知识讲解_直线的一般式方程及综合_提高练习题

直线的一般式方程及综合

【学习目标】

1．掌握直线的一般式方程；

2．能将直线的点斜式、两点式等方程化为直线的一般式方程，并理解这些直线的不同形式的方程在表示直线时的异同之处；

3．能利用直线的一般式方程解决有关问题.

【要点梳理】

要点一：直线方程的一般式

关于x和y的一次方程都表示一条直线．我们把方程写为Ax+By+C=0，这个方程(其中A、B不全为零)叫做直线方程的一般式．

要点诠释：

1．A、B不全为零才能表示一条直线，若A、B全为零则不能表示一条直线.

当B≠0时，方程可变形为，它表示过点，斜率为的直线．

当B=0，A≠0时，方程可变形为Ax+C=0，即，它表示一条与x轴垂直的直线．

由上可知，关于x、y的二元一次方程，它都表示一条直线．

2．在平面直角坐标系中，一个关于x、y的二元一次方程对应着唯一的一条直线，反过来，一条直线可以对应着无数个关于x、y的一次方程（如斜率为2，在y轴上的截距为1的直线，其方程可以是2x―y+1=0，也可以是，还可以是4x―2y+2=0等．）

要点二：直线方程的不同形式间的关系

直线方程的五种形式的比较如下表：

要点诠释：

在直线方程的各种形式中，点斜式与斜截式是两种常用的直线方程形式，要注意在这两种形式中都要求直线存在斜率，两点式是点斜式的特例，其限制条件更多（x1≠x2，y1≠y2），应用时若采用(y2―y1)(x―x1)―(x2―x1)(y―y1)=0的形式，即可消除局限性．截距式是两点式的特例，在使用截距式时，首先要判断是否满足“直线在两坐标轴上的截距存在且不为零”这一条件．直线方程的一般式包含了平面上的所有直线形式．一般式常化为斜截式与截距式．若一般式化为点斜式，两点式，由于取点不同，得到的方程也不同．

要点三：直线方程的综合应用

1．已知所求曲线是直线时，用待定系数法求．

2．根据题目所给条件，选择适当的直线方程的形式，求出直线方程．

对于两直线的平行与垂直，直线方程的形式不同，考虑的方向也不同．

（1）从斜截式考虑

  已知直线,,

；

于是与直线平行的直线可以设为；垂直的直线可以设为．

（2）从一般式考虑：

  且或，记忆式（）

  与重合，，，

于是与直线平行的直线可以设为；垂直的直线可以设为.

【典型例题】

类型一：直线的一般式方程

例1．根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程．

    （1）斜率是，经过点A（8，―2）；

（2）经过点B（4，2），平行于x轴；

（3）在x轴和y轴上的截距分别是，―3；

（4）经过两点P1（3，―2），P2（5，―4）．

【答案】（1）x+2y―4=0（2）y―2=0（3）2x―y―3=0（4）

【解析】  （1）由点斜式方程得，化成一般式得x+2y―4=0．

（2）由斜截式得y=2，化为一般式得y―2=0．

（3）由截距式得，化成一般式得2x―y―3=0．

（4）由两点式得，化成一般式方程为．

【总结升华】本题主要是让学生体会直线方程的各种形式，以及各种形式向一般式的转化，对于直线方程的一般式，一般作如下约定：x的系数为正，x，y的系数及常数项一般不出现分数，一般按含x项、y项、常数项顺序排列．求直线方程的题目，无特别要求时，结果写成直线方程的一般式．

举一反三：

【变式1】已知直线经过点，且倾斜角是，求直线的点斜式方程和一般式方程.

【答案】

【解析】因为直线倾斜角是，所以直线的斜率，所以直线的点斜式方程为：，化成一般式方程为：.

   【高清课堂：直线的一般式 381507 例4】

例2．的一个顶点为，、 的平分线在直线和上，求直线BC的方程.

  【答案】

【解析】由角平分线的性质知，角平分线上的任意一点到角两边的距离相等

，所以可得A点关于的平分线的对称点在BC上，B点关于的平分线

的对称点也在BC上．写出直线的方程，即为直线BC的方程.

例3．求与直线3x+4y+1=0平行且过点（1，2）的直线的方程．

【答案】3x+4y―11=0

【解析】

解法一：设直线的斜率为k，∵与直线3x+4y+1=0平行，∴．

又∵经过点（1，2），可得所求直线方程为，即3x+4y―11=0．

解法二：设与直线3x+4y+1=0平行的直线的方程为3x+4y+m=0，

∵经过点（1，2），∴3×1+4×2+m=0，解得m=―11．

∴所求直线方程为3x+4y―11=0．

【总结升华】（1）一般地，直线Ax+By+C=0中系数A、B确定直线的斜率，因此，与直线Ax+By+C=0平行的直线可设为Ax+By+m=0，这是常采用的解题技巧．我们称Ax+By+m=0是与直线Ax+By+C=0平行的直线系方程．参数m可以取m≠C的任意实数，这样就得到无数条与直线Ax+By+C=0平行的直线．当m=C时，Ax+By+m=0与Ax+By+C=0重合．

（2）一般地，经过点A（x0，y0），且与直线Ax+By+C=0平行的直线方程为A(x―x0)+B(y―y0)=0．

（3）类似地有：与直线Ax+By+C=0垂直的直线系方程为Bx―Ay+m=0（A，B不同时为零）．

举一反三：

【高清课堂：直线的一般式 381507 例1】

【变式1】已知直线：3mx+8y+3m-10=0 和 ：x+6my-4=0 .问 m为何值时:

（1）与平行（2）与垂直.

【答案】（1）（2）

【解析】当时，：8y-10=0；：x-4=0，

当时，：；：

由，得，由得

而无解

综上所述（1），与平行．（2），与垂直．

【变式2】 求经过点A（2，1），且与直线2x+y―10=0垂直的直线的方程．

    【答案】x－2y=0

【解析】因为直线与直线2x+y―10=0垂直，可设直线的方程为，把点A（2，1）代入直线的方程得：，所以直线的方程为：x－2y=0．

类型二：直线与坐标轴形成三角形问题

例4．已知直线的倾斜角的正弦值为，且它与坐标轴围成的三角形的面积为6，求直线的方程．

【思路点拨】知道直线的倾斜角就能求出斜率，进而引进参数——直线在y轴上的截距b，再根据直线与坐标轴围成的三角形的面积为6，便可求出b．也可以根据直线与坐标轴围成的三角形的面积为6，设截距式直线方程，从而得出，再根据它的斜率已知，从而得到关于a，b的方程组，解之即可．

【答案】或

【解析】

解法一：设的倾斜角为，由，得．

设的方程为，令y=0，得．

∴直线与x轴、y轴的交点分别为，（0，b）．

∴，即b2=9，∴b=±3．

故所求的直线方程分别为或．

解法二：设直线的方程为，倾斜角为，由，得．

∴，解得．

故所求的直线方程为或．

【总结升华】（1）本例中，由于已知直线的倾斜角（与斜率有关）及直线与坐标轴围成的三角形的面积（与截距有关），因而可选择斜截式直线方程，也可选用截距式直线方程，故有“题目决定解法”之说．

（2）在求直线方程时，要恰当地选择方程的形式，每种形式都具有特定的结论，所以根据已知条件恰当地选择方程的类型往往有助于问题的解决．例如：已知一点的坐标，求过这点的直线方程，通常选用点斜式，再由其他条件确定该直线在y轴上的截距；已知截距或两点，选择截距式或两点式．在求直线方程的过程中，确定的类型后，一般采用待定系数法求解，但要注意对特殊情况的讨论，以免遗漏．

举一反三：

【变式1】（2015春 启东市期中）已知直线m：2x―y―3=0，n：x+y―3=0．

    （1）求过两直线m，n交点且与直线l：x+2y―1=0平行的直线方程；

（2）求过两直线m，n交点且与两坐标轴围成面积为4的直线方程．

【思路点拨】（1）求过两直线m，n交点坐标，结合直线平行的斜率关系即可求与直线l：x+2y―1=0平行的直线方程；

（2）设出直线方程，求出直线和坐标轴的交点坐标，结合三角形的面积公式进行求解即可．

【答案】（1）x+2y―4=0；（2）

【解析】（1）由，解得，

即两直线m，n交点坐标为（2，1），

设与直线l：x+2y―1=0平行的直线方程为x+2y+c=0，

则2+2×1+c=0，解得c=―4，

则对应的直线方程为x+2y―4=0；

（2）设过（2，1）的直线斜率为k，（k≠0），

则对应的直线方程为y―1=k(x―2)，

令x=0，y=1―2k，即与y轴的交点坐标为A（0，1―2k）

令y=0，则，即与x轴的交点坐标为，

则△AOB的面积，

即，

即，

若k＞0，则方程等价为，

解得或，

若k＜0，则方程等价为，

解得．

综上直线的方程为 ，或，或

即，或，或

高清：直线方程的点斜式与两点式 381492例3

例5.过点P(2，1)作直线与x轴、y轴正半轴交于A、B两点，求△AOB面积的最小值及此时直线的方程.

【思路点拨】因直线已经过定点P(2，1)，只缺斜率，可先设出直线的点斜式方程，且易知k<0，再用k表示A、B点坐标，结合函数及不等式知识求解.

【答案】x+2y-4=0

【解析】

解法一：设直线的方程为:y-1=k(x-2)，

令y=0，得:x=；

令x=0，得y=1-2k，

∵与x轴、y轴的交点均在正半轴上，

∴>0且1-2k>0

故k<0，

△AOB的面积

当且仅当-4k=-，即k=-时，

S取最小值4，

故所求方程为y-1=-(x-2)，即:x+2y-4=0.

解法二：设直线方程为，

∴A(a，0)，B(0，b)，且a>0，b>0，

∵点P(2，1)在直线上，故，由均值不等式:1=当且仅当，即a=4，b=2时取等号，且S=ab=4，此时方程为即:x+2y-4=0.

解法三：如图，过P(2，1)作x轴与y轴的垂线PM、PN，

垂足分别为M、N，设=∠PAM=∠BPN，则△AOB面积

S=S矩形OMPN+S△PAM+S△BPN

=

=4，当且仅当时，S△AOB

有最小值4，故此时直线的方程为y-1=-(x-2)，即:x+2y-4=0.

【总结升华】解法一与解法二选取了直线方程的不同形式，解法三考虑到图形的直观性，利用了形数结合的思想，体现了解题的“灵活性”. 已知直线过一点时，常设其点斜式方程，但需注意斜率不存在的直线不能用点斜式表示，从而使用点斜式或斜截式方程时，要考虑斜率不存在的情况，以免丢解. 而直线在坐标轴上的截距，可正、可负，也可以为零，不能与距离混为一谈，注意如何由直线方程求其在坐标轴上的截距.

举一反三：

【变式1】已知a∈（0，2），直线1：ax―2y―2a+4=0和直线2：2x+a2y―2a2―4=0与坐标轴围成一个四边形，要使此四边形面积最小，求a的值．

【答案】

【解析】直线l1与y轴交点为A（0，2-a），直线l2与x轴交点为B（a2+2，0），如图由直线1：ax―2y―2a+4=0，2：2x+a2y―2a2―4=0知，两直线的交点为（2，2），过C点作轴垂线，垂足为D，于是S四边形AOBC=S梯形AODC+S△BCD===

所以当时，S四过形AOBC最小．

类型三：直线方程的实际应用

例6．（2015春 湖北期末）光线从点A（2，3）射出，若镜面的位置在直线l：x+y+1=0上，反射光线经过B（1，1），求入射光线和反射光线所在直线的方程，并求光线从A到B所走过的路线长．

【思路点拨】求出点A关于l的对称点，就可以求出反射光线的方程，进一步求得入射点的坐标，从而可求入射光线方程，可求光线从A到B所走过的路线长．

【答案】

【解析】设点A关于l的对称点A＇（x0，y0），

∵AA＇被l垂直平分，∴，解得

∵点A＇（―4，―3），B（1，1）在反射光线所在直线上，

∴反射光线的方程为，即4x―5y+1=0，

解方程组得入射点的坐标为．

由入射点及点A的坐标得入射光线方程为，即5x―4y+2=0，

光线从A到B所走过的路线长为．

【总结升华】本题重点考查点关于直线的对称问题，考查入射光线和反射光线，解题的关键是利用对称点的连结被对称轴垂直平分．

举一反三：

【变式1】（2016春 福建厦门期中）一条光线从点A（－4，－2）射出，到直线y=x上的B点后被直线y=x反射到y轴上的C点，又被y轴反射，这时反射光线恰好过点D（－1，6）．求BC所在直线的方程．

【答案】10x－3y+8=0

【解析】如图，A（－4，－2），D（－1，6），

由对称性求得A（－4，－2）关于直线y=x的对称点A＇（－2，－4），

D关于y轴的对称点D＇（1，6），

则由入射光线和反射光线的性质可得：过A＇D＇的直线方程即为BC所在直线的方程．

由直线方程的两点式得：．

整理得：10x－3y+8=0．

例7．如图，某房地产公司要在荒地ABCDE上划出一块长方形土地（不改变方向）建造一幢8层的公寓，如何设计才能使公寓占地面积最大？并求出最大面积．（精确到1 m2）

    【答案】6017

【解析】  建立坐标系，则B（30，0），A（0，20）．

∴由直线的截距方程得到线段AB的方程为

（0≤x≤30）．

设点P的坐标为（x，y），则有．

∴公寓的占地面积为

（0≤x≤30）．

∴当x=5，时，S取最大值，最大值为．

即当点P的坐标为时，公寓占地面积最大，最大面积为6017 m2．

【总结升华】本题是用坐标法解决生活问题，点P的位置由两个条件确定，一是A、P、B三点共线，二是矩形的面积最大．借三点共线寻求x与y的关系，利用二次函数知识探求最大值是处理这类问题常用的方法．