知识讲解_直线的一般式方程及综合_基础练习题

直线的一般式方程及综合

【学习目标】

1．掌握直线的一般式方程；

2．能将直线的点斜式、两点式等方程化为直线的一般式方程，并理解这些直线的不同形式的方程在表示直线时的异同之处；

3．能利用直线的一般式方程解决有关问题.

【要点梳理】

要点一：直线方程的一般式

关于x和y的一次方程都表示一条直线．我们把方程写为Ax+By+C=0，这个方程(其中A、B不全为零)叫做直线方程的一般式．

要点诠释：

1．A、B不全为零才能表示一条直线，若A、B全为零则不能表示一条直线.

当B≠0时，方程可变形为，它表示过点，斜率为的直线．

当B=0，A≠0时，方程可变形为Ax+C=0，即，它表示一条与x轴垂直的直线．

由上可知，关于x、y的二元一次方程，它都表示一条直线．

2．在平面直角坐标系中，一个关于x、y的二元一次方程对应着唯一的一条直线，反过来，一条直线可以对应着无数个关于x、y的一次方程（如斜率为2，在y轴上的截距为1的直线，其方程可以是2x―y+1=0，也可以是，还可以是4x―2y+2=0等．）

要点二：直线方程的不同形式间的关系

直线方程的五种形式的比较如下表：

要点诠释：

在直线方程的各种形式中，点斜式与斜截式是两种常用的直线方程形式，要注意在这两种形式中都要求直线存在斜率，两点式是点斜式的特例，其限制条件更多（x1≠x2，y1≠y2），应用时若采用(y2―y1)(x―x1)―(x2―x1)(y―y1)=0的形式，即可消除局限性．截距式是两点式的特例，在使用截距式时，首先要判断是否满足“直线在两坐标轴上的截距存在且不为零”这一条件．直线方程的一般式包含了平面上的所有直线形式．一般式常化为斜截式与截距式．若一般式化为点斜式，两点式，由于取点不同，得到的方程也不同．

要点三：直线方程的综合应用

1．已知所求曲线是直线时，用待定系数法求．

2．根据题目所给条件，选择适当的直线方程的形式，求出直线方程．

对于两直线的平行与垂直，直线方程的形式不同，考虑的方向也不同．

（1）从斜截式考虑

  已知直线,,

；

于是与直线平行的直线可以设为；垂直的直线可以设为．

（2）从一般式考虑：

  且或，记忆式（）

  与重合，，，

于是与直线平行的直线可以设为；垂直的直线可以设为.

【典型例题】

类型一：直线的一般式方程

例1．根据下列条件分别写出直线方程，并化成一般式：

    （1）斜率为，且经过点A（5，3）；

（2）过点B（―3，0），且垂直于x轴；

（3）斜率为4，在y轴上的截距为―2；

（4）在y轴上的截距为3，且平行于x轴；

（5）经过C（―1，5），D（2，―1）两点；

（6）在x，y轴上的截距分别是―3，―1．

【答案】（1）（2）x+3=0（3）4x―y―2=0（4）y―3=0

（5）2x+y―3=0（6）x+3y+3=0

【解析】 （1）由点斜式方程得，整理得．

（2）x=―3，即x+3=0．

（3）y=4x―2，即4x―y―2=0．

（4）y=3，即y―3=0．

（5）由两点式方程得，整理得2x+y―3=0．

（6）由截距式方程得，整理得x+3y+3=0．

【总结升华】本题主要是让学生体会直线方程的各种形式，以及各种形式向一般式的转化，对于直线方程的一般式，一般作如下约定：x的系数为正，x，y的系数及常数项一般不出现分数，一般按含x项、y项、常数项顺序排列．求直线方程的题目，无特别要求时，结果写成直线方程的一般式．

举一反三：

【变式1】已知直线经过点A（―5，6）和点B（―4，8），求直线的一般式方程和截距式方程，并画图．

【答案】2x－y+16=0 

【解析】 所求直线的一般式方程为2x－y+16=0，截距式方程为．图形如右图所示．

   【高清课堂：直线的一般式 381507 例4】

例2．的一个顶点为，、 的平分线在直线和上，求直线BC的方程.

  【答案】

【解析】由角平分线的性质知，角平分线上的任意一点到角两边的距离相等

，所以可得A点关于的平分线的对称点在BC上，B点关于的平分线

的对称点也在BC上．写出直线的方程，即为直线BC的方程.

  例3．已知直线，，求满足下列条件的的值．（1）；（2）．

【思路点拨】利用直线平行和垂直的条件去求解。

【答案】（1）a=3（2）

【解析】

    （1）当时，

，

即，解得a=3．

所以，当a=3时，．

（2）当时，A1A2+B1B2=a×1+3×(a―2)=0，即4a―6=0，解得．

所以，当时，．

【总结升华】当所给直线方程是一般式，且直线斜率可能不存在时，利用A1A2+B1B2=0和A1B2－A2B1=0且A1C2－A2C1≠0来判定两条直线是否垂直和平行，比用斜率来判定更简便，它不需要讨论斜率不存在的情况．

举一反三：

【高清课堂：直线的一般式 381507 例1】

【变式1】已知直线：3mx+8y+3m-10=0 和 ：x+6my-4=0 .问 m为何值时:

（1）与平行（2）与垂直.

【答案】（1）（2）

【解析】当时，：8y-10=0；：x-4=0，

当时，：；：

由，得，由得

而无解

综上所述（1），与平行．（2），与垂直．

【变式2】求经过直线4x+3y―1=0和x+2y+1=0的交点并且与直线x―2y―1=0垂直的直线方程．

【思路点拨】联立已知的两直线方程得到方程组，求出两直线的交点坐标，所求的直线过交点坐标，然后由两直线垂直时斜率的乘积等于―1，根据直线x―2y―1=0的斜率即可得到所求直线的斜率，利用点斜式求直线的方程即可．

【答案】2x+y―1=0

【解析】联立直线方程，

①+②×(―4)得：y=―1，把y=―1代入②，解得x=1，

所以两直线的交点坐标为（1，―1），

又因为直线x―2y―1=0的斜率为，所以所求直线的斜率为―2，

则所求直线的方程为：y+1=―2(x―1)，即2x+y―1=0．

故答案为：2x+y―1=0． 

【总结升华】此题考查学生会求两直线的交点坐标，掌握两直线垂直时斜率满足的关系，会根据一点坐标和斜率写出直线的方程．

类型二：直线与坐标轴形成三角形问题

例4．（2016春 湖北孝感期末）设直线l的方程为(a+1)x+y+2－a=0（a∈R）．

（1）若直线l不经过第二象限，求实数a的取值范围；

（2）若直线l与两坐标轴围成的三角形面积等于2，求实数a的值．

【思路点拨】（1）直线l不经过第二象限，得到，解得即可；

（2）当x=0时，y=a－2，y=0时，，根据三角形的面积公式得到，解得即可．

【答案】（1）a≤―1；（2）a=0或a=8

【解析】（1）直线l的方程(a+1)x+y+2―a=0化为y=―(a+1)x+a―2．

∵直线l不经过第二象限，

∴，解得a≤－1．

∴实数a的取值范围是a≤―1，

（2）当x=0时，y=a―2，y=0时，，

∴，

解得a=0或a=8．

举一反三：

【变式1】 求通过点(1，-2)，且与两坐标轴围成的图形是等腰直角三角形的直线；

【答案】x+y+1=0或x-y-3=0

【解析】

由题设，设所求直线方程为，由已知条件得:

解之得:，

故所求直线方程为:x+y+1=0或x-y-3=0.

类型三：直线方程的实际应用

例5．已知光线通过点A（1，2），经过y轴反射，其反射光线通过点B（2，―1）

（1）求入射光线所在的直线方程；

（2）求反射光线所在的直线方程．

【思路点拨】（1）根据题意，求出点A关于y轴的对称点A＇坐标，算出直线A＇B的斜率并利用点斜式方程列式，得到直线A＇B的方程为x+y―1=0，从而令x=0算出入射点C的坐标，求出直线AC方程，即得入射光线所在直线方程；

（2）由（1）的求解过程，直线A＇B的方程x+y―1=0即为所求反射光线所在直线方程．

【答案】（1）x－y+1=0；（2）x+y－1=0

【解析】（1）∵光线的反射线是y轴，

∴反射线所在直线经过点A关于y轴的对称点A＇（―1，2）

而直线A＇B的斜率，

可得直线A＇B的方程为y―2=―(x+1)，化简得x+y－1=0

在直线A＇B中令x=0，得y=1，可得直线A＇B交y轴于点C（0，1）

∴直线AC的斜率，可得直线AC方程为y=x+1

即入射光线所在的直线方程为：y=x+1，即x－y+1=0；

（2）由（1）的求解过程，可得直线A＇B的方程x+y－1=0

即为反射光线所在的直线方程

∴反射光线所在的直线方程为x+y－1=0．

【总结升华】本题给出光线反射的问题，求入射光线与反射光线所在直线的方程，着重考查了直线的方程和直线的位置关系等知识．

举一反三：

【变式1】由点发出的光线射到直线上，反射后过点，则反射光线所在直线的一般方程为             .

【解析】设点P关于直线的对称点，则满足条件

，解得

所以由直线方程的两点式可求得反射光线所在直线方程为，即.