知识讲解_直线与圆的方程的应用_基础练习题

直线与圆的方程的应用

【学习目标】

1．能利用直线与圆的方程解决有关的几何问题；

2．能利用直线与圆的方程解决有关的实际问题；

3．进一步体会、感悟坐标法在解决有关问题时的作用．

【要点梳理】

要点一、用直线与圆的方程解决实际问题的步骤

1．从实际问题中提炼几何图形；

2．建立直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面问题转化为代数问题；

3．通过代数运算，解决代数问题；

4．将结果“翻译”成几何结论并作答．

要点二、用坐标方法解决几何问题的“三步曲”

用坐标法解决几何问题时，先用坐标和方程表示相应的几何元素：点、直线、圆；然后对坐标和方程进行代数运算；最后再把代数运算结果“翻译”成相应的几何结论.这就是用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”.

第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；

第二步：通过代数运算，解决代数问题；

第三步：把代数运算结果“翻译”成几何结论.

要点诠释：

坐标法的实质就是借助于点的坐标，运用解析工具(即有关公式)将平面图形的若干性质翻译成若干数量关系.在这里，代数是工具、是方法，这是笛卡儿解析几何的精髓所在.

要点三、用坐标法解决几何问题时应注意以下几点

1．建立直角坐标系时不能随便，应在利于解题的原则下建立适当的直角坐标系；

2．在实际问题中，有些量具有一定的条件，转化成代数问题时要注意范围；

3．最后要把代数结果转化成几何结论．

【典型例题】

类型一：直线与圆的方程的实际应用

【高清课堂：直线与圆的方程的应用381527 例1】

例1. 如图是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图.该圆拱跨度AB=20m，拱高OP=4m，在建造时每隔4m需要用一个支柱支撑，求支柱的长度（精确到0.01m）.

【答案】3.86m

【解析】建立坐标系如图所示.圆心的坐标是(0，ｂ)，圆的半径是ｒ，那么圆的方程是：

因为P(0,4)、B(10,0)都在圆上，所以

解得，.所以圆的方程为

把代入圆的方程得，所以,即支柱的高度约为3.86m.

举一反三：

【变式1】某市气象台测得今年第三号台风中心在其正东300 km处，以40 km/h的速度向西偏北30°方向移动.据测定，距台风中心250 km的圆形区域内部都将受到台风影响，请你推算该市受台风影响的起始时间与持续时间.(精确到分钟)

【答案】90    10 h.

【解析】利用坐标法来求解.如图，不妨先建立直角坐标系xOy，其中圆A的半径为250 km，过B(300，0)作倾斜角为150°的直线交圆于点C、D，则该市受台风影响的起始与终结时间分别为C开始至D结束，然后利用圆的有关知识进行求解.

以该市所在位置A为原点，正东方向为x轴的正方向建立直角坐标系，开始时台风中心在B(300，0)处，台风中心沿倾斜角为150°方向的直线移动，其轨迹方程为y=(x-300)(x≤300).

该市受台风影响时，台风中心在圆x2+y2=2502内，设射线与圆交于C、D，则CA=AD=250，∴台风中心到达C点时，开始影响该市，中心移至D点时，影响结束，作AH⊥CD于H，则

AH=AB·sin30°=150，HB=，CH=HD==200，

∴BC=-200，则该市受台风影响的起始时间t1=≈1.5(h)，

即约90分钟后台风影响该市，台风影响的持续时间t2==10(h)，即台风对该市的影响持续时间为10 h.

【总结升华】应用问题首先要搞清题意，最好是画图分析，运用坐标法求解，首先要建立适当的坐标系，设出点的坐标.还要搞清里面叙述的术语的含义.

构造圆的方程进行解题(如求函数的最值问题)时，必须充分联想其几何意义，也就是由数思形.如方程y=1+表示以(0，1)为圆心，1为半径的上半圆，表示原点与曲线f(x，y)=0上动点连线的斜率.

类型二：直线与圆的方程在平面几何中的应用

    例2．如图，在圆O上任取C点为圆心，作一圆与圆O的直径AB相切于D，圆C与圆D交于E、F，求证：EF平分CD．

证明：令圆O方程为x2+y2=1．  ①

EF与CD相交于H，令C（x1，y1），则可得圆C的方程

(x－x1)+(y－y1)2=y12，即x2+y2－2x1x－2y1y+x12=0．  ②

①－②得2x1x+2y1y－1－x12=0．  ③

③式就是直线EF的方程，设CD的中点为H＇，其坐标为，

将H＇代入③式，得．

即H＇在EF上，∴EF平分CD．

【总结升华】 利用直线与方程解决平面几何问题时，要充分利用圆的方程、直线和圆的位置关系、圆与圆的位置关系等有关知识，正确使用坐标方法，使实际问题转化为代数问题，然后通过代数运算解决代数问题，最后解释代数运算结果的实际含义．

举一反三：

【高清课堂：直线与圆的方程的应用381527 例3】

【变式1】平面内动点P满足到定点的距离之比为，请问动点P的轨迹是什么图形？

【答案】

【解析】不妨设，以线段AB为x轴，其中垂线为y轴建立直角坐标系，那么A（-1，0），B(1，0).设P（x,y）.则，化简得到表示一个圆.

类型三：直线与圆的方程在代数中的应用

例3．已知圆与直线：3x―4y―1=0和：4x+3y+1=0都有公共点，求的取值范围．

【思路点拨】圆与二直线：3x―4y―1=0和：4x+3y+1=0都有公共点，可得圆心C到直线的距离小于等于半径，即可求的取值范围．

【答案】

【解析】∵圆：，圆心为C（a，b），半径为1．

∵直线：3x―4y―1=0和圆：有公共点，

∴圆心C到直线的距离：，即  ①

∵直线：4x+3y+1=0和圆：有公共点，

∴圆心C到直线的距离：，即  ②

∴作出①②不等式组表示的平面区域如图：

∴由  得，A（2，0）．

∴由的几何意义可得，最大值为，最小值为，

∴的取值范围为．

举一反三：

【变式1】设函数和，已知当x∈[－4，0]时，恒有，求实数a的取值范围．

   【答案】

【解析】因为，所以，即，分别画出和的草图，利用数形结合法，当直线与半圆相切时取到最大值，由圆心到直线的距离为2，求出，即得答案．

类型四：直线与圆的方程的综合应用

例4．（2016春 辽宁庄河市期中）已知圆C的圆心在坐标原点，且与直线相切．

（1）求圆C的方程；

（2）求直线l2：4x－3y+5=0被圆C所截得的弦AB的长；

（3）过点G（1，3）作两条与圆C相切的直线，切点分别为M，N，求直线MN的方程．

【思路点拨】（1）设出圆的方程，由直线和圆相切的条件，求得半径，即可得到圆的方程；

（2）求出圆心到直线的距离，运用直线和圆相交的弦长公式，即可得到；

（3）判断出C，M，N，G四点共圆，求出圆的方程，再与圆C方程相减，即可得到相交弦方程．

【答案】（1）x2+y2=4；（2）；（3）x+3y―4=0

【解析】（1）设圆的方程为：x2+y2=r2，

由于圆C与直线相切，

则，

则有圆C：x2+y2=4；

（2）圆收到直线l2：4x－3y+5=的距离为，

则被圆C所截得的弦AB的长为；

（3）过点G（1，3）作两条与圆C相切的直线，切点分别为M，N，

由CM⊥MG，CN⊥NG，则四点C，M，G，N共圆，且以PC为直径，

则方程为，①

又圆C：x2+y2=4，②

由于MN为两圆的公共弦，

则①－②，可得，x+3y―4=0．

【总结升华】解决直线与圆的综合问题，一方面，我们要注意运用解析几何的基本思想方法（即几何问题代数化），把它转化为代数问题，通过代数的计算，使问题得到解决；另一方面由于直线与圆和平面几何联系得十分紧密（其中直线与三角形、四边形紧密相连），因此我们要充分挖掘几何图形中所隐含的条件（性质），利用几何知识使问题得到较简捷的解决．

举一反三：

【变式1】若圆C：与y轴交于A，B两点，且∠ACB=90°，求实数m的值．

【思路点拨】由圆C：与y轴交于A，B两点，且∠ACB=90°，知圆心C（2，―1），过点C作y轴的垂线交y轴于点D，在等腰直角三角形BCD中，CD=BD=2，由此能求出实数m．

【答案】―3

【解析】∵圆C：，

∴ ，

圆心C（2，―1），

因为∠ACB=90°，过点C作y轴的垂线交y轴于点D，

在等腰直角三角形BCD中，CD=BD=2，

∴ ，

解得m=―3．