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    专项训练4 切线的判定和性质的四种应用类型

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    专项训练4 切线的判定和性质的四种应用类型

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    这是一份专项训练4 切线的判定和性质的四种应用类型,共8页。
    方法指导:圆的切线的判定和性质的应用较广泛,一般先利用圆的切线的判定方法判定切线,再利用切线的性质进行线段和角的计算或论证,在计算或论证中常通过作辅助线解决有关问题.
    应用于求线段的长
    1.如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O与边BC,AC分别交于D,E两点,过点D作DF⊥AC,垂足为点F.
    (1)求证:DF是⊙O的切线;
    (2)若AE=4,cs A=eq \f(2,5),求DF的长.
    (第1题)
    应用于求三角函数值
    2.如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AE⊥BC于E,∠ADC的平分线交AE于点O,以点O为圆心,OA为半径的圆经过点B,交BC于另一点F.
    (1)求证:CD与⊙O相切;
    (2)若BF=24,OE=5,求tan∠ABC的值.
    (第2题)
    应用于求圆的半径
    3.如图,已知AB为⊙O的直径,AD,BD是⊙O的弦,BC是⊙O的切线,切点为B,OC∥AD,BA,CD的延长线相交于点E.
    (1)求证:DC是⊙O的切线;
    (2)若AE=1,ED=3,求⊙O的半径.
    (第3题)
    应用于求图形的面积
    4.如图,AB为⊙O的直径,D为eq \(AC,\s\up8(︵))的中点,连接OD交弦AC于点F,过点D作DE∥AC,交BA的延长线于点E.
    (1)求证:DE是⊙O的切线;
    (2)连接CD,若OA=AE=4,求四边形ACDE的面积.
    (第4题)
    参考答案
    1.(1)证明:如图,连接OD,作OG⊥AC于点G.
    (第1题)
    ∵OB=OD,
    ∴∠ODB=∠B,
    又∵AB=AC,
    ∴∠C=∠B,
    ∴∠ODB=∠C,
    ∴OD∥AC.
    ∵DF⊥AC,
    ∴∠DFC=90°,
    ∴∠ODF=∠DFC=90°,
    ∴DF是⊙O的切线.
    (2)解:∵OG⊥AE,∴AG=eq \f(1,2)AE=2,
    ∵cs A=eq \f(AG,OA),
    ∴OA=eq \f(AG,cs A)=eq \f(2,\f(2,5))=5.
    ∴OG=eq \r(OA2-AG2)=eq \r(21).
    ∵∠ODF=∠DFG=∠OGF=90°,
    ∴四边形OGFD为矩形,
    ∴DF=OG=eq \r(21).
    2.(1)证明:过点O作OG⊥DC,垂足为G,如图所示.
    [第2(1)题]
    ∵AD∥BC,AE⊥BC于E,∴OA⊥AD.
    ∴∠OAD=∠OGD=90°.
    在△ADO和△GDO中,eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(∠OAD=∠OGD,,∠ADO=∠GDO,,OD=OD,))
    ∴△ADO≌△GDO.
    ∴OA=OG.
    ∴CD与⊙O相切.
    (2)解:如图,连接OF.
    [第2(2)题]
    ∵OA⊥BC,
    ∴BE=EF=eq \f(1,2)BF=12.
    在Rt△OEF中,OE=5,EF=12,
    ∴OF=eq \r(OE2+EF2)=13.
    ∴AE=OA+OE=13+5=18.
    ∴tan∠ABC=eq \f(AE,BE)=eq \f(3,2).
    3.(1)证明:如图,连接DO.
    ∵AD∥OC,
    ∴∠DAO=∠COB,∠ADO=∠COD.
    (第3题)
    又∵OA=OD,
    ∴∠DAO=∠ADO.
    ∴∠COD=∠COB.
    在△COD和△COB中,
    ∵OD=OB,∠COD=∠COB,OC=OC,
    ∴△COD≌△COB(SAS).
    ∴∠CDO=∠CBO.
    ∵BC是⊙O的切线,
    ∴∠CBO=90°.
    ∴∠CDO=90°.
    ∴CD是⊙O的切线.
    (2)解:设⊙O的半径为r,
    则OD=r,OE=r+1,
    ∵CD是⊙O的切线,
    ∴∠EDO=90°.
    ∴ED2+OD2=OE2.
    ∴32+r2=(r+1)2.
    解得r=4.
    ∴⊙O的半径为4.
    4.(1)证明:∵D为eq \(AC,\s\up8(︵))的中点,
    ∴OD⊥AC.
    ∵AC∥DE,
    ∴OD⊥DE.
    ∴DE是⊙O的切线.
    (2)解:如图,
    ∵D为eq \(AC,\s\up8(︵))的中点,
    ∴AF=CF,
    ∵AC∥DE,且OA=AE,
    (第4题)
    ∴F为OD的中点,即OF=FD,
    在△AFO和△CFD中,eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(AF=CF,,∠AFO=∠CFD,,OF=DF,))
    ∴△AFO≌△CFD(SAS).
    ∴S△AFO=S△CFD.
    ∴S四边形ACDE=S△ODE.
    在Rt△ODE中,OD=OA=AE=4,
    ∴OE=8,
    ∴DE=eq \r(OE2-OD2)=4eq \r(3),
    ∴S四边形ACDE=S△ODE=eq \f(1,2)×OD×DE=eq \f(1,2)×4×4eq \r(3)=8eq \r(3).

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