠AOC＝40°，D是的中点，求∠ACD的度数．(第3题)        圆周角定理4．如图，已知AB是⊙O的弦，OB＝2，∠B＝30°，C是弦AB上任意一点(不与点A，B重合)，连接CO并延长CO交⊙O于点D，连接AD.(1)弦长AB＝________(结果保留根号)；(2)当∠D＝20°时，求∠BOD的度数．(第4题)         三个关系 点与圆的位置关系5．由于过度采伐森林和破坏植被，我国某些地区多次受到沙尘暴的侵袭．近来A市气象局测得沙尘暴中心在A市正东方向400 km的B处，正向西北方向转移，如图所示，距沙尘暴中心300 km的范围内将受到影响，则A市是否会受到这次沙尘暴的影响？(第5题)      直线与圆的位置关系6．如图，在▱ABCD中，∠D＝60°，以AB为直径作⊙O，已知AB＝10，AD＝m.(1)求点O到CD的距离(用含m的代数式表示)；(2)若m＝6，通过计算判断⊙O与CD的位置关系；(3)若⊙O与线段CD有两个公共点，求m的取值范围．(第6题)        正多边形和圆的位置关系7．如图，已知⊙O的内接正十边形ABCD…，AD分别交OB，OC于M，N.求证：(1)MN∥BC；(2)MN＋BC＝OB.(第7题)     两个圆与三角形 三角形的外接圆8．如图，⊙O是△ABC的外接圆，弦BD交AC于点E，连接CD，且AE＝DE，BC＝CE.(1)求∠ACB的度数；(2)过点O作OF⊥AC于点F，延长FO交BE于点G，DE＝3，EG＝2，求AB的长．(第8题)          三角形的内切圆9．如图，若△ABC的三边长分别为AB＝9，BC＝5，CA＝6，△ABC的内切圆⊙O切AB，BC，AC于点D，E，F，则AF的长为(　　)A．5  B．10  C．7.5  D．4(第9题)10．如图，在△ABC中，AB＝AC，内切圆⊙O与边BC，AC，AB分别切于D，E，F，∠BAC＝120°，BF＝2.则内切圆⊙O的半径为(　　)A．2  B.  C．4－6  D. (第10题) 两个公式 弧长公式11．如图，已知正六边形ABCDEF是边长为2 cm的螺母，点P是FA延长线上的点，在A，P之间拉一条长为12 cm的无伸缩性细线，一端固定在点A，握住另一端点P拉直细线，把它全部紧紧缠绕在螺母上(缠绕时螺母不动)，则点P运动的路径长为(　　)A．13π cm  B．14π cmC．15π cm  D．16π cm                                       (第11题)12．如图，AB为⊙O的直径，AB＝6，AB⊥弦CD，垂足为G，EF切⊙O于点B，连接AD，OC，BC，∠A＝30°，下列结论不正确的是(　　)A．EF∥CDB．△COB是等边三角形　　C．CG＝DGD.的长为π                                    (第12题)  扇形面积公式13．设计一个商标图案，如图，在矩形ABCD中，若AB＝2BC，且AB＝8 cm，以点A为圆心，AD长为半径作弧，交BA的延长线于点F，则商标图案(阴影部分)的面积等于(　　)A．(4π＋8) cm2  B．(4π＋16) cm2C．(3π＋8) cm2  D．(3π＋16) cm2(第13题)14．如图，以AB为直径，点O为圆心的半圆经过点C，若AC＝BC＝，则图中阴影部分的面积是(　　)A.    B.＋  C.    D.＋　　(第14题) 两个技巧 作同弧所对的圆周角(特别的：直径所对的圆周角)15．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O交AB于点D，交BC于点E.(1)求证：BE＝CE；(2)若∠B＝70°，求的度数；(3)若BD＝2，BE＝3，求AC的长．(第15题)      作半径(特别的：垂直于弦的半径、过切点的半径)16．如图，AB为⊙O的直径，PQ切⊙O于E，AC⊥PQ于C.(1)求证：AE平分∠BAC；(2)若EC＝，∠BAC＝60°，求⊙O的半径．(第16题)    两种思想 分类讨论思想17．已知在半径为1的⊙O中，弦AC＝，弦AB＝，则∠CAB＝________． 方程思想18．如图，正方形ABCD的边长是4，以BC为直径作⊙O，从点A引圆的切线，切点为F，AF的延长线交DC于点E.求：(1)△ADE的面积；(2)BF的长．(第18题)      参考答案1．D2．(1)证明：∵AB是⊙O的直径，BM是⊙O的切线，∴AB⊥BE.∵CD∥BE，∴CD⊥AB.∴＝.又∵＝，∴＝＝.∴AD＝AC＝CD.∴△ACD是等边三角形．(第2题)(2)解：如图，过点O作ON⊥AD于N.由(1)知△ACD是等边三角形，∴∠DAC＝60°.∵AD＝AC，CD⊥AB，∴∠DAB＝30°，∴BE＝AE，ON＝AO.设⊙O的半径为r，∴ON＝r.∴AN＝DN＝r.∴EN＝2＋r，AE＝2＋r.∴BE＝AE＝.在Rt△NEO与Rt△BEO中，OE2＝ON2＋NE2＝OB2＋BE2，即＋＝r2＋，∴r＝2(r＝－舍去)．∴OE2＝＋＝28.又∵OE>0，∴OE＝2.3．解：∵∠AOC＝40°，∴∠BOC＝180°－40°＝140°，∠ACO＝×(180°－40°)＝70°.如图，连接OD.∵D是的中点，∴∠COD＝∠BOC＝70°.∴∠OCD＝＝55°.∴∠ACD＝∠ACO＋∠OCD＝70°＋55°＝125°.(第3题) 4．解：(1)2(2)如图，连接OA.∵OA＝OB，OA＝OD，∴∠BAO＝∠B，∠DAO＝∠D.∴∠BAD＝∠BAO＋∠DAO＝∠B＋∠D＝30°＋20°＝50°.∴∠BOD＝2∠BAD＝100°.(第4题)　(第5题) 5．解：如图，过点A作AC⊥BD于点C.由题意，得AB＝400 km，∠DBA＝45°，∴AC＝BC.在Rt△ABC中，设AC＝BC＝x km.由勾股定理，得AC2＋BC2＝AB2，∴x2＋x2＝4002，解得x＝200 或x＝－200 (舍去)，∴AC＝200 ≈282.8(km)．∵282.8 km＜300 km，∴A市会受到这次沙尘暴的影响．6．解：(1)根据平行线间的距离处处相等，知点O到CD的距离即为点A到CD的距离．过点A作AE⊥CD于点E.∵∠D＝60°，AD＝m，∴AE＝m，即点O到CD的距离是m.(2)由题可得OA＝5.当m＝6时，m＝3>5，故⊙O与CD相离．(3)若⊙O与线段CD有两个公共点，则该圆和线段CD相交，当点C在⊙O上时，易得m＝AB＝5；当线段CD与⊙O相切时，有m＝5，m＝.所以m的取值范围是5≤m<.7．证明：(1)如图，连接OA，OD，则∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝360°÷10＝36°，则∠AOD＝∠AOB＋∠BOC＋∠COD＝108°.又∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA＝36°.∴∠ANO＝∠COD＋∠ODA＝36°＋36°＝72°.∵∠BOC＝36°，OB＝OC，∴∠BCO＝∠OBC＝72°.(第7题)∴∠ANO＝∠BCO.∴MN∥BC.(2)∵∠AON＝∠AOB＋∠BOC＝72°，　∠ANO＝72°，∴AN＝AO＝OB.∵MN∥BC，∴∠AMB＝∠OBC＝72°.又∵∠ABM＝＝72°，∴∠ABM＝∠AMB.∴AB＝AM.又AB＝BC，∴AN＝AM＋MN＝AB＋MN＝BC＋MN.∴MN＋BC＝OB.8．解：(1)在⊙O中，∠A＝∠D.又∠AEB＝∠DEC，AE＝DE，∴△AEB≌△DEC.∴EB＝EC.又∵BC＝CE，∴BE＝CE＝BC.∴△EBC为等边三角形．∴∠ACB＝60°.(第8题)(2)∵OF⊥AC，∴AF＝CF.∵△EBC为等边三角形，∴∠GEF＝60°.∴∠EGF＝30°.∵EG＝2，∴EF＝1.又∵AE＝ED＝3，∴CF＝AF＝4.∴AC＝8，CE＝5.∴BC＝5.如图，作BM⊥AC于点M，∵∠BCM＝60°，∴∠MBC＝30°.∴CM＝.∴BM＝＝，AM＝AC－CM＝.∴AB＝＝7.9．A　【解析】设AF＝x，CF＝y，BE＝z，则列方程组为解得∴AF＝5.10．C　【解析】设⊙O的半径为r，连接AO，OD，OF，易得A，O，D三点共线，AD＝2，AO＝2－r，∠AFO＝90°，∠AOF＝30°，∴AF＝AO＝(2－r)．又根据已知条件易求得AF＝4－2，∴4－2＝(2－r)．∴r＝4－6.故选C.11．B　【解析】由题图可知，点P运动的路径长是题图中六个扇形的弧长之和，每个扇形的圆心角均为60°，半径从12 cm依次减2 cm，所以点P运动的路径长为＋＋＋＋＋＝×(12＋10＋8＋6＋4＋2)＝14π(cm)．故选B.12．D13．A　【解析】∵在矩形ABCD中，AB＝2BC，AB＝8 cm，∴AD＝BC＝4 cm，∠DAF＝90°.∴S扇形AFD＝π·AD2＝4π(cm2)．S矩形ABCD＝AB·AD＝8×4＝32(cm2)．又∵AF＝AD＝4 cm，∴BF＝AF＋AB＝4＋8＝12(cm)．∴S△BCF＝BF·BC＝×12×4＝24(cm2)．∴S阴影＝S扇形AFD＋S矩形ABCD－S△BCF＝4π＋32－24＝(4π＋8)(cm2)．故选A.14．A15．(1)证明：如图，连接AE，∵AC为⊙O的直径，∴∠AEC＝90°.∴AE⊥BC.又∵AB＝AC，∴BE＝CE.(2)解：如图，连接OD，OE，在Rt△ABE中，∠BAE＝90°－∠B＝90°－70°＝20°，∴∠DOE＝2∠DAE＝40°.∴的度数为40°.(第15题)  (3)解：如图，连接CD，由(1)知BE＝CE，∴BC＝2BE＝6，设AC＝x，则AD＝x－2.∵AC为⊙O的直径，∴∠ADC＝90°.在Rt△BCD中，CD2＝BC2－BD2＝62－22＝32.在Rt△ADC中，∵AD2＋CD2＝AC2，∴(x－2)2＋32＝x2，解得x＝9，即AC的长为9.16．(1)证明：如图，连接OE，则OA＝OE.∴∠OEA＝∠OAE.∵PQ切⊙O于E，∴OE⊥PQ.又∵AC⊥PQ，∴OE∥AC.∴∠OEA＝∠EAC.∴∠OAE＝∠EAC.∴AE平分∠BAC.(第16题)  (2)解：如图，连接BE，∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝90°.∵∠BAC＝60°，∴∠OAE＝∠EAC＝30°.∴AB＝2BE.∵AC⊥PQ，∴∠ACE＝90°.∴AE＝2CE.∵CE＝，∴AE＝2.设BE＝x，则AB＝2x.在Rt△ABE中，由勾股定理得x2＋12＝4x2，解得x1＝2，x2＝－2(舍去)．∴AB＝4.∴⊙O的半径为2.17．15°或75°　【解析】如图，当圆心O在∠CAB的外部时，过点A作直径AD，连接OC，OB，过点O作OE⊥AB，OF⊥AC，垂足分别为E，F.由垂径定理和勾股定理可求得OE＝OA，OF＝FA，∴∠BAO＝30°，∠CAO＝45°.∴∠CAB＝15°.同理可得，当圆心O在∠CAB的内部时，∠CAB1＝75°.　(第17题) 18．解：(1)∵BC是⊙O的直径，AB⊥BC，DC⊥BC，∴AB，CD都是⊙O的切线．∴AF＝AB＝4.设EC＝x，则EF＝x，AE＝4＋x，DE＝4－x，在Rt△ADE中，AD2＋DE2＝AE2，∴42＋(4－x)2＝(4＋x)2，解得x＝1.∴△ADE的面积＝×4×(4－1)＝6.(2)如图，连接AO交BF于点M，连接OF.则AO＝＝2.(第18题)  ∵OB⊥AB，OF⊥AF，且OB＝OF，∴AO为∠BAF的平分线．又∵AB＝AF，∴AM⊥BF，BM＝MF.∴BF＝2BM.∵S△ABO＝AO·BM＝OB·AB，∴BM＝＝＝.∴BF＝.